第八章应力与应变分析 基本概念 gn81点的应力状态物体内任一点处各个方向面上应力的集合。(F书p.77图43) gn82应力圆对平面一般应力状态,可在0-τ坐标系中,以σ。、τ为变量描述一点 不同方向上应力分量之间的关系。该关系几何上是一圆,简称应力圆,也称莫尔圆。(F书 p82图48) Ixy 应力圆 点的应力状态 gn_83主平面反映应力状态的微元体上剪应力为零的平面,定义为主平面 gn84主应力主平面的应力定义为主应力。主应力具有极值性质 gn_85主方向主平面的法线方向 gn86主应力σ1丶a2、O3根据一点三个主应力a’a"a"代数值大小排序,约定为a1 ≥σ,≥ gn.87最大剪应力处于三向应力状态的微元体内,存在三个主剪应力,x12=- z2=-,,z12=01-03。在O≥a2≥O3约定下,最大剪应力tm=3 gn_88.截面法平衡条件在求指定微面上应力的应用 gn_89.应力圆方法应力圆作法及其在应力分析中的应用 gn_8_10.应变分析方法用应力圆法与广义胡克定律作应变分析的方法 主要公式 gs81平面应力状态斜截面上应力 g=0x toy+03-0 cos 2a-r sin 2a 7.=“sin2a+zcos2a (8-2)
1 第八章 应力与应变分析 基本概念 gn_8_1 点的应力状态 物体内任一点处各个方向面上应力的集合。(F 书 p.77 图 4-3） gn_8_2 应力圆 对平面一般应力状态，可在σ—τ坐标系中，以σα、τα为变量描述一点 不同方向上应力分量之间的关系。该关系几何上是一圆，简称应力圆，也称莫尔圆。（F 书 p.82 图 4-8） gn_8_3 主平面 反映应力状态的微元体上剪应力为零的平面，定义为主平面。 gn_8_4 主应力 主平面的应力定义为主应力。主应力具有极值性质。 gn_8_5 主方向 主平面的法线方向。 gn_8_6 主应力 1、 2 、 3 根据一点三个主应力 代数值大小排序，约定为 1 ≥ 2 ≥ 3 gn_8_7 最大剪应力 处于三向应力状态的微元体内，存在三个主剪应力， 2 1 2 12 − = ， 2 2 3 23 − = ， 2 1 3 13 − = 。在 1 ≥ 2 ≥ 3 约定下，最大剪应力 max 13 = gn_8_8．截面法 平衡条件在求指定微面上应力的应用 gn_8_9．应力圆方法 应力圆作法及其在应力分析中的应用 gn_8_10．应变分析方法 用应力圆法与广义胡克定律作应变分析的方法 主要公式 gs_8_1 平面应力状态斜截面上应力 cos 2 sin2 2 2 xy x y x y − − + + = （8—1） sin2 cos 2 2 xy x y + − = （8—2） 点的应力状态 应力圆
式中α是微元体上斜截面外法线与微元体ⅹ轴夹角,并规定α从ⅹ轴逆时针转为正。而 ta对微元体产生顺时针转为正。(L书p290图8.5(b)(c) 平面应力状态斜截面上应力 gs82主应力(大小)公式 (8-3) 2=0 gs83平面内主应力与x轴夹角a tg 2a 另一主应力与x轴夹角为an+,即主应力作用面相互正交。 gs84平面内剪应力极值 gs85面内剪应力与x轴夹角a tg 20 然哲 所以a1=a0±,即面内最大剪应力作用面与主平面成4夹角。 gs86应力圆方程 十 gs87三向应力状态最大剪应力 (在G1≥02≥03约定下) (8-9)
2 式中α是微元体上斜截面外法线与微元体 x 轴夹角，并规定α从 x 轴逆时针转为正。而 τα对微元体产生顺时针转为正。（L 书 p.290 图 8.5(b),(c)） gs_8_2 主应力（大小）公式 2 2 2 1 ) 2 ( 2 xy x y x y + − + = （8—3） 0 3 = (8—4) gs_8_3 平面内主应力与 x 轴夹角α0 x y xy − = − 2 tg 2 0 （8—5） 另一主应力与 x 轴夹角为 2 0 + ，即主应力作用面相互正交。 gs_8_4 平面内剪应力极值 2 ) 2 ( xy x y + − 极 = （8—6） gs_8_5 面内剪应力与 x 轴夹角α1 xy x y 2 tg 2 1 − = （8—7） 显然 tg 2 tg 21 = −1 所以 4 1 0 = ，即面内最大剪应力作用面与主平面成π/4 夹角。 gs_8_6 应力圆方程 2 2 2 2 ) 2 ) ( 2 ( xy x y x y + + + = + − （8—8） gs_8_7 三向应力状态最大剪应力 2 1 3 max − = （在 1 ≥ 2 ≥ 3 约定下） （8—9） 平面应力状态斜截面上应力
(F书p84图410(a)(b)并将(b)图坐标系改为口,r) 三向应力状态最大剪应力 gs88平面应变状态应变坐标转换 8.+E.B. coS 2 2sin 2a+ cos 2a (8-11) gs89平面应变状态下主应变公式 gs8_10广义胡克定律 lo.-vo +o, ) 6,=|-v(a:+o1川(8-13a)或62 a2-v(a3+G1)}(8-13b) E 62=|2-v0x+G, ELO3-Vo1+O2)1 y y gs811体积模量K E (8-14) 3(1-2v gs812体积应变 1-2 6=1+E2+E3 E (F书p.85图4-1l(a)
3 (F 书 p.84 图 4-10 (a) (b)并将(b)图坐标系改为σ，τ) gs_8_8 平面应变状态应变坐标转换 sin2 2 cos 2 2 2 x y x y xy − − + + = （8—10） cos 2 2 sin2 2 2 x y xy + − = （8—11） gs_8_9 平面应变状态下主应变公式 2 ) 2 ) ( 2 ( 2 x y x y xy + − + = （8—12） gs_8_10 广义胡克定律 = − + = − + = − + [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 z z x y y y z x x x y z E E E （8—13a）或 = − + = − + = − + [ ( )] 1 [ ( )] 1 [ ( )] 1 3 3 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3 E E E （8—13b） G xy xy = G yz yz = G zx zx = G 12 12 = G 23 23 = G 31 31 = gs_8_11 体积模量 K 3(1 − 2 ) = E K （8—14） gs_8_12 体积应变θ ( ) 1 2 1 2 3 1 2 3 + + − = + + = E （8—15） (F 书 p.85 图 4-11（a） 三向应力状态最大剪应力
0? I+E 体积应变和平均应力图 gs813平均应力om 0=01+g +0-0+o, *o: (8-16) 3 (F书p85图411(a)) gs8_14一般应力状态弹性应变能按主应力表示) 应变能密度 0151+022+,O353 2v(G12+2O3+3O1) 2E 体积改变比能 (σ1+σ2+3 6E 形状改变比能 (8-19) 6E )2+(a3-a1) (F书p87图413) 一般应力状态弹性应变能图
4 gs_8_13 平均应力σm 3 3 1 2 3 x y z m + + = + + = （8—16） (F 书 p.85 图 4-11（a）) gs_8_14 一般应力状态弹性应变能(按主应力表示) 应变能密度 [ 2 ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 3 = + + − + + = + + E u （8—17） 体积改变比能 2 1 2 3 ( ) 6 1 2 + + − = E uv （8—18） 形状改变比能 [( ) ( ) ( ) ] 6 1 2 3 1 2 2 3 2 1 2 − + − + − + = E ud （8—19） (F 书 p.87 图 4-13) 体积应变和平均应力图 一般应力状态弹性应变能图
基本概念 1点的应力状态、2应力圆、3主平面、4主应力、5主方向、6主应力、7最大剪应力 8.截面法、9应力圆方法10应变分析的方法 主要公式 1平面应力状态斜截面上应力、2主应力(大小)公式、3平面内主应力与x轴夹角ao、 4平面内剪应力极值、5面内剪应力与x轴夹角、6应力圆方程、7三向应力状态最大 剪应力、8平面应变状态应变坐标转换、9平面应变状态下主应变公式、10广义胡克定 律、11体积模量、12体积应变θ、13平均应力om、14一般应力状态弹性应变能 基本方法 1.截面法平衡条件在求指定微面上应力的应用 2.应力圆作法及其在应力分析中的应用 3.用应力圆法与广义胡克定律作应变分析的方法
5 基本概念 1 点的应力状态、2 应力圆、3 主平面、4 主应力、5 主方向、6 主应力、7 最大剪应力、 8．截面法、9 应力圆方法 10 应变分析的方法 主要公式 1 平面应力状态斜截面上应力、2 主应力（大小）公式、3 平面内主应力与 x 轴夹角α0、 4 平面内剪应力极值、5 面内剪应力与 x 轴夹角、6 应力圆方程、7 三向应力状态最大 剪应力、8 平面应变状态应变坐标转换、9 平面应变状态下主应变公式、10 广义胡克定 律、11 体积模量、12 体积应变θ、13 平均应力σm、14 一般应力状态弹性应变能 基本方法 1．截面法 平衡条件在求指定微面上应力的应用 2．应力圆作法及其在应力分析中的应用 3．用应力圆法与广义胡克定律作应变分析的方法
