第二章汇交力系 本章要求 1掌握汇交力系合成的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理解。 3能熟练地运用平衡方程求解汇交力系的平衡问题 本章重点 力在坐标轴上的投影,合力投影定理,汇交力系的平衡条件及其求解平衡问题的解析法。 、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系:是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平 面内时,称为平面汇交力系,否则称为空间汇交力系 汇交力系的合成 先讨论3个汇交力系的合成。设汇交力系F,F2,F3汇交于O(图1),由静力学公理3 力的平行四边形法则(力的三角形)可作图2,说明(F1,F2,F3)=(F)如图和图所示,其 中F=F1+F2+F3 Fr 讨论:1)图2中的中间过程F2可不必求,去掉F2的图称为力多边形,由力多边形求合力 大小和方向的方法称为合力多边形法则。 2)力多边形法则:各分力矢依一定次序首尾相接,形成一力矢折线链,合力矢是封闭边, 合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点 3)上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况 结论:汇交力系合成的结果是一个合力,合力作用线通过汇交点,合力的大小和方向即: F=∑F用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。 2.汇交力系的平衡
第二章 汇交力系 本章要求 1 掌握汇交力系合成的几何法。能应用平衡的几何条件求解平面汇交力系的平衡问题。 2 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影。对合力投影定理应有清晰的理解。 3 能熟练地运用平衡方程求解汇交力系的平衡问题。 本章重点 力在坐标轴上的投影，合力投影定理，汇交力系的平衡条件及其求解平衡问题的解析法。 一、汇交力系合成与平衡的几何法 汇交力系：是指各力的作用线汇交于同一点的力系。若汇交力系中各力的作用线位于同一平 面内时，称为平面汇交力系，否则称为空间汇交力系。 汇交力系的合成 先讨论 3 个汇交力系的合成。设汇交力系 F1 ， F2 ， F3 汇交于 O（图 1），由静力学公理 3： 力的平行四边形法则（力的三角形）可作图 2，说明 ( , , ) ( ) F1 F2 F3 F = 如图和图所示，其 中 F F1 F2 F3 = + + F1 F2 F3 O F O F1 F2 F3 F F12 O 讨论：1）图 2 中的中间过程 F12 可不必求，去掉 F12 的图称为力多边形，由力多边形求合力 大小和方向的方法称为合力多边形法则。 2）力多边形法则：各分力矢依一定次序首尾相接，形成一力矢折线链，合力矢是封闭边， 合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。 3）上述求合力矢的方法可推广到几个汇交力系的情况。 结论：汇交力系合成的结果是一个合力，合力作用线通过汇交点，合力的大小和方向即： F = Fi 用力多边形法则求合力的大小和方向的方法称为合成的几何法。 2．汇交力系的平衡 F1 F2 Fi Fn−2 Fn−1 Fn
设作用在刚体上的汇交力系(F1,F2…F)为平衡力系,即 (F1,F2,…Fn)≡0 先将F,F2,…FB1由力多边形法合成为一个力F,(F=∑F) (F1,F2…Fn)=(FN-1,F)=0 由静力公理1,作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是:FN1与F等值,反向,共线, 即F×4=F,可得F+Fn=0,或∑F=0 结论:汇交力系平衡的必要与充分条件是:力系中各力的乖量和为零,用几何法表示的平衡 条件是∑F=0,力多边形自行封闭。 例1.已知:简支梁AB,在中点作用力F,方向如图,求反力 45° FB Aa 解:1。取研究对象AB梁 2.受力分析如图 3.作自行封闭的力三角形如图 iga I 4.求解 sn(90°+a)sn45°sn(45°-a) Fsn45° F cosa cosa 例2.已知:支架ABC,A、B处为铰支座,在C处用销钉连接,在销上作用P=20kN 不计杆自重。求:AC和BC杆所受的力 FA 30°
设作用在刚体上的汇交力系 ( , , ) F1 F2 Fn 为平衡力系，即 (F1 , F2 , Fn ) 0 先将 1 2 1 , , F F Fn− 由力多边形法合成为一个力 FN −1 ，（ − = − = 1 1 1 n i FN Fi ） (F1 , F2 , Fn ) (FN−1 , Fn ) 0 由静力公理 1，作用在刚体上二力平衡的必要充分条件是： FN −1 与 Fn 等值，反向，共线， 即 FN Fn −1 = ， 可得 FN−1 + Fn = 0 ，或 Fi = 0 结论：汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力的乖量和为零，用几何法表示的平衡 条件是 Fi = 0 ，力多边形自行封闭。 例1． 已知：简支梁 AB，在中点作用力 F ，方向如图，求反力 F A C B 45 F FA FB A C B 45 F FA FB 解：1。取研究对象 AB 梁 2．受力分析如图 3．作自行封闭的力三角形如图 2 1 tg = 4．求解 sin( 90 ) sin 45 sin( 45 −) = = + F FA FB cos sin 45 F FA = cos sin( 45 − ) = F FB 例 2．已知：支架 ABC，A、B 处为铰支座，在 C 处用销钉连接，在销上作用 P = 20kN 不计杆自重。求：AC 和 BC 杆所受的力。 A B C P 30 C 30 FAC FBC P 30 FAC FBC P
解:1。取研究对象销钉C 2.受力分析 3.作自行封闭的力多边形 P 4.解三角形 FR sn30°sn90°sn60° 二、汇交力系合成和平衡的解析法 1.力在坐标轴上的投影 B r exl/aFij 05 F2=±a F= Cosa F Fsin y cos p CoSa=F·i F,= Fy=Fsin cos p Fy=FcoSr coSy 二次投影法:计算力F在x轴和y轴上的投影时,先将力F投影上xy平面上得Fy(力在 平面上的投影规定为矢量),然后再将F投影到x轴和y轴上。此方法特为为的二次投影 力矢F与各投影有以下关系: O=F 0=0 i+Oj+O.k 2.合力投影定理此式称为力的解析式 若某汇交力系由几个力组成,则合力 F=∑F=C∑F+CF)+∑F Fi+Fj+Fk F=∑F 于是 F=∑F F=∑F 结论:合力在任一轴上的投影,等于各分力在同一轴上的投影的代数和,这称为合力投影定 合力的大小:F=√∑F)+∑F)+∑F
解：1。取研究对象销钉 C 2．受力分析 3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形 sin 30 sin 90 sin 60 P FAC FBC = = 二、汇交力系合成和平衡的解析法 1． 力在坐标轴上的投影 a F x A B O z y F 0 Fx Fy Fz x x z y F 0 j k Fxy Fz Fy Fx F F i Fx ab = = = cos = = = cos cos cos F F F F F F y y x = = = cos sin cos sin cos F F F F F F y y x 二次投影法：计算力 F 在 x 轴和 y 轴上的投影时，先将力 F 投影上 xy 平面上得 Fxy （力在 平面上的投影规定为矢量），然后再将 Fxy 投影到 x 轴和 y 轴上。此方法特为为的二次投影 法。 力矢 F 与各投影有以下关系： O = F O O i O j O k x y z = + + 2．合力投影定理此式称为力的解析式 若某汇交力系由几个力组成，则合力 F F F i F j F k i ix iy iz = = ( ) + ( ) + ( ) F i F j F k x y z = + + 于是 = = = z iz y iy x ix F F F F F F 结论：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上的投影的代数和，这称为合力投影定 理。 合力的大小： 2 2 2 = ( ) + ( ) + ( ) F Fix Fiy Fiz *
合力的方向:cosa=2E F B=2Fr ∑F cOsr-F 2.平衡 由几何法知。汇交力系平衡∑F=0 ∑F=0 由式(*)知{>F=0 F=0 汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是:力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代 数和都等于零。 上式称为空间汇交力系的平衡方程,三个方程求三个未知量。 若是在xy面内的平面汇交力系,则有∑F≡0。于是平衡方程为 ∑F=0 可求两个未知量。 ∑F=0 例3.已知:在铰拱不计拱重,结构尺寸为a,在D点作用水平力P,不计自重,求支C@、 C的约束反力。 解:分析易知OAB是二力杆件, 1.以BCD为研究对象 2.受力分析 3.列方程,求解 ∑Fa=0-P+F2cos45°-Fcos45=0 ∑F=0F2cos45°+Fsn45° 求得FB=P FC P 也可在Bxy系中
合力的方向： F Fix cos = F Fiy cos = F Fiz cos = 2．平衡 由几何法知。汇交力系平衡 Fi = 0 由式（*）知 = = = 0 0 0 iz iy ix F F F 汇交力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系中每一轴上的投影的代 数和都等于零。 上式称为空间汇交力系的平衡方程，三个方程求三个未知量。 若是在 xy 面内的平面汇交力系，则有 Fiz 0 。于是平衡方程为 = = 0 0 iy ix F F 可求两个未知量。 例 3. 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为 a，在 D 点作用水平力 P，不计自重，求支ﾧ@、 C 的约束反力。 a a A B C D P FB B A FA FB B C FC P x D y 解：分析易知 OAB 是二力杆件， 1．以 BCD 为研究对象； 2．受力分析 3．列方程，求解 Fix = 0 − + cos45 − cos45 = 0 P FB FC Fiy = 0 cos 45 + sin 45 = 0 FC FB 求得 FB P 2 2 = FC P 2 2 = − 也可在 Bx y 系中
∑F=0-F2-Fcos45=0 ∑F FR-Psin 45=0 可知:选择合适的坐标系,可以简化计算 例4.已知:P=20kN,不计杆重和滑轮尺寸,求:杆AB与BC所受的力 30 B 3030 FT F 解:1、研究对象:滑轮 2.受力分析 3.列方程求解 ∑F2=0-FBA- FRccOS30°-Fsn30°=0 ∑F=0-Fcsn30°-F1cos30-F=0 其中F=F=P 解得Fc=-7464kN(压) FAB=5464kN(拉) 例5.(空间问题)已知:三角支架由三杆AB、AC和AD用球铰A连接而成,分别用球铰 支座B、C和D固定在地面上,设铰A上悬挂一重物,W=500N,结构尺寸a=2m, b=3m,c=1.5m,h=25m,若杆的自重均不计,求各杆所受的力 解:1以A为研究对象 2.受力分析 3.列方程求解
Fiy = 0 − − cos45 = 0 FC FB Fix = 0 − sin 45 = 0 FB P 可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。 例 4．已知： P = 20kN ，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆 AB 与 BC 所受的力。 P A B C 30 30 30 F FT FAB FBC B 30 30 30 解：1、研究对象：滑轮 2．受力分析 3．列方程求解 Fix = 0 − − cos30 − sin 30 = 0 FBA FBC FT Fiy = 0 − FBC sin 30 − F1 cos30 − F = 0 其中 F = FT = P 解得 FBC = −74.64kN （压） FAB = 54.64kN （拉） 例 5．（空间问题）已知：三角支架由三杆 AB、AC 和 AD 用球铰 A 连接而成，分别用球铰 支座 B、C 和 D 固定在地面上，设铰 A 上悬挂一重物， W = 500N ，结构尺寸 a = 2m， b = 3m， c =1.5m， h = 2.5m ，若杆的自重均不计，求各杆所受的力。 z a b x y A B C D 2 W A FAC FAD FAB a b z x y A B C D Fx Fy Fz 解：1 以 A 为研究对象 2．受力分析 3．列方程求解：
>F=0: Fc cosysin a-FDA cosysin a =0 >FM=0: -FCA cOSycosa-FBy cosycosa-FBA cos B=0 >E=0: -FDA sin y-Fca siny-FBusinB-W=0 解得FD4=Fc4=869NFB4=-1950N
Fix = 0 ： FCA cos sin − FDA cos sin = 0 Fiy = 0 ： − FCA cos cos − FBA cos cos − FBA cos = 0 Fiz = 0 ： − FDA sin − FCA sin − FBA sin −W = 0 解得 FDA = FCA = 869N FBA = −1950N