空间科学与应用物理系 2007.10
导数与微分的定义 ❖ 一、导数 ❖ 设函数 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) , 0 - - lim lim x x x x y f x x x x x y y f x x f x y f x x f x x x x x f x y x dy dx → → = = = + + = ， ， 在 的邻域内有定义 给 在 处 以增量 （ ），函数 相应地得到增量 （ ） （ ），如果极限 （ ） （ ）存在， 则称函数在点 处可导，该极限值称为 函数在 处的导数。记为（ ），（ ）
0 0 x x x + x y y f x = ( ) 导数的几何意义： 0 0 0 0 0 ( ) x ( ) ( ) M x y tan ( ) y f x f x y f x f x = = = ， ， ， 在 处的导数 ，表示曲线 在 （ ）处 切线的斜率，即 。 M x y （ 0 0 ， ）
0 0 0 , , ( ) ( ) 0 0 0 0 , , lim ( ) ( ) lim x x x x x x y f y x f x x f x dy x dx dy y dx f dx → = → = = + − = = = = 即： 那么
二、导数与微分的运算法则 ❖ 设 2 2 ( ), ( ) 1 2 3 4 0 0 u u x v v x cu cu d cu cdu u v u v d u v du dv uv uv vu d uv udv vdu u vu uv v v v u vdu udv d v v v = = = = + = + + = + = + = + − = − = ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 均可导，则 （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ） ，（ ） （ ）（ ） ，（ ） （ ） （ ） （ ）
三、基本公式 a a-1 a-1 , a , , 1 y 0 0 2 y x a ax ax 3 ln ln e e ln e e e 1 1 (4)y log x a>0,a 1,y , ln ln 1 1 y ln x y , (5) sin , cos , x x x x x x x y dy y dy dx y a y a a dy a a dx y y dy dx dy dx x a x a dy dx x x y x y x = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ， ， ， ， （ ） =常数 （ ） = （ 为实数） （ ） 特例： ， 特例： ， dy xdx = cos 其他求导公式参看高等数学
四、复合函数求导法则 ( ) ( ) ( ) y f u u g x u g x x f u u y f g x dy dy du x dx du dx = = = = = 设 ， （ ），且 （ ）在 处可导， 而 在相应的 处可导，则复合函数 （ ） 在 处可导，且
2 2 2 10 10 9 9 9 1 sin sin cos 2 2 cos 2 2 1 2 1 10 2 20 20 2 1 y x y u u x dy u x x x dx y x y u u x dy u u x dx = = = = = = + = = + = = = + 例 、 ，可写为 ， 例 、 （ ），可写为 ， （ ）
3 2 2 3 x+1 1 y 4x +7x+1 2 y=x+ x 4 3 y ln x 8 4 V D 3 = = 例题：对以下各式求导并求其微分 、 、 、 （ + ） 、 = 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 1 12 7 12 7 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 3 8 8 4 4 4 y x dy x dx x x x x x y x x x x dy dx x x x y dy dx x x V D dV D dD = + = + − + + = + = − + = − = = + + = = ， ， ， ， 解：、 （ ） （ ） （ ） 、 （ ） （ ） 、 （ ）
五、偏导数 y f x f x f x x RT P V = 对一元函数 （ ），导数（， ）就是函数 （ ）关于 自变量 的变化率，那么对于二元函数或多元函数，也 需要考察它的变化率问题。因为多元函数的自变量不止 一个，我们常常要用多元函数对其中某一个自变量的变 化率，而其他自变量都保持不变。例如： =