第六章空间力系和重心 教学目标 1能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩, 2了解空间力系向一点简化的方法和结果。 3能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题 4能正确地画出各种常见空间约束的约束力。 5对重心应有清晰的概念,能熟练地应用组合法求物体的重心。 本章重点 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩 2空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。 3各种常见空间约束的约束力。 4重心的坐标公式 本章难点 空间矢量的运算,空间结构的几何关系和立体图 教学过程(下页)
第六章 空间力系和重心 教学目标 1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。 3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。 4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。 5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。 本章重点 1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。 3 各种常见空间约束的约束力。 4 重心的坐标公式。 本章难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。 教学过程（下页）
、空间力系的简化 1.空间力系向一点简化 刚体上作用空间力系(F1,F2,…Fn),将力系中各力向任选的简化中心O简化。 M F2 F2 主矢:F=∑F=∑F,与O点选择无关。(61) 主矩:M=∑M=∑M(F)=∑xF),与0点的选择有关。(62) 主矢F和主矩M0的解析表达式 F=√∑Fn)2+①F)2+C∑F)2 (6-3) F coS(F, y) ∑Fn,cosF,)=F ∑F M6=√∑M(F)2+C∑M,(F)2+C∑M(F)2(64) M(F) cos(Mo, x) cos(Mo, y) ∑M,(F) cos(M0,=)= ∑M:(F) M 结论:空间力系向任一点简化,一般可得到一力和一力偶,该力通过简化中心,其 大小和方向等于力系的主矢,该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2.空间力系简化的最后结果 (1)空间力系平衡 F=0,M0=0,此空间力系为平衡力系 (2)空间力系简化为一合力偶 F=0,M0≠0,此空间力系简化为一合力偶,合力偶矩矢等于力系主矩M0与简 化中心的位置无关
一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化 刚体上作用空间力系 ( , , ) F1 F2 Fn ，将力系中各力向任选的简化中心 O 简化。 x y z A2 F1 F2 Fn O A1 An x y z F1 F2 Fn M1 M 2 M n O x y z O F MO 主矢： F = Fi = FC ，与 O 点选择无关。 （6-1） 主矩： = = ( ) =( ) 0 i 0 i i Fi M M M F r ，与 O 点的选择有关。 （6-2） 主矢 F 和主矩 M0 的解析表达式 2 2 2 = ( ) + ( ) + ( ) F Fix Fiy Fiz （6-3） F F F x ix cos( , ) = ， F F F y iy cos( , ) = ， F F F z iz cos( , ) = 2 2 2 0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) M M x Fi M y Fi M z Fi = + + （6-4） 0 0 ( ) cos( , ) M M F M x x i = ， 0 0 ( ) cos( , ) M M F M y y i = ， 0 0 ( ) cos( , ) M M F M z z i = 结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其 大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡 F = 0 ， M0 = 0 ，此空间力系为平衡力系。 （2）空间力系简化为一合力偶 F = 0 ，M0 0 ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩 M0 与简 化中心的位置无关
(3)空间力系简化为一合力 a.F≠0,M0=0,此空间力系简化为过O点的一合力,合力的大小和方向与主 矢相同。 b.F≠0,M。≠0,F.M0=0,这时,F与M0共面,可看作一平面力系,由 平面力系简化理论知,此时空间力系简化为一合力。 此合力F'的作用线过O点,大小和方向决定于主矢,其作用线到O点的距离 d=Mo/F (6-5) 合力矩定理: 由图62知 F Mo(F)=OO'XF=Mo=2Mo(Fc) 将上式向通过点O的任一轴z投影,有 M2(F)=∑M(FC) (6-7) 若空间力系可以合成为一合力,则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩 的矢量和;或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和 (4)空间力系简化为力螺旋(由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系) MoMmA A O A F≠0,M0≠0,F·.M0≠0
（3）空间力系简化为一合力 a． F 0 ，M0 = 0 ，此空间力系简化为过 O 点的一合力，合力的大小和方向与主 矢相同。 b．F 0 ， M0 0 ，F M0 = 0 ，这时， F 与 M0 共面，可看作一平面力系，由 平面力系简化理论知，此时空间力系简化为一合力。 此合力 F 的作用线过 O 点，大小和方向决定于主矢，其作用线到 O 点的距离 d = M0 F （6-5） 合力矩定理： 由图 6-2 知 MO F O F F O F O O O F ( ) = = = ( ) M0 F OO F M0 M0 FC （6-6） 将上式向通过 点 O 的任一轴 z 投影，有 ( ) = ( ) M z F M z FC （6-7） 若空间力系可以合成为一合力，则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩 的矢量和；或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。 （4）空间力系简化为力螺旋（由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系） F MO MO ∥ MO⊥ O F MO ∥ F F O A MO ∥ F O A F 0 ， M0 0 ， F M0 0
小结:空间力系可简化为四种情况,可用主矢F与主矩M0的点积是否为零分为两 大类,即 Mn=0力系平衡 F (1)F·Ma=0 M0≠0力系简化为一合力偶 F≠0力系简化为一合力 (2)F·M。≠0力系简化为力螺旋 、空间力系的平衡方程及其应用 从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任 点的主矩为零,即 F=0,M=0 (6-8) 其解析式为 ∑F=0∑F=0∑F=0 (6-9) ∑M2(F)=0∑M,(F)=0∑M(F)=0 空间力系平衡的必要与充分的解析条件是:力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上 投影的代数和为零,对每一坐标轴之矩的代数和为零 特例:空间平行力系的平衡方程 令z轴与力系各力的作用线平行,有 ∑F=0,∑M(F)=0,∑M(F)=0(6-10) 例1.镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力F径向力F,和轴向力F的作用,如 图6-5所示。各力的大小 F2=5KN,F,=1.5kN,F2=0.75,刀尖B的 坐标x=200mm,y=75mm,z=0。试求镗刀杆根部约束力
小结：空间力系可简化为四种情况，可用主矢 F 与主矩 M0 的点积是否为零分为两 大类，即 （1） = = = 力系简化为一合力 力系简化为一合力偶 力系平衡 0 0 0 0 0 0 0 0 F M M F F M （2） F M0 0 力系简化为力螺旋。 二、空间力系的平衡方程及其应用 从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任 一点的主矩为零，即： F = 0 ， M0 = 0 （6-8） 其解析式为： = = = = = = ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 0 , 0 , 0 x i y i z i i x i y i z M F M F M F F F F （6-9） 空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上 投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。 特例：空间平行力系的平衡方程 令 z 轴与力系各力的作用线平行，有 Fiz = 0 ， M x (Fi ) = 0 ， M y (Fi ) = 0 （6-10） 例 1．镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力 F z 径向力 Fy 和轴向力 Fx 的作用，如 图 6-5 所示。各力的大小 F z = 5kN ，Fy = 1.5kN ，Fx = 0.75 ，刀尖 B 的 坐标 x = 200mm， y = 75mm ， z = 0 。试求镗刀杆根部约束力
FoIM 解:1取研究对象:镗刀杆 2.分析受力:镗刀杆根部是固定端约束,由于镗刀杆受天的主动是空间力系,因此 当镗刀杆平衡时,固定端的约束力也是一个空间力系,将此力系向点O简化,得到 约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量Fox、Foy、Fo2表示,约束 力偶用三个正交分力偶矩Mx、M,、M表示,如图6-5所示。 3.列平衡方程求解: 2F=0:For-F=0,Fo=0.75kN ∑Fn=0:F-F=0,F=1.5kN ∑F=0:F-F1=0,F=5N ∑M1=0:M2-075F2=0M2=0.375kNm M+0.2F=0 M=-IkN m ∑M=0:M1+0075F-02F=0M.=0.244kN.m 例2.图6-6所示传动系统,A是止推轴承,B是向心轴承,在把手端部施加一力 F=200N,方向如图所示,试求系统平衡时所需重物的重量P以及A、B轴承的 约束力。图中长度单位为mm
75 Fx Fy Fz z x O y B 75 Fx Fy Fz z x y O FOx FOy FOz M x M y M z B 解：1 取研究对象：镗刀杆。 2．分析受力：镗刀杆根部是固定端约束，由于镗刀杆受天的主动是空间力系，因此 当镗刀杆平衡时，固定端的约束力也是一个空间力系，将此力系向点 O 简化，得到 一约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量 FOx 、FOy 、 FOz 表示，约束 力偶用三个正交分力偶矩 M x 、 M y 、 M z 表示，如图 6-5 所示。 3．列平衡方程求解： Fix = 0： FOx − Fx = 0， FOx = 0.75kN Fiy = 0： FOy − Fy = 0 ， FOy = 1.5kN Fiz = 0： FOz − Fz = 0 ， FOz = 5kN Mx = 0： M x − 0.075Fz = 0 M x = 0.375kNm M y = 0： M y + 0.2Fz = 0 M y = −1kN m Mz = 0： M z + 0.075Fx − 0.2Fy = 0 M z = 0.244kNm 例 2．图 6-6 所示传动系统，A 是止推轴承，B 是向心轴承，在把手端部施加一力 F = 200N ，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量 P 以及 A、B 轴承的 约束力。图中长度单位为 mm
60 P 解:1取研究对象:整体系统。 2.分析受力:如图6-6所示。 3.列平衡方程求解 ∑M:=0:01P-025Fsm60°=0,P=433y M,=0:-0.25P+0.15F+0.175Fsn60=0,F=520N ∑M2=0:-0.15F2+025Fc0560°c0s45-0175Fcos60sm45°=0 FR=35. 4N ∑F=0 Fcos60°cos45°=0 70.7N ∑F=0:F+Fb-Fcos60sm45°=0 ∑Fa=0:F+F2-P-Fsn60°=0,F=868N 本题也可将作用于传动轴上的各力投影在坐标平面上,把空间力系的平衡问题转化 为平面力系的平衡问题来处理,对此读者可自行考虑 例3.边长为l、重量为W的均质正方形平台,用六根不计自重的直杆支承如图6-7 所示。设平台距地面高度为l,处载荷F沿AB边,试求各杆内力
60 45 F z x y P A B C FBy FAy FAz FBz FAx 解：1 取研究对象：整体系统。 2．分析受力：如图 6-6 所示。 3．列平衡方程求解： Mz = 0： 0.1 − 0.25 sin 60 = 0 P F ， P = 433N M y = 0： − 0.25 + 0.15 + 0.175 sin 60 = 0 P FBz F ， FBz = 520N Mx = 0： − 0.15 + 0.25 cos60 cos45 − 0.175 cos60 sin 45 = 0 FBy F F , FBy = 35.4N Fiz = 0： − cos 60 cos 45 = 0 FAx F , FAx = 70.7N Fiy = 0： + − cos60 sin 45 = 0 FAy FBy F , FAy = 35.3N Fix = 0： + − − sin 60 = 0 FAz FBz P F , FAz = 86.8N 本题也可将作用于传动轴上的各力投影在坐标平面上，把空间力系的平衡问题转化 为平面力系的平衡问题来处理，对此读者可自行考虑。 例 3．边长为 l 、重量为 W 的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图 6-7 所示。设平台距地面高度为 l ，处载荷 F 沿 AB 边，试求各杆内力
C 1.取研究对象:平台 2.分析受力,如图6-7所示,六根支承杆均为二力杆 3.列平衡方程求解: ∑Mc=0:-×2Fl+H|=0,F6=√2F A.gR-F、1=0.F=-F- F7+F2+W3=0, F,=F ∑∑∑∑ F=√2F 0 F3+F=0,F3=-√2F W Mn=0 -W=0,F4=-F 重心 众所周知,重心在力学及工程技术中具有重要的意义。本小节将以平行力系中心为 基础,引出重心概念及其计算公式 1.平行力系中心 先以两个平行力为例,说明平行力系中心的概念
A B D C E F G H F1 F2 F3 F4 F5 F6 F W z x y 解： 1． 取研究对象：平台。 2． 分析受力，如图 6-7 所示，六根支承杆均为二力杆。 3． 列平衡方程求解： MGC = 0： 0 2 2 − F6 l + Fl = ， F6 = 2F MBC = 0： 0 2 2 2 − 1 − 6 − = l F l F l W ， 2 1 W F = −F − MHG = 0： 0 2 1 + 2 + = l F l F l W ， F2 = F MFB = 0： 0 2 2 2 2 F5 l − F6 l = ， F5 = 2F MHD = 0 ： 0 2 2 F3 l + Fl = ， F3 = − 2F M AB = 0 ： 0 2 2 2 − 4 − 5 − = l F l F l W ， 2 4 W F = −F − 三、 重心 众所周知，重心在力学及工程技术中具有重要的意义。本小节将以平行力系中心为 基础，引出重心概念及其计算公式。 1．平行力系中心 先以两个平行力为例，说明平行力系中心的概念
B F、F2的合力F=F+F2 合力作用线位置用合力矩定理确定 假定合力作用线与AB连线交于C,则MC(F)=MC(F1)+MC(F2)=0 即: F CAsin a-F2 COsin a=0可得: F, CB 从动画可以看出,不管平行力方向如何,合力作用线总过C点,此点称为两平行力 F3 F1 显然,可以把上述概念及方法推广至任意平行力系,设几个力组成一平行力系 (F1,F2,…Fn)如图69,我们可以逐渐运用两平行力合成的方法求得合力 Fm=∑F。显然,若力系中各力大小和作用点保持不变,各力沿一转向转动任 C角后,其合力仍然通过同一点,并且也转动a角,此点称为平行力系中心 用上述的方法求平行力系是非常麻烦的,在工程实际一般用合力矩定理直接求合力 作用线的位置。设(F,F2,…F)是平行力系,令坐标系z轴与力的作用线平行。各
A B C F 1 F F2 F1 、 F2 的合力 F F1 F2 = + 合力作用线位置用合力矩定理确定 假定合力作用线与 AB 连线交于 C，则 MC (F) = MC (F1 ) + MC (F2 ) = 0 即： F1CAsin − F2CBsin = 0 可得： 1 2 F F CB CA = 从动画可以看出，不管平行力方向如何，合力作用线总过 C 点，此点称为两平行力 中心。 A1 A2 A3 An C1 C2 Cn−2 Cn−1 Fn FC1 FC2 FCn−2 FCn−1 F2 F3 F1 显然，可以把上述概念及方法推广至任意平行力系，设几个力组成一平行力系 ( , , ) F1 F2 Fn 如图 6-9，我们可以逐渐运用两平行力合成的方法求得合力 FCn− = Fi 1 。显然，若力系中各力大小和作用点保持不变，各力沿一转向转动任 一 角后，其合力仍然通过同一点，并且也转动 角，此点称为平行力系中心。 用上述的方法求平行力系是非常麻烦的，在工程实际一般用合力矩定理直接求合力 作用线的位置。设 ( , , ) F1 F2 Fn 是平行力系，令坐标系 z 轴与力的作用线平行。各
力作用点为A1(x1,y1=1)…A(x1,y2=)…A(xn,yn,二n)假定平行力系小心C的 坐标为(xc,yc,二c),则由合力矩定理 对ox轴取矩 M2(F)=∑M1(F)得-Fy=-∑Fy 对oy轴取矩M,(F)=∑M,(F)得FxC=∑Fx 将力系转过90°,使各力与oy轴平行 对ax轴取矩 M( F) F2 由上三式可得 F F ∑F (6-11) F ∑F= F 重心 作用在一物体各质点上的重力可近似地看成是一平行力系,此平行力系中心就称为 物体的重心。如将物体分割成许多微单元,每微单元的重力为 APC1(x1,y2,=)(=1,2,3…n),则由式(6-11)可得重心C的近似公式为
力作用点为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 i i i i n n n n A x y z A x y z A x y z 假定平行力系小心 C 的 坐标为 ( , , ) C C C x y z ，则由合力矩定理 对 ox 轴取矩 = = n i M x F M x Fi 1 ( ) ( ) 得 = − = − n i C i i Fy F y 1 对 oy 轴取矩 = = n i M y F M y Fi 1 ( ) ( ) 得 = = n i C i i Fx F x 1 将力系转过 90 ，使各力与 oy 轴平行 对 ox 轴取矩 = = n i M x F M x Fi 1 ( ) ( ) = = n i C i i Fz F z 1 由上三式可得 = = = = = = = = = = n i i n i i i C n i i i i C n i i n i i i n i i i C F F z z F F y y F F x F F x x 1 1 1 1 1 1 （6-11） 2．重心 作用在一物体各质点上的重力可近似地看成是一平行力系，此平行力系中心就称为 物体的重心。如将物体分割成许多微单元，每 微单元的重力为 PC ( , , ) i i i i C x y z (i = 1,2,3n) ，则由式（6-11）可得重心 C 的近似公式为
dv x△Px x APy (6-12) △P 在极限情况下,n→∞,AP→0时 重心坐标的一般公式为 ∑△Px pardi im>△P (6-13) gedi L Pedi 若物体是均质的,则比重四g对于整体物体是恒量,由(6-12)、(6-13)知,此时重 心位置与比重无关,仅决定于物体的几何形状和尺寸,故又称为物体的形心;或者 说均质物体的重心与形心是重合的
x y z O 1 dV 2 dV dVi P1 P2 Pi P = = = = = = P P z z P P y y P P x x n i i i C n i i i C n i i i C 1 1 1 （6-12） 在极限情况下， n →， Pi → 0 时 重心坐标的一般公式为 = = = = = = = → = → = → V V n i i i n C V V n i i i n C V V n i i i n C gdV gzdV P P z z gdV gydV P P y y gdV gxdV P P x x 1 1 1 lim lim lim （6-13） 若物体是均质的，则比重 g 对于整体物体是恒量，由（6-12）、（6-13）知，此时重 心位置与比重无关，仅决定于物体的几何形状和尺寸，故又称为物体的形心；或者 说均质物体的重心与形心是重合的