第三讲 瓷产价格的动态过程
2 第三讲 资产价格的动态过程
般维纳过程 连续性 独立增量性 正态性 X(LHAYMaL'PAL)
3 一般维纳过程 • 连续性 • 独立增量性 • 正态性 X (T)服从N(aT,b T )
另一种表示 ITO微分的表示 dX-adt+bdW 其中W(t)为标准维纳过程 a为飘移率,b的平方为方差率 漂移率:收益率的时间度量 方差率:波动率与标准维纳过程波动率 的比例关系 =√t,dW2=d,其中EN(O,1)
4 另一种表示 • ITO微分的表示 – dX=adt+bdW – 其中W(t)为标准维纳过程 – a为飘移率，b的平方为方差率 • 漂移率：收益率的时间度量 • 方差率：波动率与标准维纳过程波动率 的比例关系 • dW = dt dW = dt ,其中N(0,1) 2
般ITO过程 dXa(X, t)dt+b(X, t)dW 其中a、b与Ⅹ、t有关 漂移率、方差率的解释
5 一般ITO过程 • dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW • 其中a、b与X、t有关 • 漂移率、方差率的解释
个简单的IO过程 股票价格行为的动态表示 ds= uSdt +osd 表示 dS/S= udt +oldi 近似为 △S/S=△t+OE√△t
6 一个简单的ITO过程 • 股票价格行为的动态表示 • 表示为 • 近似为 dS = Sdt +SdW dS / S = dt + dt S / S = t + t
对数正态分布 收益率服从正态分布 股价非负△S/S服从N(△,o√△) 股价服从对数正态分布 hnS(t+△) 服从 N(=2 a2)△t+hS(t),a√△)
7 对数正态分布 • 收益率服从正态分布 – 股价非负 • 股价服从对数正态分布 S / S服从N(t, t) ) ln ( ), )) 2 1 (( ln ( ) 2 N t S t t S t t − + + 服从
ITO定理 若标的资产价格满足: dx=adt + bdw 则衍生资产价格满足: df =(a 1x202f ++b Of ax at 2 X2 )dt +bdw aX
8 ITO定理 dW X f dt b X f b t f X f df a f dX adt bdW X + + + = = + ) 2 1 ( 2 2 2 则衍生资产价格 满足： 若标的资产价格 满足：
ITO定理的证明 根据 Taylor展开式 △f=f(X+△x,t+△t)-f(X,t) of f △X+△t+ af △X2+ af △t2)+ af △X△t+ aX 2 aX 2 aXat af af 112 af aX at 2 aX2 )△t+bE√△t+o(△) aX 因为 dw=avdt dw= dt
9 ITO定理的证明 ) ( ) 2 1 ( ( ) 2 1 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t o t X f t b X f b t f X f a X t X t f t t f X X f t t f X X f f f X X t t f X t + + + + = + + + + + = = + + − • 根据Taylor展开式 • 因为 dW = dt dW = dt 2
对数正态分布的形式证明 根据ITO定理 2 of 1 af 1 0 as S aS 2 25 at =( 2 )at + odw 2
10 对数正态分布的形式证明 df dt dW t f S S f S S f f S = − + = = − = = ) 2 1 ( , 0 1 , 1 ln 2 2 2 2 • 根据ITO定理
ITO定理的数学表示 对于0O过程,X,=X0+[K,d+|HdW,则 f(X)=f(X)+.f(X,)+2f(x,)dx2 2 其中 I f(X ds =If(Xs)K, ds+I f(XS)H, dws f(Xdx f (rhf ds
11 ITO定理的数学表示 = = + = + + = + + t s s t s s t t t s s s s s s t s s t t s t s s t t s f X dX f X H ds f X ds f X K ds f X H dW f X f X f X ds f X dX ITO X X K ds H dW 0 '' 2 0 '' 2 0 0 0 ' ' ' 0 '' 2 0 ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) , 其中， 对于 过程， 则