Banach空间上的随机发展方程

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1999.06.026 第21卷第6期 北京科技大学学报 Vol.21 No.6 1999年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1999 Banach空间上的随机发展方程 杨晓明) 谢铁军)王军团》 熊丽清) 1)北京科技大学高等教育研究所，北京1000832)北京科技大学数力系，北京1000833)湖北东风汽车公司高级技工学校，湖北442001 摘要对文献[3]中有关Banach空间上半群和发展系统的确定性结果进行了随机化处理，由此得 到一类随机发展方程解的存在唯一性定理. 关键词随机发展方程；Banach空间；随机半群 分类号0211.63 1基本概念 值随机变量 记(2，F,P)是一个完备概率空间，具有递 2随机半群(RS)和随机发展系统 增o-域(Ft)t20;X,Y是可分的实Banach空间，其 (RES) 范数分别为‖·‖.和‖·I,PX)记为X所有子 集组成的集合，即，PX)=(AAC). 定理3设C:2→P(X{D},且对所有的w∈2有 定义1)映射CQ一P)称为是可测的，如 C(ω=X,A:GrC一X是一个随机线性算子，如果 果对于X的任一开子集D,C-'(D)(@∈， Tt,w)是一个由A生成的C半群，那么T八t,o)是可 C(o)nD+)EF. 测的C半群或随机C,半群， C图定义为：GrC={(o,x)EQxXx∈C(w)}, 证明：因为A是随机的，那么对任何实数k, 可测映射x:?一X称为一X一值随机变量. kA也是随机算子，因此I-kA是线性随机算子；如 定义2w一设C:2-PX{D},T:GrC-Y 果(-kA)'存在，由定理1，(I-kA)也是随机算 称为一个从X到Y随机算子，如果对于所有x∈X 子.由指数公式 及开集DEY,{w∈2，x∈C(o)nTo,x)∈D}∈F. To,.)x=lim(I-tA/n)"= 对Tw,x)也将其写为To,)x,称随机算子T lim[nR(n/t:A)]x 是连续的、线性的有界的，如果对所有的 此极限在任何有界区间上是一致收敛的，令 ①，T代ω，x)是连续的、线性的、有界的…. x=(I-tA/n'x,由前面讨论，易知对任何t20和 定义3四设C:2→P八{D},T:GrC-Y是一个随机 固定的n,它是X值随机变量，令x2=(-tA/n)'x, 算子，那么形如Tωx()=y(o)类型的方程称为 由定理2，对任何t20和固定的n,它也是X值随 随机算子方程，（ω）是Y-值随机变量，且 机变量，类似的，令x,=(-tA/n)'xe-=(-tA/n)x, x(o)EC(回).如果x(o)是X-值随机变量，并且满 它也是X值随机变量，由定理1，定理2和引理1， 足P{o∈2，Taw)x(o)=y)x(w)∈C(aw)}=1. 对任何x∈X,T(w,xx是X-值随机变量(t20),由定 那么称它为随机算子方程的随机解. 义，T八ω，x)是随机算子(20)，证毕 引理1设(c)是收敛（弱收敛或依范数收敛） 由引理1，定理3和文献[3]使用的证明方法， 于x的从2到X可测函数序列，那么x是可测的. 易得： 定理1四设T:2×X一Y是一个连续随机算子， 定理4设A:2×X一X,0≤t≤T是一个随机算子 如果T-:2×Y一X存在，那么T也是一个连续随机 且是X上C半群极小生成元，如果 算子. {A(,o)》,∈[0，T]满足条件： 定理2四设T:2×X一Y是一个半连续随机算 [H1]{A()},te[0,T刀是一个稳定系， 子，x(o)是X-值随机变量，那么Tw)x(w)是Y- [H2]存在一个Y到X随机同构系{Q(:,四)}， 1999-05-20收稿杨晓明男.39岁，刷教授 t[0,T],这里Y是A(t)-相容的

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 介 一 一 空 间上 的随机发展方程 杨晓明 ‘， 谢铁军 ” 王 军 团 ” 熊丽 清 ， 北京科技大学高等教育研究所 ，北京 一 北京科技大学数力系 ，北京 湖北东风汽车公 司高级技工学校 ，湖北 摘 要 对文献 中有关 空间上半群和发展系统的确定性结果进行了随机化处理 ， 由此得 到一类随机发展方程解的存在唯一性定理 关键词 随机发展方程 空间 随机半群 分类号 墓本概念 记 ， ， 是一个完备概率空间 ， 具有递 增。 一域 之 龙 是可分的实 空间 ， 其 范数分别为 · 和 · ， 尸因 记为 所有子 集组成的集合 ， 即沪因 沮 幻 定义 】 映射 口一尸闭 称为是可测的 ， 如 果 对 于 的 任 一 开 子 集 ， 一 城。 任， 。 袭 哟任 图定义为 。 为任 沐任 山 ， 可测映射 口一 称为一 尤‘ 值随机变量 定义 ‘ 一 设 一尸闭 巾 ， 一 称为一个从 到 随机算子 ， 如果对于所有戈 任 及开集 任 ， 。 任口声 。 双。 声 任 对 双。 声 也将其写 为联。 ， ， 称 随机算子 是 连续 的 、 线 性 的有 界 的 … ， 如 果 对 所 有 的 山 ， 双。 声 是连续的 、 线性的 、 有界 的 · …… 定义 ‘ ，设 口一尸闭 必 ， 一 是一个随机 算子 ， 那么形如联。 。 二只。 类型 的方程称为 随 机 算 子 方 程 沙 。 是 卜 值 随 机 变 量 ， 且 口 任 山 如果 。 是 ‘ ‘ 值随机变量 ， 并且满 足尸 。 任 ，双。 山 夕 。 声 。 。 那么称它为随机算子方程 的随机解 引理 ，设 是收敛 弱收敛或依范数收敛 于 的从口到 可测函数序列 ， 那 么 是可测的 定理 【 ，设 口火尤‘ 了是一个连续随机算子 ， 如果 一 ’ 口叮一火存在 ， 那么 一 ’也是一个连续随机 算子 定理 『 设 口洲尤衬 亚是一个半连续随机算 子 ， 。 是 刃一 值随机变量 ， 那 么 联。 。 是 值随机变量 随机半群 和 随机发展系统 定理 设 口一尸闭 必 ，且对所有的。 任口有 。 卜矛 ， 一尤是 一 个 随机线性算子 ， 如 果 爪，功 是一个 由 生成的 半群 ， 那么 双人。 是可 测的 半群或随机 半群 证 明 因为 是随机的 ， 那么对任何实数 瓦 划 也是随机算子 ， 因此了一 朋是线性随机算子 如 果 一 划犷 ，存在 ， 由定理 ， 一 犷 ’也是随机算 子 由指数公式 联。 ， 一 一 ” 二 〔 一 一 收稿 杨晓明 男 ， 岁 ，副教授 此极 限在任何有界区 间上是一致收敛的 ， 令 ， 一 一 ’ ， 由前面讨论 ， 易知对任何之 和 固定 的 ，它是 值 随机变量 ， 令 二 一 一 ’ ， 由定理 ， 对任何之 和 固定 的 ， 它也是 值随 机变量 ， 类似的 ， 令戈行口一 一 呱 一 ， 一 一 ， 它也是 值随机变量 ， 由定理 ，定理 和 引理 ， 对任何 龙双。 ， 是 值随机变量 泛 ， 由定 义 ， 联。 习 是随机算子 迈 ，证毕 由引理 ， 定理 和文献 使用的证 明方法 ， 易得 定理 设 洲 ‘ 尤 习‘ 是一个随机算子 且是 上 半群极小生成元 ， 如果 认。 ， 任 ，刘满足条件 【 〕 ， 任 〔 ，刘是一个稳定系 ， 存在一个 到 随机同构系 ，。 ， 任 【 ， ，这里 是月 一 相容的 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．06．026

·604· 北京科技大学学报 1999年第6期 [H3]对t∈{0，]，D(A(t)包含Y,4(t)是一个从Y 用Ix表示C([0,T];)中的元素x的范数， 到X的有界算子，并且t一A()在B(Y)上依范数 由F的定义可得： ‖·‖，-连续，那么存在唯一的(RES)Uts,o), l(Fx)t,w)-(Fxt,)ll≤Maw)L(o)tx-xl‖(4) O≤s≤t≤T,它在X上是Ft-适应的并满足： 这里Mw)是‖U,s,)川在[0，T]的上界. [E1]I‖U(t,s,o)f≤Mexp{mt,s)},0≤s≤t≤T 用(3)，(4)式对n做归纳，易得 [E2]Ut,s,wy,=A(s,o,v∈Y,0ss≤t≤T Fx)(t,)-(F"x2)(t,o),s [E3]Ut,s,w)YcY,0≤s≤tsT (M@)L(@)Tyllx,-x2l/n! [E4]对vEY,Ut,S,ov在Y上对0≤s≤t≤T是连 当n足够大时，(Mo)L(o)T)n/n

北 京 科 技 大 学 学 〔 对 任 〔 ，刘 ， 包含划 是一个从 到 的有界算子 ， 并且 一 在 丫约上依范数 ，一二 连 续 ， 那 么 存 在 唯 一 的 ， ， 。 ， ‘ 夕‘ ，它在 上是 一 适应 的并满足 ， ，， ‘ 即 ， ， ‘ ‘ ‘ ， ， 。 、 ， 。 ， 任 ， ‘ ‘ ‘ ， ， 。 ， ‘ ‘ ‘ 【 对 ， ， ， 。 在 上对 ‘ ‘ 悠 了是连 续的 报 年 第 期 表示 〔 ，刘川中的元素 的范数 ， 随机发展方程 考虑如下 随机发展方程 ‘ 全 ·毛 一 “ ‘ ， 吵 “ ， 。 ，硕 ‘声 ‘ ，，， ，毋〕 ‘， 工气 ，田 两气田少 这里 ， 。 见， 月，动任只丙 。 声 定理 设 ，山 ，任 【 ， 是一个 上 半群随 机极小生成元稳定系 ， ， 。 满足 ， ， 〔 ， 如 果厂口‘ 〔 ，刘 衬 对 是连续 的且在 上满足 条件 ，且是 一 适应的 ， 那么 方程 存 在唯一 的且具 一 适应 的随机解戈 ，， 且映射 。 一 ，。 是从 到 【， 刃的 一 连续的 证 明 由给定 的条件可得 ，。 能生成一个 随机发展系统 ， ， 。 ， 它是 一 适应 的 ， 因对每 一个 。 任口 ， 如果方程 有解 ， 那 么它是一个随机 解 ， 即 由 的定义可得 ， 。 凡 ， 。 ‘ 斌。 。 ，一为 这里斌。 是 ， ， 。 在【，刘 的上界 用 ， 式对 做归纳 ， 易得 尸吮 ， 。 尸笼 ， 。 ， ‘ 斌。 山 乃 ” ，一 当 足够大时 ， 斌。 动乃 ， 由随机收 缩 原理 ， 尸 在 【 ， 均上 有唯 一 的随机不 动点 山 因此它是方程 的解 由方程 ， 我们知 道义 户 是 一 适应的 如 夕 。 是【，月上方程 的另一解 ， 并具有初 值厂。 。 ， 那么 ，山 洲 ，山 ， ‘ ， ， 。 。 。 一 试扩 ， ， 。 。 一广买试， ， ， 。 沙 声 ， 。 ， 。 少 ， 。 ， 。 」， ‘ 斌。 。 。 一夕。 。 ， 斌。 犯 。 买一 二 一 ， 。 由 ’ 不等式 ， 得 ， 。 一 ， 。 二 ‘ 斌。 【斌山 。 小 。 。 习 。 。 ， ， 因此 ， 。 习 ， 。 二 ‘ 斌。 【斌。 。 刀 。 。 一为 。 ， 由此得到解 的唯一性和 映射 佃 一 ，山 的 连续性 犷 ， 。 一 试， ， ，， 。 丈试， ， ， 。 城 ， 。 ， 。 三 三 对给定 的 。 任 ，定义映射 〔 ，刘 均一 【 ，刘刃 ， 并 由 ， ， 。 一 试， ， ， 。 。 。 买试犷 ， ， 。 声 ， 。 ， 。 三 兰 由定理 知 它是一个随机积分算子 参 考 文 献 ， ， ， 七 ， 伍 ， ， 、 飞 ， 叮 月几口 ‘， ’ ，，， 肠铭 ，， 心 ， ， ， ， ， ， ， 一 ·