Banach空间上的随机发展方程

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1999.06.026 第21卷第6期 北京科技大学学报 Vol.21 No.6 1999年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.1999 Banach空间上的随机发展方程 杨晓明) 谢铁军)王军团》 熊丽清) 1)北京科技大学高等教育研究所，北京1000832)北京科技大学数力系，北京1000833)湖北东风汽车公司高级技工学校，湖北442001 摘要对文献[3]中有关Banach空间上半群和发展系统的确定性结果进行了随机化处理，由此得 到一类随机发展方程解的存在唯一性定理. 关键词随机发展方程；Banach空间；随机半群 分类号0211.63 1基本概念 值随机变量 记(2，F,P)是一个完备概率空间，具有递 2随机半群(RS)和随机发展系统 增o-域(Ft)t20;X,Y是可分的实Banach空间，其 (RES) 范数分别为‖·‖.和‖·I,PX)记为X所有子 集组成的集合，即，PX)=(AAC). 定理3设C:2→P(X{D},且对所有的w∈2有 定义1)映射CQ一P)称为是可测的，如 C(ω=X,A:GrC一X是一个随机线性算子，如果 果对于X的任一开子集D,C-'(D)(@∈， Tt,w)是一个由A生成的C半群，那么T八t,o)是可 C(o)nD+)EF. 测的C半群或随机C,半群， C图定义为：GrC={(o,x)EQxXx∈C(w)}, 证明：因为A是随机的，那么对任何实数k, 可测映射x:?一X称为一X一值随机变量. kA也是随机算子，因此I-kA是线性随机算子；如 定义2w一设C:2-PX{D},T:GrC-Y 果(-kA)'存在，由定理1，(I-kA)也是随机算 称为一个从X到Y随机算子，如果对于所有x∈X 子.由指数公式 及开集DEY,{w∈2，x∈C(o)nTo,x)∈D}∈F. To,.)x=lim(I-tA/n)"= 对Tw,x)也将其写为To,)x,称随机算子T lim[nR(n/t:A)]x 是连续的、线性的有界的，如果对所有的 此极限在任何有界区间上是一致收敛的，令 ①，T代ω，x)是连续的、线性的、有界的…. x=(I-tA/n'x,由前面讨论，易知对任何t20和 定义3四设C:2→P八{D},T:GrC-Y是一个随机 固定的n,它是X值随机变量，令x2=(-tA/n)'x, 算子，那么形如Tωx()=y(o)类型的方程称为 由定理2，对任何t20和固定的n,它也是X值随 随机算子方程，（ω）是Y-值随机变量，且 机变量，类似的，令x,=(-tA/n)'xe-=(-tA/n)x, x(o)EC(回).如果x(o)是X-值随机变量，并且满 它也是X值随机变量，由定理1，定理2和引理1， 足P{o∈2，Taw)x(o)=y)x(w)∈C(aw)}=1. 对任何x∈X,T(w,xx是X-值随机变量(t20),由定 那么称它为随机算子方程的随机解. 义，T八ω，x)是随机算子(20)，证毕 引理1设(c)是收敛（弱收敛或依范数收敛） 由引理1，定理3和文献[3]使用的证明方法， 于x的从2到X可测函数序列，那么x是可测的. 易得： 定理1四设T:2×X一Y是一个连续随机算子， 定理4设A:2×X一X,0≤t≤T是一个随机算子 如果T-:2×Y一X存在，那么T也是一个连续随机 且是X上C半群极小生成元，如果 算子. {A(,o)》,∈[0，T]满足条件： 定理2四设T:2×X一Y是一个半连续随机算 [H1]{A()},te[0,T刀是一个稳定系， 子，x(o)是X-值随机变量，那么Tw)x(w)是Y- [H2]存在一个Y到X随机同构系{Q(:,四)}， 1999-05-20收稿杨晓明男.39岁，刷教授 t[0,T],这里Y是A(t)-相容的

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 介 一 一 空 间上 的随机发展方程 杨晓明 ‘， 谢铁军 ” 王 军 团 ” 熊丽 清 ， 北京科技大学高等教育研究所 ，北京 一 北京科技大学数力系 ，北京 湖北东风汽车公 司高级技工学校 ，湖北 摘 要 对文献 中有关 空间上半群和发展系统的确定性结果进行了随机化处理 ， 由此得 到一类随机发展方程解的存在唯一性定理 关键词 随机发展方程 空间 随机半群 分类号 墓本概念 记 ， ， 是一个完备概率空间 ， 具有递 增。 一域 之 龙 是可分的实 空间 ， 其 范数分别为 · 和 · ， 尸因 记为 所有子 集组成的集合 ， 即沪因 沮 幻 定义 】 映射 口一尸闭 称为是可测的 ， 如 果 对 于 的 任 一 开 子 集 ， 一 城。 任， 。 袭 哟任 图定义为 。 为任 沐任 山 ， 可测映射 口一 称为一 尤‘ 值随机变量 定义 ‘ 一 设 一尸闭 巾 ， 一 称为一个从 到 随机算子 ， 如果对于所有戈 任 及开集 任 ， 。 任口声 。 双。 声 任 对 双。 声 也将其写 为联。 ， ， 称 随机算子 是 连续 的 、 线 性 的有 界 的 … ， 如 果 对 所 有 的 山 ， 双。 声 是连续的 、 线性的 、 有界 的 · …… 定义 ‘ ，设 口一尸闭 必 ， 一 是一个随机 算子 ， 那么形如联。 。 二只。 类型 的方程称为 随 机 算 子 方 程 沙 。 是 卜 值 随 机 变 量 ， 且 口 任 山 如果 。 是 ‘ ‘ 值随机变量 ， 并且满 足尸 。 任 ，双。 山 夕 。 声 。 。 那么称它为随机算子方程 的随机解 引理 ，设 是收敛 弱收敛或依范数收敛 于 的从口到 可测函数序列 ， 那 么 是可测的 定理 【 ，设 口火尤‘ 了是一个连续随机算子 ， 如果 一 ’ 口叮一火存在 ， 那么 一 ’也是一个连续随机 算子 定理 『 设 口洲尤衬 亚是一个半连续随机算 子 ， 。 是 刃一 值随机变量 ， 那 么 联。 。 是 值随机变量 随机半群 和 随机发展系统 定理 设 口一尸闭 必 ，且对所有的。 任口有 。 卜矛 ， 一尤是 一 个 随机线性算子 ， 如 果 爪，功 是一个 由 生成的 半群 ， 那么 双人。 是可 测的 半群或随机 半群 证 明 因为 是随机的 ， 那么对任何实数 瓦 划 也是随机算子 ， 因此了一 朋是线性随机算子 如 果 一 划犷 ，存在 ， 由定理 ， 一 犷 ’也是随机算 子 由指数公式 联。 ， 一 一 ” 二 〔 一 一 收稿 杨晓明 男 ， 岁 ，副教授 此极 限在任何有界区 间上是一致收敛的 ， 令 ， 一 一 ’ ， 由前面讨论 ， 易知对任何之 和 固定 的 ，它是 值 随机变量 ， 令 二 一 一 ’ ， 由定理 ， 对任何之 和 固定 的 ， 它也是 值随 机变量 ， 类似的 ， 令戈行口一 一 呱 一 ， 一 一 ， 它也是 值随机变量 ， 由定理 ，定理 和 引理 ， 对任何 龙双。 ， 是 值随机变量 泛 ， 由定 义 ， 联。 习 是随机算子 迈 ，证毕 由引理 ， 定理 和文献 使用的证 明方法 ， 易得 定理 设 洲 ‘ 尤 习‘ 是一个随机算子 且是 上 半群极小生成元 ， 如果 认。 ， 任 ，刘满足条件 【 〕 ， 任 〔 ，刘是一个稳定系 ， 存在一个 到 随机同构系 ，。 ， 任 【 ， ，这里 是月 一 相容的 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1999．06．026

·604· 北京科技大学学报 1999年第6期 [H3]对t∈{0，]，D(A(t)包含Y,4(t)是一个从Y 用Ix表示C([0,T];)中的元素x的范数， 到X的有界算子，并且t一A()在B(Y)上依范数 由F的定义可得： ‖·‖，-连续，那么存在唯一的(RES)Uts,o), l(Fx)t,w)-(Fxt,)ll≤Maw)L(o)tx-xl‖(4) O≤s≤t≤T,它在X上是Ft-适应的并满足： 这里Mw)是‖U,s,)川在[0，T]的上界. [E1]I‖U(t,s,o)f≤Mexp{mt,s)},0≤s≤t≤T 用(3)，(4)式对n做归纳，易得 [E2]Ut,s,wy,=A(s,o,v∈Y,0ss≤t≤T Fx)(t,)-(F"x2)(t,o),s [E3]Ut,s,w)YcY,0≤s≤tsT (M@)L(@)Tyllx,-x2l/n! [E4]对vEY,Ut,S,ov在Y上对0≤s≤t≤T是连 当n足够大时，(Mo)L(o)T)n/n<1,由随机收 续的. 缩原理，F在C([0,T]:)上有唯一的随机不动点 (⊙).因此它是方程(1)的解.由方程(3)，我们知 3随机发展方程(REE) 道x(t,四)是(Ft)-适应的 考虑如下随机发展方程： 令(o)是[0，T]上方程(1)的另一解，并具有初 (t,o）=A(t,o)x(t,otf几tx(t,o,] 值y(o),那么： 1) x(0,w)=xo(@) ‖xt,o)-yt,o)ll,≤‖U(t,0,w)x(o)- 这里，ω∈(2，F,P),A(t,o)∈F,x(w)∈Fox∈X U(t.0.c)yd(@)ll,+fllU(t.s.@)lf(sx(s.w).@)- 定理5设A(t,),t∈[0，T]是一个X上C。半群随 f(s,y(s,@),o)],dssM@)llxo(@)-y(@)l,+ 机极小生成元稳定系，A(t,o)满足[H1],H2],H3], Mo)L(@)lx(s)-y(s)ll,ds 如果f:2×[0,T可×X一Y对t是连续的且在X上满足 由Gronwall's不等式，得： Lipschits条件，且是(Ft)-适应的，那么方程(I)存 lx(t,o)-yt,o)llxe≤Mo)exp[Ma)L(o)r]× 在唯一的且具(Ft)-适应的随机解x(t,o).且映射 |x(o)-y(o)儿，因此 x(o)→x(t,o)是从X到C[0,T刀；X0的L-连续的. ‖xt,o)-t,o)llx≤M(@)expl[Mo)L(o)T]× 证明：由给定的条件可得A(t,四)能生成一个 llxo(@)-yo(o) 随机发展系统U(t,s,⊙)，它是Ft-适应的，因对每 由此得到解的唯一性和映射x(w)→x(t,)的 一个w∈2，如果方程(1)有解，那么它是一个随机 Lipchits连续性. 解，即： 参考文献 x(t,o）=U(,0,ox(o)+Uts,ofs,x(s,w,四)ds 1 Bharucha A T.Reid,Fixed Point Theorems in Probabilitic 0≤tsT Analysis.Bull Amerr Math Soc,1976,82:641 (2) 2 Wengl H,Nashed M Z.Generalised Inverses of Random 对给定的x(o)EY,定义映射 Linear Operators in Banach Spaces.J Math.Anal,1981,83: F:C([0,T];)-C([0,T0,并由 221 F(x)(t,@)-U(t,O,@)xo(@)+JU(t,s,@)f(sx(s,@),@)ds 3 Pazy A.Semigroups of Linear Operators and Applications 0≤t≤T (3) to Partialdifferential Equations.New York:Spring-Verlag, 由定理2知它是一个随机积分算子. 1983 Random Evolution Equation on Banach Space Yang Xiaoming",Xie Tiejun,Wang Juntuan,Xiong Liqing 1)Institute of Higher Education,UST Beijing,Beijing 100083,China 2)School of Applied Science,UST Beijing 3)High Technicnl School of Dongfeng Automobile co,Hubei 442001,China ABSTRACT Determination results on semigroup and evolution system in reference [3]are randomized.And the results are used to get a existence-unique theorem of solotion for a kind of random evoution equation. KEY WORD random evolution equation;banach space;randon semiqroup

北 京 科 技 大 学 学 〔 对 任 〔 ，刘 ， 包含划 是一个从 到 的有界算子 ， 并且 一 在 丫约上依范数 ，一二 连 续 ， 那 么 存 在 唯 一 的 ， ， 。 ， ‘ 夕‘ ，它在 上是 一 适应 的并满足 ， ，， ‘ 即 ， ， ‘ ‘ ‘ ， ， 。 、 ， 。 ， 任 ， ‘ ‘ ‘ ， ， 。 ， ‘ ‘ ‘ 【 对 ， ， ， 。 在 上对 ‘ ‘ 悠 了是连 续的 报 年 第 期 表示 〔 ，刘川中的元素 的范数 ， 随机发展方程 考虑如下 随机发展方程 ‘ 全 ·毛 一 “ ‘ ， 吵 “ ， 。 ，硕 ‘声 ‘ ，，， ，毋〕 ‘， 工气 ，田 两气田少 这里 ， 。 见， 月，动任只丙 。 声 定理 设 ，山 ，任 【 ， 是一个 上 半群随 机极小生成元稳定系 ， ， 。 满足 ， ， 〔 ， 如 果厂口‘ 〔 ，刘 衬 对 是连续 的且在 上满足 条件 ，且是 一 适应的 ， 那么 方程 存 在唯一 的且具 一 适应 的随机解戈 ，， 且映射 。 一 ，。 是从 到 【， 刃的 一 连续的 证 明 由给定 的条件可得 ，。 能生成一个 随机发展系统 ， ， 。 ， 它是 一 适应 的 ， 因对每 一个 。 任口 ， 如果方程 有解 ， 那 么它是一个随机 解 ， 即 由 的定义可得 ， 。 凡 ， 。 ‘ 斌。 。 ，一为 这里斌。 是 ， ， 。 在【，刘 的上界 用 ， 式对 做归纳 ， 易得 尸吮 ， 。 尸笼 ， 。 ， ‘ 斌。 山 乃 ” ，一 当 足够大时 ， 斌。 动乃 ， 由随机收 缩 原理 ， 尸 在 【 ， 均上 有唯 一 的随机不 动点 山 因此它是方程 的解 由方程 ， 我们知 道义 户 是 一 适应的 如 夕 。 是【，月上方程 的另一解 ， 并具有初 值厂。 。 ， 那么 ，山 洲 ，山 ， ‘ ， ， 。 。 。 一 试扩 ， ， 。 。 一广买试， ， ， 。 沙 声 ， 。 ， 。 少 ， 。 ， 。 」， ‘ 斌。 。 。 一夕。 。 ， 斌。 犯 。 买一 二 一 ， 。 由 ’ 不等式 ， 得 ， 。 一 ， 。 二 ‘ 斌。 【斌山 。 小 。 。 习 。 。 ， ， 因此 ， 。 习 ， 。 二 ‘ 斌。 【斌。 。 刀 。 。 一为 。 ， 由此得到解 的唯一性和 映射 佃 一 ，山 的 连续性 犷 ， 。 一 试， ， ，， 。 丈试， ， ， 。 城 ， 。 ， 。 三 三 对给定 的 。 任 ，定义映射 〔 ，刘 均一 【 ，刘刃 ， 并 由 ， ， 。 一 试， ， ， 。 。 。 买试犷 ， ， 。 声 ， 。 ， 。 三 兰 由定理 知 它是一个随机积分算子 参 考 文 献 ， ， ， 七 ， 伍 ， ， 、 飞 ， 叮 月几口 ‘， ’ ，，， 肠铭 ，， 心 ， ， ， ， ， ， ， 一 ·