《光学》课程教学资源（课件讲稿）第五章 傅里叶变换光学 第二节 正弦光栅的衍射

Optics第五章傅里叶变换光学第二节 正弦光栅的衍射

第五章 傅里叶变换光学 第二节 正弦光栅的衍射

Optics5.2 正弦光栅的衍射5.2.1空间频率的概念5.2.2正弦光栅及其衍射图样5.2.3任意光栅的屏函数及其傅里叶展开5.2.4夫琅禾费衍射的再认识

5.2 正弦光栅的衍射 5.2.1 空间频率的概念 5.2.2 正弦光栅及其衍射图样 5.2.3 任意光栅的屏函数及其傅里叶展开 5.2.4 夫琅禾费衍射的再认识

Optics5.2.1空间频率的概念时间频率空间频率时间频率指信号随时间的周期性空间频率指某一面内光场随空间变化（简谐振动）。位置的周期性变化。谐波f(t+T)= f(t)I(x +d)= I(x)dTmd时间周期：空间周期：mT1111V时间频率：V==m空间频率：tfm=mmTTdd-时间角频率：0=2元=m2元9m=m2元空间角频率：9=2元0,mdTTd波矢频谱展开f(t)= Z ame'm,"，a,=了周期信号f(t)e-iom"dt博里叶级数一分立的谱线:7=TI任意信号F(o)= f(t)e-iot dt,F()eidtf(t)=傅里叶变换一连续谱2元00O物理意义：任意变化的信号可展开成一系列简谐振动的迭加

5.2.1 空间频率的概念 时间频率 时间频率指信号随时间的周期性 变化（简谐振动）。 f t T f t ( ) ( )   时间频率： 1 T   时间角频率： 1 2 T    1 m m T   1 2 m m T    空间频率 空间频率指某一面内光场随空间 位置的周期性变化。 时间周期： T mT I x d I x ( ) ( )   空间频率： 空间角频率： 空间周期： d md 1 f d  1 m f m d  1 q 2 d   1 2 mq m d   频谱展开 波矢 / 2 / 2 1 ( ) , ( ) n m T i t i t m n m T f t a e a f t e dt T       周期信号     任意信号 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) 2 i t i t F f t e dt f t F e dt               物理意义：任意变化的信号可展开成一系列简谐振动的迭加。 傅里叶级数—分立的谱线 傅里叶变换—连续谱 谐波

Optics5.2.1 空间频率的概念空间频率的计算q=q,é+q,é,=qcosde,+qsinoe12元1d-Xfqx12元6aXf.qy111dxV0singcosa11d=2qVq+q

5.2.1 空间频率的概念 空间频率的计算  cos sin x x y y x y q q e q e q e q e       2 1 x x x d q f    2 1 y y y d q f    2 2 2 1 1 1 x y d d d  2 2 1 1 x y d q q q    cos x d d   sin y d d   时间频率—一维、正值 空间频率—二维、正负

Optics5.2.2正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的屏函数及对光场的作用正弦光栅的屏函数 t(x)=t+t, cos(2元fx+Po若入射场为平行光正入射 U,(x)= Al则透射场为 : U,(x)=U,(x)t(x)= A[t。 +t, cos(2元 fx +P)](2元/x+P0)+e-1(2元/+90)利用欧拉公式可得：cos(2元fx+PAt, e-i(2元f+0)U(x) = Afo +=Aft el(2z +0)+因此2即U,(x)=U(x)+U+(x)+U-(x)物理意义：正弦光栅将透射波变为三列平面波

5.2.2 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的屏函数及对光场的作用 正弦光栅的屏函数 0 1 0 t x t t fx ( ) cos(2 )      若入射场为平行光正入射 1 1 ( ) ~ U x  A 则透射场为： 2 1 U x U x t x ( ) ( ) ( )  1 0 1 0    A t t fx [ cos(2 )]   0 0 (2 ) (2 ) 0 1 cos(2 ) [e e ] 2 i fx i fx fx          利用欧拉公式可得：    0 0 (2 ) ( 2 1 0 1 2 ) 1 1 1 1 1 ( e e 2 ) 2 i fx i fx U t x A At At       因此    2 0 1 1 U U x ( ) ( ) x U ( ) x U x( )      即 物理意义：正弦光栅将透射波变为三列平面波

Optics5.2.2正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的三列衍射波的分析x三列透射波方向各不相同，以 0.,(x)=4f,e(2x+%)xIk(+1)x为例，分析其出射方向。其波失为：(0)0+1k.r=k,x+k,+k.z=2元fx=k(+1)xOz即：k(+1)=2元f由此可以得到k-1)k中Tr2元fsin e(+1)fak(+1)2元1 Af, e(2元/+0)+Aft, e-i(2a f+0)U,(x)= Ato正弦光波衍射光场的三列出射光波+22U.(x)= Ato0级波方向sin。= 00.(x)==4f, e(2xA+0)+1级波方向sine=faU_,(x)==At,e-(2元/+0)方向-1级波sine=-f a

5.2.2 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的三列衍射波的分析 1 x k  1 x k  ( 1)  k ( 1)  k (0) k z x 1 1  1 1  三列透射波方向各不相同，以 0 (2 ) 1 1 1 1 ( ) e 2 i fx U x At     为例，分析其出射方向。其波矢为： ( 1) 2 x y z x k x k y k z  fx x k  k r      ( 1) 2 x k f    ( 1) ( ) ( 1 1) 1 sin 2 2 x k f f k            即： 由此可以得到 0 0 (2 ) ( 2 1 0 1 2 ) 1 1 1 1 1 ( e e 2 ) 2 i fx i fx U t x A At At       正弦光波衍射光场    的三列出射光波 0 1 0 0级波 U x At ( )  sin 0  0 0 (2 ) 1 1 1 1 ( ) e 2 i fx U x At   +1级波   1 1 sin f   0 (2 ) 1 1 1 1 ( ) e 2 i fx U x At       1 1 sin f    方向 方向 -1级波 方向

Opticssinβ1 sin(β-元)I(0) = I.+-2ββ-元sinβ/βsinNβsin(B正弦光栅的特点十元+2β+πsinβB=一元33=十元sin(β-)/(β-)sin(β+)/(β+)(sinN/sinβ)2-2028-8-66-1010B

正弦光栅的特点 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 (sinNβ/sinβ)2 β -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 sinβ/β β -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 sin(β-π)/(β-π) β -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 sin(β+π)/(β+π) β 0 2 2 sin 1 sin( ) ( ) [ 2 1 sin( ) sin ] 2 sin I I N                          -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 β   0        

Optics5.2.2正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的制备方法反射镜底片H（1）利用照相底片记录两束平行光束的干涉场。分光板干涉强度的分布函数为：.I(x, y) = I.[1 +ycos(2元 fx +.)]其空间频率1sine, +sine,f=反射镜元d是制备的关键，与所用材料、曝光温度和时间、线性冲印。一（2）显影定影显影定影的药液配方等都有关系。冲洗后干板底片的透过率函数为：i(x,J)αcI(x,y)可写成： t(x,y)=α+βI(x,y)=t+t, cos(2fx+Po)β0，正片；雾底，物理意义表示即使曝光强度I=0，冲洗出来仍有一定透过率

5.2.2 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的制备方法 （1）利用照相底片记录两束平行光束的干涉场。 分光板 反射镜 反射镜 底片H 干涉强度的分布函数为： 0 0 I x y I fx ( , ) [1 cos(2 )]       1 2 其空间频率 1 2 1 sin sin f d       （2）显影定影—线性冲印。 冲洗后干板底片的透过率函数为： t x y I x y ( , ) ( , )  可写成： 0 1 0 t x y I x y t t fx ( , ) ( , ) cos(2 )          β0，正片； 雾底，物理意义表示即使曝光强度I=0，冲洗出来 仍有一定透过率。 是制备的关键，与所用材料、曝光温度和时间、 显影定影的药液配方等都有关系

Optics5.2.2正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的有效宽度对其衍射场的影响窗函数元件实际尺寸可以窗口内元件的有效宽度用一个孔型函数描窗口外0述，称为窗函数。实际光学元件的屏函数应等于其完整的变换函数与窗函数的乘积，即 =i，i可以理解为首先经过一次完整的变换，再被窗函数的作用，使波前受限发生衍射，在相面上出现圆孔的夫琅禾费衍射场2窗函数作用的物理意义40.D窗函数使衍射场波次发生展宽。40.Dcos+!

5.2.2 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的有效宽度对其衍射场的影响 D 元件的有效宽度 窗函数 元件实际尺寸可以 用一个孔型函数描 述，称为窗函数。 1 0 w t     窗口内 实际光学元件的屏函数应等于其完整的变 换函数与窗函数的乘积，即 L w L t t t    窗口外 可以理解为首先经过一次完整的变换，再被窗函数的作用，使波前 受限发生衍射，在相面上出现圆孔的夫琅禾费衍射场。 分析思路 分析窗函数对角频率的影响，需要利用傅里叶变换的性质 1 2 1 2 f x f x f x f x ( ) ( ) { ( )} { ( )}   F F 窗函数作用的物理意义 窗函数使衍射场波次发生展宽。 0 1 1 cos D D               

Optics5.2.2正弦光栅及其衍射图样正弦光栅的组合（1）平行密接（相乘）分析思路：光波场依次通过不同的正弦光栅，总的变换函数等于各光栅的变换函数相乘。G入射场G,正入射平面波,=A变换函数[G, : t(x)= t。+t, cos2元fx低频[G, : t(x)=t +t'cos2元f5高频t2(x)= t(x)·t'(x)= tot +tot'cos2元 fx+tt cos2元 fx+=tt'cos2元(f + f')x+=tt'cos2元(f - f)x出射场包含四个正弦光栅加一个直流分量U,(x,y) =U,(x, y).i2(x, y)= A[tot' +tot'cos2元f5+tt cos2元fx+tt'cos2元(f + f')x+t,t'cos2元(f - f')x

5.2.2 正弦光栅及其衍射图样 正弦光栅的组合 分析思路：光波场依次通过不同的正弦光栅，总的变换函数等于各光栅 的变换函数相乘。 （1）平行密接（相乘） 12 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) cos 2 cos 2 cos 2 ( ) cos 2 ( ) 2 2 t x t x t x t t t t f x t t fx t t f f x t t f f x                       包含四个正弦光栅加一个直流分量 出射场 入射场 变换函数 正入射平面波 U A 1 1  2 1 12 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 [ cos 2 cos 2 cos 2 ( ) cos 2 ( ) ] 2 2 U x y U x y t x y A t t t t f x t t fx t t f f x t t f f x                      G1 G2 1 0 1 2 0 1 : ( ) cos2 : ( ) cos2 G t x t t fx G t x t t f x              高频 低频