第十讲 B-S公式
2 第十讲 B－S公式
ITO定理 若标的资产价格满足: dx=adt + bdw 则衍生资产价格满足: df =(a 1x202f ++b Of ax at 2 X2 )dt +bdw aX
3 ITO定理 dW X f dt b X f b t f X f df a f dX adt bdW X + + + = = + ) 2 1 ( 2 2 2 则衍生资产价格 满足： 若标的资产价格 满足：
无风险资产与风险资产的组合 无风险资产 of of 1,2 af ax at 2 ard 风险资产 b-dw OX
4 无风险资产与风险资产的组合 dW X f b dt X f b t f X f a + + 风险资产 无风险资产 ) 2 1 ( 2 2 2
无风险组合 △。兀 1衍生资产:f ax t 2 R2 dt+b or ofof 1,2 o'f 小=(a+ 2风险次式,0f aX of X C dt-b5dw OX OX OX
5 无风险组合 dW X f dt b X f X a X f d X X f dW X f dt b X f b t f X f df a f − = − − − + + + = ( ) 2. : ) 2 1 ( 1. : 2 2 2 风险资产 衍生资产 组合：
无套利原理 1,202f 02aF? d=(+b 丌为无风险资产 dn=rndt r为无风险利率
6 无套利原理 为无风险利率 为无风险资产 r d r dt dt X f b t f d = + = ) 2 1 ( 2 2 2
B-S方程 偏微分方程 +-b at 2 a 2F2 +er O 1,2O2f aX 偏微分方程在给定边界条件下 有解析解或近似解
7 B－S方程 有解析解或近似解 偏微分方程在给定边界条件下 偏微分方程 rf X f rX X f b t f = + + 2 2 2 2 1
欧式看涨期权 偏微分方程 OC +o2S OC trs 边界条件 7=max(Sr-X, 0
8 欧式看涨期权 max ,0 2 1 2 2 2 2 C S X rc S c rS S c S t c T = T − = + + 边界条件 偏微分方程
三种求解方法 偏微分方程 经过变量代换可以变成典型的热传导方程,在特定边 界条件下可解(解析解5-18--5-22) 鞅的解法一一概率解法 在后面涉及到 近似解法 差分方程逆推得到,见3.3 不需要经过B-S公式的直接求解 Monte- Carlo法,先模拟岀标的资产价格的样本轨道, 每个样本轨道得到一个衍生资产的价值,无穷多衍生 资产价值得到衍生资产价值的分布
9 三种求解方法 • 偏微分方程 – 经过变量代换可以变成典型的热传导方程，在特定边 界条件下可解（解析解5-18－－5-22) • 鞅的解法－－概率解法 – 在后面涉及到 • 近似解法 – 差分方程逆推得到，见3.3.1 • 不需要经过B－S公式的直接求解 – Monte-Carlo法，先模拟出标的资产价格的样本轨道， 每个样本轨道得到一个衍生资产的价值，无穷多衍生 资产价值得到衍生资产价值的分布
B-S公式的基本假设 无风险利率是常数 标的资产服从ITO过程,没有配股与分红 没有交易费用,允许卖空 交易是连续的 标的资产是可分割的
10 B－S公式的基本假设 • 无风险利率是常数 • 标的资产服从ITO过程，没有配股与分红 • 没有交易费用，允许卖空 • 交易是连续的 • 标的资产是可分割的
B一S与以前定价的主要区别 与标的资产的漂移率无关 理论原因,风险中性 鞅性质(IO定理的结果)等价于 有效市场(有效市场是短期的均衡)等价于 无套利原理 交易原因 当不存在意外交易市场时风险规避是可观察的, 当存在意外交易市场时,Arow- Debreu的均衡下 定价的结果是风险中性的
11 B－S与以前定价的主要区别 • 与标的资产的漂移率无关 • 理论原因, 风险中性 – 鞅性质（ITO定理的结果）等价于 – 有效市场（有效市场是短期的均衡）等价于 – 无套利原理 • 交易原因 – 当不存在意外交易市场时风险规避是可观察的， 当存在意外交易市场时，Arrow-Debreu的均衡下， 定价的结果是风险中性的