第四章平面力系 教学目标 1掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简 化的结果 2深入理解平面任意力系的平衡条件平衡方程的三种形式 3理解简单桁架的简化假设,掌握计算其杆件内力的节点法和截面法 本章重点 1平面任意力向作用面内任一点的简化,力系的简化 2平面任意力系平衡的解析条件,平衡方程的各种形式 3物体及物体系平衡问题的解法 本章难点 主矢与主矩的概念,平面力系简化为合力时,和力作用线的确定。物体系的平衡。 教学过程 概述 各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系,简称平面力系。平面力 系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先,平面力系是工程中常 见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时,虽然力的作用线不都在同一平面内, 但其作用力系往往具有一对称平面,可将其简化为作用在对称平面内的力系 1.平面力系向平面内一点简化 M 设在刚体上作用一平面力系(F1,F2,…Fn),各力的作用点如图所示。O称简化中心 (F) 主矢F=∑FF=F)+②h)cosa=F=2h ∑F 主矩M=∑MG) 结论:平面力系向作用面内任一点简化,一般可得到一个力和一个力偶,该力通过简化中心, 其大小和方向等于力系的主矢,主矢的大小和方向与简化中心无关;该力偶的力偶矩等于力 系对简化中心的主矩,主矩的大小和转向与简化中心相关 2.固定端约束(插入端约束) 概念;物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。 实例:电线杆
第四章 平面力系 教学目标 1 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简 化的结果。 2 深入理解平面任意力系的平衡条件平衡方程的三种形式。 3 理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。 本章重点 1 平面任意力向作用面内任一点的简化，力系的简化。 2 平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。 3 物体及物体系平衡问题的解法。 本章难点 主矢与主矩的概念，平面力系简化为合力时，和力作用线的确定。物体系的平衡。 教学过程 概述 各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力 系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常 见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内， 但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。 1．平面力系向平面内一点简化 .o F1 F2 Fn F .o M 0 .o F1 F2 Fn M1 M 2 M n 设在刚体上作用一平面力系 ( , , ) F1 F2 Fn ，各力的作用点如图所示。 O 称简化中心 ( ) Mi MO Fi = 主矢 F = Fi ( ) ( ) 2 2 F = Fix + Fiy F Fix cos = F Fiy cos = 主矩 ( ) MO MO Fi = 结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心， 其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力 系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。 2．固定端约束（插入端约束） 概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。 实例：电线杆
FF 当主动力为一平面力系时,物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系,一般比较复 杂,但可向点简化为一力和一力偶,力的大小和方向都是未知的,用表示 2.改变简化中心时主矩的变化量 F 向点O简化M0=∑MD(E) 向点O简化M=∑MF)=xF =00+ M=∑M()=∑00+)×F=00x∑F+M0=00×F+M0 △M=Mo-Mo=00×F=Mo 要使△M=0,必有F=0或OO∥F 对于平面力系,主矩的改变量也可以用代数量表示,即M=Mn() 4.平面力系简化的最后结果 1)简化结果 (1)F=0,M=0平面力系平衡 (2)F=0,MOD≠0平面力系简化为一合力偶,力偶矩的大小和转向由主矩决定,与简化 中心无关 (3)F≠0,M=0平面力系简化为一合力,此合力过简化中心,大小和方向由主矢确定。 (4)F≠0,M≠0平面力系简化为一合力,合力F的作用线在点O的哪一侧,应使得F
(a) (b) (c) (d) . A A . FAY MA FAX MA FA .A . 当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复 杂，但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用表示 2．改变简化中心时主矩的变化量 x y z ir Fi O ir O 向点 O 简化 ( ) MO MO Fi = 向点 O 简化 ( ) MO MO Fi = i Fi r = i i r OO r = + ( ) ( ) O O i i Fi M M F O O r = = + O O Fi MO = + O O F MO = + M M M O O F M (F) O O O = = − = 要使 M = 0 ，必有 F = 0 或 O O F // 对于平面力系，主矩的改变量也可以用代数量表示，即 M M (F) O = 4．平面力系简化的最后结果 1）简化结果 （1） F = 0,MO = 0 平面力系平衡 （2） F = 0,MO 0 平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化 中心无关。 （3） F 0,MO = 0 平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。 （4） F 0,MO 0 平面力系简化为一合力，合力 F 的作用线在点 O 的哪一侧，应使得 F
对O之矩与主矩M的转向相同,图中d=M M 2)合力矩定理 M0(F) Fd= fd=M M (4.7) 即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和,称为平面力 系的合力矩定理。 3)合力作用线方程 由平面内力对点之矩的解析表达式可知M()=F,x-Fy=M其中是(xy)合力 作用线上任一点 例41求如图(a),(b)所示的作用在AB梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置 1)梁上作用一均布载荷,载荷集度为 4 2)梁上作用一线形分布载荷,左端的载荷集度为零,右端的载荷集度为qm) IIIIIIIIn1
对 O 之矩与主矩 MO 的转向相同。图中 F M d O = F F F O d O O d F F M0 O 2）合力矩定理 ( ) ( ) MO F F d Fd MO MO Fi = = = = (4.7) 即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力 系的合力矩定理。 3）合力作用线方程 x y F F O (x,y) O M o 由平面内力对点之矩的解析表达式可知 ( ) O y x MO M F = F x − F y = 其中是 (x, y) 合力 作用线上任一点 例 4.1 求如图 (a)， (b) 所示的作用在 AB 梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。 1）梁上作用一均布载荷，载荷集度为 ( ) m q N 2）梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为 ( ) m q N 0 2 L 2 L A B q (a) q0 A B x dx L (b)
解:1)“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理,所以合力的大小为F=q,作用在AB 梁的中心,如图(a) 3)当载荷不均匀分布时,可以通过积分来计算合力的大小和作用线位置。在梁上离A端 x处取微元a,由于载荷线性分布,在x处的集度q1=qX,于是在d上作用力的 大小为:dF=qdx=qxd 力的大小为F==个= 利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力F的作用线离A端的距离为x,有 xdF I r gox xo 例2.已知:矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图(a)所示。其中 F=2AN,F2=3KN,F3=4KN,F=√2KN力偶矩M=10KMm,转向如图所示 图中长度单位为m。试分别求:1)力系向点B简化结果2)力系向点C简化结果3)力系简化的 最后结果 DI
2 L 2 L A B q (c) F c x q0 A B x dx L (d) F 解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为 F = ql ，作用在 AB 梁的中心，如图 (a) 3）当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离 A 端 x 处取微元 dx ，由于载荷线性分布，在 x 处的集度 l x q1 = q0 ，于是在 dx 上作用力的 大小为： l dx dF q dx q x = 1 = 0 合力的大小为 2 0 0 0 0 q l dx l q x F dF l l = = = 利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力 F 的作用线离 A 端的距离为 c x ，有 − = − L c Fx xdF 0 3 1 2 0 2 0 = = dx l q x F x l c 例 2． 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图 (a) 所示。其中 F1 = 2KN , F2 = 3KN , F3 = 4KN , F4 = 2KN 力偶矩 M =10KM m ，转向如图所示， 图中长度单位为 m 。试分别求:1)力系向点 B 简化结果 2)力系向点 C 简化结果 3)力系简化的 最后结果 x y 1 2 A B C D 45 F1 F2 F3 F4 M x y A B C D M B Fx Fy F
y 解:1计算力系的主矢F: F2=∑Fa=F4cs45°-F2=-2K F=∑F=F-F+Fsn45°=-N F=VFx+F=√5KN F cosC= √55 cos B F, F√5 F的解析式F=-21-1j 2向B点简化的主矩 f=-F4cos45°×1+F4sn45°×2+M-F3×2=3KN·m 即平面力系向点B简化得到一力和一力偶,该力过点B,其大小和方向与力系的主矢F相 同。该力偶的力偶矩等于主矩M,如图(b) 3、向C点简化的主矩 利用两点之矩的关系计算M=M2+M(G)=3+F,2=5KN 平面力系向点C简化仍得到一力和一力偶,该力过点C,其大小和方向仍与力系的主矢相 同,该力偶的力偶矩等于主矩M,如图() 4力系简化的最后结果 因为主矢F≠0,所以力系简化的最后结果为一合力F’,其大小和方向与主矢F相同,作 用线方程为:-x+2y=3合力F’为轴x的交点坐标为(-3,0) 二、平面力系的平衡方程及其应用 1.平面力系的平衡方程 1)基本形式: 平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合,因而平面力系平衡的必要条件是
x y F A B C D M C x y A B C D (-3,0) F 解：1 计算力系的主矢 F ： Fx =Fix = F4 cos45 − F2 = −2KN Fy =Fiy = F1 − F3 + F4 sin 45 = −1KN F Fx Fy 5KN 2 2 = + = 5 2 5 5 2 cos − = − = = F Fx 5 5 5 1 cos = − − = = F Fy F 的解析式 F i j = −2 −1 2 向 B 点简化的主矩 MB = −F4 cos451+ F4 sin 45 2 + M − F3 2 = 3KN m 即平面力系向点 B 简化得到一力和一力偶，该力过点 B ，其大小和方向与力系的主矢 F 相 同。该力偶的力偶矩等于主矩 MB ，如图 (b) 3、向 C 点简化的主矩 利用两点之矩的关系计算 M M M (F) C B C = + = 3 + Fy 2 = 5KN 平面力系向点 C 简化仍得到一力和一力偶，该力过点 C ，其大小和方向仍与力系的主矢相 同，该力偶的力偶矩等于主矩 Mc ，如图 (c) 4 力系简化的最后结果 因为主矢 F 0 ，所以力系简化的最后结果为一合力 F ，其大小和方向与主矢 F 相同，作 用线方程为： − x + 2y = 3 合力 F 为轴 x 的交点坐标为（-3，0） 二、平面力系的平衡方程及其应用。 1．平面力系的平衡方程 1）基本形式： 平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合，因而平面力系平衡的必要条件是
F=0,M=0 ∑F=0 解析式为:{2F=0 即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是:力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上 投影的代数和等于零,力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零 M 2)二力矩式 M ∑F=0 且x轴不垂直于A、B两点连线。 证明:必要性,若平面力系平衡,则F=0,Mo=0易知成立。 充分性:反证法,假定成立,而力系不平衡,则由前两式知力系不能简化为合力偶,所以必 为一合力,且此合力必过A,B两点,由∑F=0知此合力必垂直于x轴,与已知矛盾, 所以(411)成立,必有力系平衡。 3)三力矩式SMn(问)=0 (4.12) ∑MGF)=0 且A、B、C不共线 2)例:平面平行力系的平衡方程 基本形式: ∑F=0 (4.13) 二力矩式: MA 4.14 例1:图(a)所示结构中,AC,D三处均为铰链约束。横杆AB在B处承受集中载荷F 结构各部分尺寸均示于图中,若已知F和/,试求撑杆CD的受力以及A处的约束力 D 解:研究对象:ACB杆
F = 0 ， M0 = 0 解析式为： = = = 0 0 0 O iy ix M F F 即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上 投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。 2）二力矩式 ( ) ( ) = = = 0 0 0 ix B i A i F M F M F 且 x 轴不垂直于 A 、 B 两点连线。 证明：必要性，若平面力系平衡，则 F = 0 ， MO = 0 易知成立。 充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必 为一合力，且此合力必过 A ， B 两点，由 Fix = 0 知此合力必垂直于 x 轴，与已知矛盾， 所以(4.11)成立，必有力系平衡。 3）三力矩式 ( ) ( ) ( ) = = = 0 0 0 C i B i A i M F M F M F (4.12) 且 A 、 B 、C 不共线 2）例：平面平行力系的平衡方程。 基本形式： ( ) = = 0 0 O i iy M F F (4.13) 二力矩式： ( ) ( ) = = 0 0 B i A i M F M F (4.14) 例 1：图 (a) 所示结构中， A,C, D 三处均为铰链约束。横杆 AB 在 B 处承受集中载荷 F1 ， 结构各部分尺寸均示于图中，若已知 F1 和 l ，试求撑杆 CD 的受力以及 A 处的约束力。 2 l F1 2 l 2 l A C B D 45 FAX FAY F1 FBC 解：研究对象： ACB 杆
1.受力分析:易知CD是二力杆,所以点C受力如图 2.列平衡方程求解: 3.研究对象:ACB杆 4.受力分析:易知CD是二力杆,所以点C受力如图 5.列平衡方程求解 (1)基本方程 ∑F=0Fx+FB ∑F=0F,+FCsn45°-F ∑M、G)=0Fm·sm43.4-F,1=0 Fn=2√2F 可得{F FI F,=-F (2)三力矩式 ∑M,G)=0Fmsm45-F ∑M(F ∑MG)=0-Fn F1·=0 √2F 可得{FA=-2F FAy=-F 例2:如图(a)所示,水平梁AB受到一分布载荷和一力偶作用,已知q、M、l不计梁自 重,求支座A,B的反力 解:1、研究对象:AB梁 2、受力分析:如图(b) 3、列方程求解: ∑Fn=0Fx+F:cos30°=0
1．受力分析：易知 CD 是二力杆，所以点 C 受力如图 2．列平衡方程求解： 3．研究对象： ACB 杆 4．受力分析：易知 CD 是二力杆，所以点 C 受力如图 5．列平衡方程求解： （1）基本方程： Fix = 0 FAx + FBC cos 45 = 0 Fiy = 0 FAy + FBC sin 45 − F1 = 0 M A (Fi) = 0 0 2 sin 45 − F1 l = l FBC 可得 = − = − = 1 1 1 2 2 2 F F F F F F Ay Ax BC （2）三力矩式： M A (Fi) = 0 0 2 sin 45 − F1 l = l FBC M B (Fi) = 0 0 2 2 − − 1 = l F l FAy MC (Fi) = 0 0 2 − − F1 l = l FAx 可得 = − = − = 1 1 1 2 2 2 F F F F F F Ay Ax BC 例 2：如图 (a) 所示，水平梁 AB 受到一分布载荷和一力偶作用，已知 0 q 、M 、l 不计梁自 重， 求支座 A, B 的反力。 A B q M 30 A B FAX FAY M 30FB 3 2 L 2 1 q L 解：1、研究对象： AB 梁 2、受力分析：如图 (b) 3、列方程求解： Fix = 0 FAx + FB cos30 = 0
∑Fn=0F+FBc0s30°-ql=0 ∑M,G)=0-M-19121+F1cos301=0 解得 3M2√3 例3:平面钢架的受力及各部分如图(a)所示,A端为固定端约束。若图中q、F1、M、l 等均为已知,试求A端的约束力。 C 2L 解:1、研究对象,钢架ABCD 2、受力分析:如图 3、列方程求解: ∑Fn=0F-ql=0 ∑Fn=0Fn-F1=0 (G)=0 M-F7+97-1=0 解得 F=F 3 FAr=M+Fl-=gl 例4:长凳的几何尺寸和重心位置如图(a)所示,设长凳上的重量为W=100N,求重为 P=700N的人在长凳上的活动范围x
Fiy = 0 0 2 1 FAy + FB cos30 − q0 l = M A (Fi) = 0 cos30 0 3 2 2 1 − M − q0 l l + FB l = 解得 = + = − = + q l l M F l q l M F q l l M F Ay Ax Ax 0 0 0 9 2 3 3 2 3 6 9 3 3 3 例 3：平面钢架的受力及各部分如图 (a) 所示， A 端为固定端约束。若图中 q 、F1、M 、l 等均为已知，试求 A 端的约束力。 A B L L M 2L C D L q F1 L ql 2L L M F1 FAX FAY M A 2 L 2 L 解：1、研究对象，钢架 ABCD 2、受力分析：如图 (b) 3、列方程求解： Fix = 0 FAx − ql = 0 Fiy = 0 FAy − F1 = 0 M A (Fi) = 0 0 2 3 M A − M − F1 l + q l l = 解得 = + − = = F M F l ql F F F ql Ay Ax Ax 2 3 1 1 例 4：长凳的几何尺寸和重心位置如图 (a) 所示，设长凳上的重量为 W =100N ，求重为 P = 700N 的人在长凳上的活动范围 x
解:1、取研究对象:长凳 2、受力分析:如图(b)所示 3、列平衡方程求解 长凳受平行力系作用,但有3个未知量:FA、FB的大小和x。需要利用翻倒条件补充 一个方程。下面分两种情况讨论,当人在长凳的左端时,长凳有向左翻倒的趋势,要保证凳 子平衡而不向左翻倒,需满足平衡方程 ∑M1(F)=0-P(x-1)+F.2-3F2=0 和限制条件 F4≥0 临界平衡时 F,=0 解得: 0.7lm 当人在长凳的右端时,长凳有向右翻倒的趋势,要保证凳子平衡而不向右翻倒,需满 足平衡方程 ∑M,GF)=0P(4-x)+H1-3F=0 和限制条件 FB≥0 临界条件时 解得 =4.14 所以人在长凳上的活动范围为07lm≤x≤4.14m 2、静定和静不定问题 )静定和静不定问题概念。 前面例子所讨论的平衡问题,未知力的个数正好等于平衡方程的数目,因而能由平衡方程解 出全部未知数。这类问题称为静定问题。相关的结构称为静定结构。工程上为了提高结构的 强度常常在静定结构上再附加一个或几个约束,从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程 的树目。因而,仅仅由平衡方程无法求得全部未知约束力,这时的平衡问题称为超静定问题 或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构。 2)平面内刚体的自由度
A B P W 1m 2m 1m 1m A B P W x FA FB 解：1、取研究对象：长凳 2、受力分析：如图 (b) 所示 3、列平衡方程求解 长凳受平行力系作用，但有 3 个未知量： FA 、FB 的大小和 x 。需要利用翻倒条件补充 一个方程。下面分两种情况讨论，当人在长凳的左端时，长凳有向左翻倒的趋势，要保证凳 子平衡而不向左翻倒，需满足平衡方程 M A (Fi) = 0 − P(x −1)+W 2 −3FB = 0 和限制条件 FA 0 临界平衡时 FA = 0 解得： xmin = 0.71m 当人在长凳的右端时，长凳有向右翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向右翻倒，需满 足平衡方程 M A (Fi) = 0 P(4 − x)+W 1−3FA = 0 和限制条件 FB 0 临界条件时 FB = 0 解得 xmax = 4.14m 所以人在长凳上的活动范围为 0.71m x 4.14m 2、静定和静不定问题 1）静定和静不定问题概念。 前面例子所讨论的平衡问题，未知力的个数正好等于平衡方程的数目，因而能由平衡方程解 出全部未知数。这类问题称为静定问题。相关的结构称为静定结构。工程上为了提高结构的 强度常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程 的树目。因而，仅仅由平衡方程无法求得全部未知约束力，这时的平衡问题称为超静定问题 或静不定问题，相应的结构称为超静定结构或静不定结构。 2）平面内刚体的自由度
以Oxy坐标平面内运动的刚体为例,说明平面内运动的刚体自由度 若刚体平移(平动),有两个自由度 若刚体定轴转动,有一个自由度。 若刚体作平面一般运动,(既有平动又有转动),有3个自由度。 3)刚体的三种约束状态 所谓约束状态是指刚体在空间所收的限制状况。约束状态与自由度有关,自由度大于零 称为不完全约束,自由度等于零者称为完全约束 若N自由度N——未知约束力个数 N.一一独立平衡方程数目 则N2)N时,N)0为不完全约束 N。=N时N=0为完全约束,且为静定问题 N(N,时N=0为完全约束,但为超静定问题 V 图(a)所示为不完全约束,图(b)所示为完全约束,且为静定结构,图()所示为完全约束, 但为超静定结构。 4)超静定次数 超静定问题中,未知约東力的个数与独立的平衡方程数目之差,称为超静定次数,与超静定 次数对应的约東对于结构保持静定是多余的,故称为多余约束。 静不定次数用之表示由式确定i=N,-N 3.简单多刚体系统平衡问题 多刚体系统平衡问题的特点是:仅仅考虑系统的整体或某个局部(单个刚体或局部刚体 系统)不能确定全部未知力。为了解决多刚体系统的平衡问题,需将平衡的概念加以扩展
以 Oxy 坐标平面内运动的刚体为例，说明平面内运动的刚体自由度。 A B D C x y O Ax Ay x y O x y O Ax Ay 若刚体平移(平动)，有两个自由度 若刚体定轴转动，有一个自由度。 若刚体作平面一般运动，（既有平动又有转动），有 3 个自由度 。 3）刚体的三种约束状态 所谓约束状态是指刚体在空间所收的限制状况。约束状态与自由度有关，自由度大于零 称为不完全约束，自由度等于零者称为完全约束。 若 N 自由度 Nr ——未知约束力个数 Ne ——独立平衡方程数目 则 Ne Nr 时， N0 为不完全约束 Ne = Nr 时 N = 0 为完全约束，且为静定问题 Ne Nr 时 N = 0 为完全约束，但为超静定问题 A B FAX FAY F1 FB F2 A FAX FAY F1 F2 A B C FAX FAY F1 FB FC F2 图 (a) 所示为不完全约束，图 (b) 所示为完全约束，且为静定结构，图 (c) 所示为完全约束， 但为超静定结构。 4）超静定次数 超静定问题中，未知约束力的个数与独立的平衡方程数目之差，称为超静定次数，与超静定 次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，故称为多余约束。 静不定次数用之表示由式确定 Nr Ne i = − 3．简单多刚体系统平衡问题 多刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考虑系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体 系统）不能确定全部未知力。为了解决多刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展