第三章力矩和力偶理论 教学要求 1对于力对点之力矩矢应有清晰的理解,对于平面问题中力对点之矩应能熟练计算。 2深入理解力偶和力偶矩的概念。明确力偶的性质和力偶的等效条件。 3掌握力偶系的合成方法,能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题 本章重点 平面问题中的力对点之矩的计算,力偶矩的计算,平面力偶性质和力偶等效条件。 力对点之矩与力对轴之矩 1.力对点之矩 1)概念 n F 实例 力F对矩心0的力矩取决于下列三要素 ①力F对矩心0所决定平面的方位,由法线Om表示,该平面称为力矩作用平面 ②力矩作用平面内,力F绕矩心0的转向。 ③力矩的大小,Fd=±2SDAB 力矩矢M(F) 方位:沿过0点力矩作用面的法线,表示力矩作用的方位 模:等于力矩大小Fd 指向:用右手法则,表示力矩转向 M0(F=F×F (3.1) M(F)=F×F=f 力矩矢是定们矢量。(此式不是力矩的大小,应解释清楚为什么能用F×F表示力矩矢。 2)解析式 若F=xi+y+ Ek F=Fi+Fj+Fk
第三章 力矩和力偶理论 教学要求 1 对于力对点之力矩矢应有清晰的理解，对于平面问题中力对点之矩应能熟练计算。 2 深入理解力偶和力偶矩的概念。明确力偶的性质和力偶的等效条件。 3 掌握力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。 本章重点 平面问题中的力对点之矩的计算，力偶矩的计算，平面力偶性质和力偶等效条件。 一．力对点之矩与力对轴之矩 1．力对点之矩 1）概念 实例： x y z A(x,y,z) O B M (F) o n r F d 力 F 对矩心 O 的力矩取决于下列三要素 ① 力 F 对矩心 O 所决定平面的方位，由法线 On 表示，该平面称为力矩作用平面。 ②力矩作用平面内，力 F 绕矩心 O 的转向。 ③ 力矩的大小， Fd = 2SOAB 力矩矢 M (F) 方位：沿过 O 点力矩作用面的法线，表示力矩作用的方位。 模：等于力矩大小 Fd 指向：用右手法则，表示力矩转向 M F r F 0 ( ) = （3.1） M F = r F = Fd ( ) 0 力矩矢是定们矢量。（此式不是力矩的大小，应解释清楚为什么能用 r F 表示力矩矢。 2）解析式 若 r xi yj zk F F i F j F k x y z = + + = + +
M0(F)=F×F (3.2) (F-y-Fy=)i+(Fr:xj+(Fyx-Fiy)k 于是M(F)在x、y、z轴上的投影为 Mo(FL=Fy-F MoF)I =F=-Fx (3.3) Mo(FL=E,x-Fy 若力F及矩心0都位于xy平面内,则 Mo(F=(F x-F yk 可用一代数量表示 M(F)=F,x-Fy=±Fd (3.4) 3)汇交力系的合力矩定理 设有汇交于点A的汇交力系(F1,F2,F3…Fn),其合力为F,自0至A作矢径F,则合力 对点0的力矩矢为M0(F)=F×F 将F=∑F代入上式有 M0(F)=F×C∑F)=FxF+F×F2+…+FxF (3.5) ∑M0(F)
则 F y F z i F y F x j F x F y k F F F x y z i j k M F r F z y x z y x x y z ( ) ( ) ( ) ( ) 0 = − + − + − = = （3.2） 于是 ( ) M0 F 在 x 、 y 、 z 轴上的投影为 = − = − = − M F F x F y M F F z F x M F F y F z z y x y x z x z y ( ) ( ) ( ) 0 0 0 （3.3） 若力 F 及矩心 O 都位于 xy 平面内，则 M F F x F y k y x ( ) ( ) 0 = − 可用一代数量表示 M0 (F) = Fy x − Fx y = Fd （3.4） + - 3）汇交力系的合力矩定理 x y z r F1 F2 Fn F A 设有汇交于点 A 的汇交力系 ( , , , ) F1 F2 F3, Fn ，其合力为 F ，自 O 至 A 作矢径 r ，则合力 对点 O 的力矩矢为 M F r F 0 ( ) = 将 F =F0 代入上式有 = = = + + + ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 2 i n M F M F r F r F r F r F （3.5）
即:汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各个分力对同一点力矩矢的矢量和,对于平面问 题有平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和 2.力对轴之矩 1)概念 实例:门绕门轴转动 F 设作用在刚体上的力F的作用点为A,将力F分解为两个力,其中F∥0E,另一分力Fy 在过A且垂直于Oz轴的平面xy内 由经验知:分力F不会使刚体绕0轴转动,正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴 转动一样,力F对刚体绕Oz轴的转动完全决定于分力F对0点之矩,于是力对轴之矩为 力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩 M(F)=M(F)=±Fd (3.6) 正负号由右手螺旋法则确定 2)解析式 M (F)=Fx-Fy (3.7a) 同理M2(F)=Fy-F,2 (3.7b) M ( F=F=-F 3.力对点之矩与力对轴之矩之间的关系 对比(3.3)及(3.7)可知 [M0(F)]2=M(F) [M(F),=M,(F) (3.8) [M6(F):=M2(F) 上式表明:力对点0之力矩矢在通过该点的任一轴L上的投影等于力对该轴之矩 (3.9)
即：汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各个分力对同一点力矩矢的矢量和，对于平面问 题有平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。 2．力对轴之矩 1）概念 实例: 门绕门轴转动 F Fz Fxy O d A Z x y z A(x,y,z) F Fy Fx Fz Fy Fx Fxy x y a O 设作用在刚体上的力 F 的作用点为 A，将力 F 分解为两个力，其中 F z ∥ oz ，另一分力 Fxy 在过 A 且垂直于 oz 轴的平面 xy 内。 由经验知：分力 F z 不会使刚体绕 oz 轴转动，正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴 转动一样，力 F 对刚体绕 oz 轴的转动完全决定于分力 Fxy 对 O 点之矩，于是力对轴之矩为 力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩 Mz F Mo Fxy Fxyd ( ) = ( ) = （3.6） 正负号由右手螺旋法则确定 2）解析式 M F F x F y z y x ( ) = − （3.7a） 同理 M F F y F z x z y ( ) = − （3.7b） M F F z F x y x z ( ) = − （3.7c） 3．力对点之矩与力对轴之矩之间的关系 对比（3.3）及（3.7）可知 = = = [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 M F M F M F M F M F M F z z y y x x （3.8） 上式表明：力对点 O 之力矩矢在通过该点的任一轴 L 上的投影等于力对该轴之矩。 即： ( ) ( ) M0 F el Ml F = （3.9）
其中e表示沿L方向的单位矢量。 例1:力F作用于支架上的点C,如图所示,设F=100N,试求力F分别对点A,B之矩 解:因为求力F对A、B两点的力臂比较麻烦,故利用合力矩定理求解 M(F)=M,(F+M,(F 2Fsn60°-3Fcos60°=23N.m MB(F)=MB(F)+MB(F) 0-3Fco 例2:如图所示,力F通过点A(3,4,0)和点B(0,0,5),设F=100N,图中尺寸单位为 求:(1)力F对直角坐标轴x,y,z之矩: (2)力F对图中轴0C之矩,点C坐标为(3,0,5)。 解:1.利用式(3.7)计算力F对轴x,y,z之矩 先计算力F在坐标轴上的投影,图中 O4=OB,y=45°,c0sq=0.6,nq=0.8 F=-Fs F=-Fsin sin =-566M F=Cosy=70. 力F作用点A的坐标为x=3m,y=4m,z=0 于是M2(F)=Fy-F,==2828N·m
其中 l e 表示沿 L 方向的单位矢量。 例 1：力 F 作用于支架上的点 C,如图所示，设 F =100N ，试求力 F 分别对点 A,B 之矩。 3m A B C 60 F 解： 因为求力 F 对 A、B 两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解。 F N m M F M F M F F F N m M F M F M F B B x B y A A x A y = − = − = + = − = = + 0 3 cos 60 150 ( ) ( ) ( ) 2 sin 60 3 cos 60 23 ( ) ( ) ( ) 例 2：如图所示，力 F 通过点 A(3,4,0)和点 B(0,0,5),设 F =100N ，图中尺寸单位为 m。 求：(1)力 F 对直角坐标轴 x,y,z 之矩； (2)力 F 对图中轴 OC 之矩，点 C 坐标为(3,0,5)。 x y z A B C O 3 4 5 F 解：1.利用式(3.7)计算力 F 对轴 x,y,z 之矩。 先计算力 F 在坐标轴上的投影，图中 F F N F F N F F N OA OB z y x cos 70.7 sin sin 56.6 sin cos 42.4 , 45 ,cos 0.6,sin 0.8 = = = − = − = − = − = = = = 力 F 作用点 A 的坐标为 x=3m,y=4m,z=0 于是 Mx (F) = Fz y − Fy z = 282.8N m
M (F)=F=-Fx=-212 IN.m M(F)=Fx-Fy=0 2.利用式(3.8)计算力F对坐标轴x,y,z之矩 先计算力F对点0之力矩矢M,(F),为此写出力F和矢径F的解析式: F=-424-566j+70.7k,F=OB=5k(m) 利用式(3.1)有M(F)=P×F=2828-2121j 再利用式(3.8)有 M(F)=[M0(F)2=2828N·m M,(F)=[M0(F),=-212.1Nm M:(F)=[M0(F):=0 3.计算力F对图中轴OC之矩。 先计算沿轴的单位矢量:2=01=(3+5/94 再利用式(9,有M(F)=[列=M(F)e=1455Nm 二.力偶及其性质 1.力偶的概念 大小相等,方向相反,作用线平行,但不在同一直线上的两个力组成的力系称为力偶 记为(F,F)。力偶中的两力作用线间垂直距离d称为力偶臂,两力作用线所决定的平面称 为力偶作用面,力偶矩M=±Fd 实例:攻螺丝 2.力偶的性质: 性质1:力偶不能简化为一合力 首先研究两反向平行力的合成:刚体上A、B两点作用反向平行力F1、F2,设F1>F2,因 F1、F2不相交,不能直接应用力的平行四边形法则合成,故在A和B两点各加一力F3、F4, 令这两个力大小相等,作用线相同,方向相反,即有F3=-F4,即F3和F是一对平衡力, F+F3=F,F2+F=FB,F和F交于C点,由平行四边形法则可求F和FB的合 力F,必过C点,即
M y (F) = Fx z − Fz x = −212.1N m Mz (F) = Fy x − Fx y = 0 2.利用式(3.8)计算力 F 对坐标轴 x,y,z 之矩。 先计算力 F 对点 O 之力矩矢 M (F) o ，为此写出力 F 和矢径 r 的解析式： F i j k = −42.4 − 56.6 + 70.7 , r OB 5k (m) = = 利用式(3.1)有 M F r F i j 0 ( ) = = 282.8 − 212.1 再利用式(3.8)有 ( ) [ ( )] 0 ( ) [ ( )] 212.1 ( ) [ ( )] 282.8 0 0 0 = = = = − = = z z y y x x M F M F M F M F N m M F M F N m 3.计算力 F 对图中轴 OC 之矩。 先计算沿轴 OC 的单位矢量 c e ：ec OC OC (3i 5k ) 34 = = + 再利用式(3.9)，有 MOC (F) = M0 (F)OC = MO (F) ec =145.5N m 二．力偶及其性质 1．力偶的概念： 大小相等，方向相反，作用线平行，但不在同一直线上的两个力组成的力系称为力偶， 记为 (F,F ) 。力偶中的两力作用线间垂直距离 d 称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称 为力偶作用面，力偶矩 M = Fd 实例：攻螺丝 2．力偶的性质： 性质 1：力偶不能简化为一合力。 首先研究两反向平行力的合成：刚体上 A、B 两点作用反向平行力 F1 、F2 ，设 F1 F2 ，因 F1 、F2 不相交，不能直接应用力的平行四边形法则合成，故在 A 和 B 两点各加一力 F3 、F4 ， 令这两个力大小相等，作用线相同，方向相反，即有 F3 F4 = − ，即 F3 和 F4 是一对平衡力， F F FA 1 + 3 = ，F F FB 2 + 4 = ， FA 和 FB 交于 C 点，由平行四边形法则可求 FA 和 FB 的合 力 F ，必过 C 点，即
F=F1+FB=(F1+F)+(F2+F4)+=F1+F2 令F的指向为正,则的大小为 F=F-F 合力F的作用线F和F2的作用线平行,指向与F相同,为了确定合力F作用线的位置, 延长此力的作用线,它与AB连线交于C,将合力F沿其作用线移到C点,由合力矩定理, 以C为矩心,得 F=F-F M(F=M(F+M(F2) F 即:FAC=F2AB所以=== F1 AC 也可得: FY AC Fr-F2 BC=AB F1-F2 若F=F2,合力R大小为0,则BC→∞,这结果表明力偶无合力,即它这能与一个力的 作用等效。 性质2:力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩,与矩心位置无关。因此力偶对刚 体的转动效应用力偶矩度量,在平面问题中,力偶矩是个代数量 0是力偶作用面内任意一点 Mo(F)+Mo(F)=F(d+x)-Fx=Fd 表明,力偶中两力对其作用面内任一点矩的代数和与矩心无关,只与力偶中任一力的大小和 力偶臂的长短有关。在平面问题中,将乘积Fd再冠以适当的正负号,作为力偶使物体转动 效应的度量,称为力偶矩,常用符号M(F,F)或M表示,即 M(F,F)=M=±Fd=+2SABC 性质3:力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。 性质4:同一平面内力偶矩大小相等,转向相同的两力偶对刚体的作用等效,称之为平面力 偶的等效定理。 证:(图解) (F, F=(F, F, F,FR=(F,, F AABC
1 3 2 4 1 2 F FA FB (F F ) (F F ) F F = + = + + + + = + 令 F1 的指向为正，则的大小为 F = F1 − F2 合力 F 的作用线 F1 和 F2 的作用线平行，指向与 F1 相同，为了确定合力 F 作用线的位置， 延长此力的作用线，它与 AB 连线交于 C，将合力 F 沿其作用线移到 C 点，由合力矩定理， 以 C 为矩心，得 F = F1 − F2 ( ) ( ) ( ) M A F M A F1 M A F2 = + 即： F AC = F2 AB 所以 1 2 F F BC AC = 也可得： 1 2 1 1 F F BC AC − = − 1 1 2 F F F BC AC − = 1 2 1 F F F BC AB − = 若 F1 = F2 ，合力 R 大小为 0，则 BC → ，这结果表明力偶无合力，即它这能与一个力的 作用等效。 性质 2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关。因此力偶对刚 体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中，力偶矩是个代数量。 O 是力偶作用面内任意一点 M0 (F) + M0 (F) = F(d + x) − F x = Fd 表明，力偶中两力对其作用面内任一点矩的代数和与矩心无关，只与力偶中任一力的大小和 力偶臂的长短有关。在平面问题中，将乘积 Fd 再冠以适当的正负号，作为力偶使物体转动 效应的度量，称为力偶矩，常用符号 M (F,F ) 或 M 表示，即 M F F = M = Fd = SABC ( , ) 2 性质 3：力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。 性质 4：同一平面内力偶矩大小相等，转向相同的两力偶对刚体的作用等效，称之为平面力 偶的等效定理。 证：（图解） ( , ) ( , , , ) ( , ) F F F1 FA F1 FB F2 F2 SABC = SDAB
由此可见(F1,F1)和(F2,F2)的力偶矩大小相等,转向相同,但是力偶在作用面内的位置, 力偶中力的大小和方向及力偶臂的长短都不同,说明这些因素都不足决定力偶等效的因素, 而决定力偶等效的因素是力偶矩的大小和转向。因而力偶在其作用平面内常用一弯箭头表 性质5:力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动,而不改变原力偶对刚体的效应。 证:(图解) (F, F)=(F,F,FB, FSFi, FA) (F,F,F1,F1) ≡(F1,F) 3.力偶性质小结 根据力偶的上述性质,可得出空间力偶的等效条件是:力偶矩的大小相等,转向相同,作用 面平行的两力偶等效,对于空间力偶的三要素,可以用一个矢量,一力偶矩矢M表示 M方位:垂直于力偶作用面 模:等于力偶的矩大小 指向:用右手法则表示 M F力偶矩矢M是自由矢量 结论:力偶对刚体的作用用力偶矩矢表示:力偶矩矢相等的两力偶等效。 三、力偶系的简化与平衡 1.简化 空间力偶系:(M1,M2 M=∑M,M=√∑M)2+△Mn)+∑M2) cos(M,x)=∑M/M cos(M,)=∑M=/M 2.平衡: 空间力偶系平衡的必要与充分条件是 ∑M=0 解析表达式1∑M=0 M=0
由此可见 ( , ) F1 F1 和 ( , ) F2 F2 的力偶矩大小相等，转向相同，但是力偶在作用面内的位置， 力偶中力的大小和方向及力偶臂的长短都不同，说明这些因素都不足决定力偶等效的因素， 而决定力偶等效的因素是力偶矩的大小和转向。因而力偶在其作用平面内常用一弯箭头表 示。 性质 5：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。 证：（图解） ( , ) ( , , , , , ) 1 B1 1 1 A1 F F F F F F F F ( , , , ) Fo Fo F1 F1 ( , ) F1 Fo 3．力偶性质小结 根据力偶的上述性质，可得出空间力偶的等效条件是：力偶矩的大小相等，转向相同，作用 面平行的两力偶等效，对于空间力偶的三要素，可以用一个矢量，一力偶矩矢 M 表示。 M 方位：垂直于力偶作用面， 模：等于力偶的矩大小 指向：用右手法则表示 M r F = 力偶矩矢 M 是自由矢量。 结论：力偶对刚体的作用用力偶矩矢表示；力偶矩矢相等的两 力偶等效。 三、力偶系的简化与平衡 1．简化： 空间力偶系： ( , , ) M1 M 2 M n M = Mi = + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) M Mix Miy Miz 2．平衡： 空间力偶系平衡的必要与充分条件是： Mi = 0 解析表达式 = = = 0 0 0 iZ iy ix M M M = = = M z M M M y M M M x M M iz iy ix cos( , ) cos( , ) cos( , )
特例:平面问题 ∑ =0 例 已知:简支梁AB上作用有两个平行力,F,F′和一个力偶。l=5ma=1m F=F'=20kN,力偶矩的大小M=40kN·m,转向逆时针a=30°,不计梁自重 求:支座A、B的反力。 解:1.研究对象AB梁 2.受力分析 3.列方程求解 ∑M=0,Fasn30°+F-M=0 F=F=6kM 四.力的平移定理 F (F)=(F,F,F")≡(M,F) 可见作用于刚体上的力均可从原来的作用点平行地移至同一刚体内任意一点,为不改变原力 对刚体的作用效应,必须附加一力偶,该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩,称 为力的平移定理。 MO(F=MOFi+[Mo(Fl+Mo(f)k
特例：平面问题 Mi = 0 例 1 已知：简支梁 AB 上作用有两个平行力， F ， F 和一个力偶。 l = 5m a =1m ， F = F = 20kN ，力偶矩的大小 M = 40kNm ，转向逆时针 0 = 30 ，不计梁自重。 求：支座 A、B 的反力。 解：1．研究对象 AB 梁 2．受力分析 3．列方程求解 Mi = 0， Fasin 30 + FA l − M = 0 FA = FB = 6kN 四．力的平移定理 F = F = −F M M (F) o = (F) (F,F ,F) (M,F) 可见作用于刚体上的力均可从原来的作用点平行地移至同一刚体内任意一点，为不改变原力 对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩，称 为力的平移定理。 M F M F i M F j M F k O x y z ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] = 0 + 0 + 0