第五章摩擦平衡问题 教学目标 1能区分滑动摩擦力与极限滑动摩擦力。对滑动摩擦定律有淸晰的理解 2能熟练计算考虑摩擦力的物体的平衡问题 3理解摩擦角的概念和自锁现象,能用摩擦角解物体的平衡问题 4理解滚动摩阻定律。学会解滑动摩擦和滚动摩阻同时存在的平衡问题。 本章重点 滑动摩擦力和极限滑动摩擦力,滑动摩擦定律。 考虑摩擦时物体的平衡问题。平衡的临界状态和平衡范围。 本章难点 用摩擦角解物体、物体系的平衡问题 教学过程 1.概念:两个相互接触的物体,当接触面之见有相对滑动或相对滑动趋势时,彼此阻 碍滑动的机械作用。 2.滑动摩擦力的性质和库仑摩擦定律 G G FN 质量为的物体静止地置于水平面上,设两者接触面都是非光滑面。现在物块上施加水 平力并令其自零开始增加。 a.静滑动摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反,大小在零与最大静摩擦力之 间,即0≤F≤Fm (4-1) 一般静摩擦力又平衡条件确定,最大静摩擦力F-s=∫F 称为库仑摩擦定律,其中∫是静摩擦系 b动滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反,大小F=∫F称为库仑动摩擦定律 是动摩擦系数。 二.摩擦角与自锁现象 1.摩擦角
第五章摩擦平衡问题 教学目标 1 能区分滑动摩擦力与极限滑动摩擦力。对滑动摩擦定律有清晰的理解。 2 能熟练计算考虑摩擦力的物体的平衡问题。 3 理解摩擦角的概念和自锁现象，能用摩擦角解物体的平衡问题。 4 理解滚动摩阻定律。学会解滑动摩擦和滚动摩阻同时存在的平衡问题。 本章重点 滑动摩擦力和极限滑动摩擦力，滑动摩擦定律。 考虑摩擦时物体的平衡问题。平衡的临界状态和平衡范围。 本章难点 用摩擦角解物体、物体系的平衡问题。 教学过程 一．1．概念：两个相互接触的物体，当接触面之见有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此阻 碍滑动的机械作用。 2．滑动摩擦力的性质和库仑摩擦定律 演示 FP G mg G mg FN FP FS 质量为的物体静止地置于水平面上，设两者接触面都是非光滑面。现在物块上施加水 平力并令其自零开始增加。 a .静滑动摩擦力的方向与物体相对运动趋势方向相反，大小在零与最大静摩擦力之 间，即 0 Fs Fs max (4-1) 一般静摩擦力又平衡条件确定，最大静摩擦力 s sFN F = f max 称为库仑摩擦定律，其中 s f 是静摩擦系数。 b .动滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反，大小 N F = fF 称为库仑动摩擦定律， 是动摩擦系数。 二．摩擦角与自锁现象 1．摩擦角
A 2max 考察图中所示的物体受力,FN+F=F称为全反力,全反力与法向约束力的夹角用 来表 在保持物块静止的前提下,F、随F的增大而增大,当F=F3m时,F达到最 大值,其作用点由A移至An,这时角度φ=φm称为摩擦角。一般情形下0≤φ≤qn 该式表示全约束反力F在二维空间的作用范围,(4-2)和(44)分别为静滑动摩擦力有最 大限定值Fm这一概念的解析与几何表达式,因而二者等价。 当F=m时,有tano.sFn f 故qn= arctan f(4-5) 它表明,摩擦角的正切等于静摩擦系数。在图53中,若将作用线过点O的力FQ连续 改变它在水平面内的方向,则全约束反力F的方向也随之改变。假定两物体接触面沿 任意方向的静摩擦系数均相同,这样,在两物体处于领结平衡状态时,全约束力F的 作用线将再空间形成一个顶角为2φn的正圆锥面,称之为摩擦锥。摩擦锥是全约束力 F在三维空间内的作用范围 2.自锁 如果作用在物体上的全部主动力的合力Fp的作用线在摩擦锥之内,则无论这个力怎么 大,物体总能保持平衡,这种现象称为摩擦自锁。反之,如果全部主动力的合力的作 用线在摩擦锥外,无论这个力怎么小,物体一定不能平衡。 演示:重为P的物体放在斜面上,当斜面倾角α逐渐增大,物体与斜面的摩擦角为 qm,物体的运动状态
FP F FS FQ FN O mg A Am max max Fmax O 2 max 考察图中所示的物体受力， FN Fs F + = 称为全反力，全反力与法向约束力的夹角用 来表示， 在保持物块静止的前提下， F 、 随 FQ 的增大而增大，当 FQ = Fs max 时， F 达到最 大值，其作用点由 A 移至 Am ，这时角度 = m 称为摩擦角。一般情形下 0 m 该式表示全约束反力 F 在二维空间的作用范围，(4-2)和(4-4)分别为静滑动摩擦力有最 大限定值 Fs max 这一概念的解析与几何表达式，因而二者等价。 当 F Fmax = 时，有 s N s m f F F = = max tan 故 m s = arctan f (4-5) 它表明，摩擦角的正切等于静摩擦系数。在图 5.3 中，若将作用线过点 O 的力 FQ 连续 改变它在水平面内的方向，则全约束反力 F 的方向也随之改变。假定两物体接触面沿 任意方向的静摩擦系数均相同，这样，在两物体处于领结平衡状态时，全约束力 F 的 作用线将再空间形成一个顶角为 m 2 的正圆锥面，称之为摩擦锥。摩擦锥是全约束力 F 在三维空间内的作用范围。 2．自锁 如果作用在物体上的全部主动力的合力 FP 的作用线在摩擦锥之内，则无论这个力怎么 大，物体总能保持平衡，这种现象称为摩擦自锁。反之，如果全部主动力的合力的作 用线在摩擦锥外，无论这个力怎么小，物体一定不能平衡。 演示：重为 P 的物体放在斜面上，当斜面倾角 逐渐增大，物体与斜面的摩擦角为 m ，物体的运动状态
max h 从图中可以看出,a(qn物体保持平衡 a)n物体发生运动 a=n物体处于平衡与运动的临界状态 由此可知:物体在有摩擦的斜面上的自锁条件是a≤m 考虑摩擦的平衡问题 例1.2.5kg的物体与倾角为30°的斜面间的静滑动摩擦系数∫,=025,求当水平力 P=20N时,摩擦力的大小,方向 30 30N 解 1.取研究对象:物块 2.受力分析:假定物体处于静止状态且有沿斜面向上的运动趋势,所以摩擦力方向如 图,其它受力如图。当然也可以假定物体有沿斜面向下运动趋势,于是摩擦力方向 与图示相反。 3.列方程求解: ∑F=0F1-Pcos30°+Wwsm30°=0 ∑Fn=0-Psm30-cos30°+F=0 F,=5.06N F=31.23N 4.检验:Fm=fFR=781N F,〈F
max max mg 从图中可以看出， m 物体保持平衡 m 物体发生运动 = m 物体处于平衡与运动的临界状态 由此可知：物体在有摩擦的斜面上的自锁条件是 m 三．考虑摩擦的平衡问题 例1． 2.5kg 的物体与倾角为 30 的斜面间的静滑动摩擦系数 f s = 0.25 ，求当水平力 P = 20N 时，摩擦力的大小，方向。 P W 30 P W FS FN 30 解： 1．取研究对象：物块 2．受力分析：假定物体处于静止状态且有沿斜面向上的运动趋势，所以摩擦力方向如 图，其它受力如图。当然也可以假定物体有沿斜面向下运动趋势，于是摩擦力方向 与图示相反。 3．列方程求解： Fix = 0 Fs − Pcos30 +W sin 30 = 0 Fiy = 0 − Psin 30 −W cos30 + FN = 0 Fs = 5.06N FN = 31.23N 4．检验： Fs max = f sFN = 7.81N Fs Fs max
所以物体处于静止状态F=506N 例2.在斜面上放一重为P的物体,已知斜面的倾角a大于摩擦角On,试求维持物 体在斜面上静止所需水平力O的大小 解析法 1.取研究对象:物块 2.分析受力:因为α)n,如果没有力作用,物体将沿斜面下滑,故要使物体在斜面 上静止,必须有ρ〉0。若力ρ较小时,物体有下滑趋势,摩擦力沿斜面向上;反之, 若力Q较大时,物体有上滑趋势,摩擦力沿斜面向下 (1)物体有下滑趋势,受力如图57(6) 图7(a)PQa 图57(6) POaFN F 图7(6) PofF 列方程: >E=0 -Psin a+F +@cosa=o(a) >En=0 Fn-Pcosa-Fsin a=(b) 物理条件:F≤∫FN= tan 6 Fm 联立(a)6b)()可得:Q≥Ptan(a-On) (2)物体有下滑趋势,受力如图57() 列方程: >E=0 -Psin a-F+@cosa=o(d)
所以物体处于静止状态 Fs = 5.06N 例2． 在斜面上放一重为 P 的物体，已知斜面的倾角 大于摩擦角 m ，试求维持物 体在斜面上静止所需水平力 Q 的大小 P F FS FN P F FS FN P F 一．解析法 1．取研究对象：物块 2．分析受力：因为 m ，如果没有力作用，物体将沿斜面下滑，故要使物体在斜面 上静止，必须有 Q0 。若力 Q 较小时，物体有下滑趋势，摩擦力沿斜面向上；反之， 若力 Q 较大时，物体有上滑趋势，摩擦力沿斜面向下。 （1）物体有下滑趋势，受力如图 5.7 (b) 图 5.7 (a) P Q 图 5.7 (b) P Q FN Fs 图 5.7 (b) P Q FN Fs 列方程： Fix = 0 − Psin + Fs + Qcos = 0 (a) Fiy = 0 FN − Pcos − F sin = 0 (b) 物理条件： s sFN m FN F f = tan (c) 联立 (a) (b) (c) 可得： ( ) Q P − m tan （2）物体有下滑趋势，受力如图 5.7 (c) 列方程 ： Fix = 0 − Psin − Fs + Qcos = 0 (d)
>E=0 FN-Pcosa-@sin a=o(e) 物理条件:F≤F= an FN() 联立(d)(e)()可得:Q≤Ptan(a+On) 综上所述,物体要在斜面上保持静止,应满足Pan(a-0n)≤Q≤Pan(a+0n) 几何法 in=Ptan(a-B =Ptan(a+6 mn≤Q≤Qm 例三.图(a)所示为攀登电线杆时所采用脚套钩。已知套钩的尺寸l,电线杆的直径D, 摩擦系数∫,。试求套钩不致下滑时脚踏力F的作用线与电线杆中心线的距离d 解 解析法: 1.取研究对象:套钩 2.受力分析:如图(b) 3.列方程 ∑F2=0-FM+FB=0 ∑Fn=0Fa+EB-F=0
Fiy = 0 FN − Pcos − Qsin = 0 (e) 物理条件： s sFN m FN F f = tan (f ) 联立 (d) (e) (f ) 可得： ( ) Q P + m tan 综上所述，物体要在斜面上保持静止，应满足 ( ) ( ) P − m Q P + m tan tan 二．几何法 O m m ( ) Q = P − m min tan ( ) Q = P + m max tan Qmin Q Qmax 例三．图 (a) 所示为攀登电线杆时所采用脚套钩。已知套钩的尺寸 l ，电线杆的直径 D ， 摩擦系数 s f 。试求套钩不致下滑时脚踏力 F 的作用线与电线杆中心线的距离 d 。 d A B D P FNB dmin C A B FAS FBS FNA D P 解： 一．解析法： 1．取研究对象：套钩 2．受力分析：如图 (b) 3．列方程 Fix = 0 − FNA + FNB = 0 Fiy = 0 FAs + EBs − F = 0
∑M,(F)=0F1+FD 0 物理条件:F4≤JFM4 Fn≤fF 联立以上各式可得:d≥ , 几何法: 分别作出A、B两处的摩擦角,相应得到两处的全约束反力F4和FB的方向。于 是,套钩应在F,、F和P三个力作用下处于临界平衡,故三力必交于一点C。 d K NB d-tanom +d+tan Pm=I 由此解得:d= 由图可知:d≥ f f 三.滚动摩阻 1.滚动摩阻力偶:滚动摩阻是指一物体沿另一物体表面作相对滚动或有滚动趋势时, 接触面间产生的一种阻碍滚动的机械运动。从实例分析,水平面有滚子处于平衡状 态,滚子无运动趋势,接触面间无摩擦力 在滚子中心加一较小的力,滚子仍平衡。说明存在摩擦力F,由∑F=0: F,+F=0知F=F力F与F形成一对力偶,使滚子滚动。由于滚子静止
M A (Fi) = 0 0 2 = + − + d F l F D F l NB Bs 物理条件： As sFNA F f Bs sFNB F f 联立以上各式可得： s f l d 2 二．几何法： 分别作出 A 、B 两处的摩擦角，相应得到两处的全约束反力 FA 和 FB 的方向。于 是，套钩应在 FA 、 FB 和 P 三个力作用下处于临界平衡，故三力必交于一点 C 。 dmin C A B FAS FBS FNA FNB FRA FRB m m D P l D d D d m m = + + − tan 2 tan 2 f l D f d D d s s = + + − 2 2 由此解得： s f l d 2 = 由图可知： s f l d 2 三．滚动摩阻 1．滚动摩阻力偶：滚动摩阻是指一物体沿另一物体表面作相对滚动或有滚动趋势时， 接触面间产生的一种阻碍滚动的机械运动。从实例分析，水平面有滚子处于平衡状 态，滚子无运动趋势，接触面间无摩擦力。 O FN FN FS M f F O 在滚子中心加一较小的力，滚子仍平衡。说明存在摩擦力 Fs ，由 Fix = 0 ： − Fs + F = 0 知 Fs = F 力 F 与 Fs 形成一对力偶，使滚子滚动。由于滚子静止
所以接触面间产生一个阻碍滚子滚动的力偶M,,该力偶称为滚动摩阻力偶,简称 滚阻力偶,它的转向与滚子滚动的趋势相反 2.滚动摩阻力偶的成因:滚子和路面有接触变形 A M 受到较小的水平拉力F,约束力分布不均匀。 将此分布力系向点简化,得到主矢F和主矩M,此M/即是滚动摩阻力偶,FA M 可分解为FN和F,将M/和FN合成为点的一个力,偏离一段微小距离d,d F 当F增大,d增大,滚子处于临界状态时,滚子达到最大偏离量δ,这时滚动摩阻力 偶也达到最大,可表示为M/m=F,称为滚动摩阻系数 一般情况下,≤M≤M/mx 3.滑动摩擦力在滚动运动中的作用 上述分析表明,物体滚动前后,除M存在外,还存在F,力F阻碍轮与接触 面在接触处的相互滑动,但不阻碍滑动,相反还是轮产生滚动的条件。如图5.13()所 示,只有足够大的F与拉力F形成足够大的主动力偶才能克服滚动摩阻力偶M 使滚子滚动 下面说明为什么滚动比滑动省力。 使重为W的物块滑动所需拉力F1为F1=Fm=f,FN=fW 使重为的滚子滚动所需的拉力F2为F2=F,=M/mFm5 一般情况下:一《,故有 FF, FKF 上面两式说明,滚子在较小的主动力作用下产生滚动,其滑动摩擦力远远小于最 大静摩擦力
所以接触面间产生一个阻碍滚子滚动的力偶 M f ，该力偶称为滚动摩阻力偶，简称 滚阻力偶，它的转向与滚子滚动的趋势相反。 2．滚动摩阻力偶的成因：滚子和路面有接触变形 O F A O F A FN FS M f F O A FS F O FN d B A 受到较小的水平拉力 F ，约束力分布不均匀。 将此分布力系向点简化，得到主矢 FA 和主矩 M f ，此 M f 即是滚动摩阻力偶， FA 可分解为 FN 和 Fs ，将 M f 和 FN 合成为点的一个力，偏离一段微小距离 d ， N f F M d = 当 F 增大， d 增大，滚子处于临界状态时，滚子达到最大偏离量 ，这时滚动摩阻力 偶也达到最大，可表示为 M f max = FN ， 称为滚动摩阻系数 一般情况下， M f M f max 3．滑动摩擦力在滚动运动中的作用 上述分析表明，物体滚动前后，除 M f 存在外，还存在 Fs ，力 Fs 阻碍轮与接触 面在接触处的相互滑动，但不阻碍滑动，相反还是轮产生滚动的条件。如图 5.13 (c) 所 示，只有足够大的 Fs 与拉力 F 形成足够大的主动力偶才能克服滚动摩阻力偶 M f ， 使滚子滚动。 下面说明为什么滚动比滑动省力。 使重为 W 的物块滑动所需拉力 F1 为 F1 = Fs max = f sFN = f sW 使重为的滚子滚动所需的拉力 F2 为 r W r F r M F F f N s = = = = max 2 一般情况下： s f r 故有 F2 F1 ， Fs Fs max 上面两式说明，滚子在较小的主动力作用下产生滚动，其滑动摩擦力远远小于最 大静摩擦力
