第六讲 叉树模型
2 第六讲 二叉树模型
数值算法的原因 美式期权由于可以提前执行使得期权定 价没有解析解 有分红股票期权使得解析算法更为困难 利率动态变动使得期权定价难以求出解 析解 B-S公式依赖与对数正态分布,二叉树不 依赖与特定分布 对于更为复杂的衍生证券价格的定价
3 数值算法的原因 • 美式期权由于可以提前执行使得期权定 价没有解析解 • 有分红股票期权使得解析算法更为困难 • 利率动态变动使得期权定价难以求出解 析解 • B-S公式依赖与对数正态分布，二叉树不 依赖与特定分布 • 对于更为复杂的衍生证券价格的定价
叉树 在S条件下的Sr的分布可以用二叉树对其 股价进行模拟 假定收益率为μ、波动率的标准差为σ 将[t,T时间区间N等分,N△t=Tt 将[tiΔtt+(i+1)At时间间隔的股票价格 变化设定为后图的二叉树
4 二叉树 • 在St条件下的ST的分布可以用二叉树对其 股价进行模拟 • 假定收益率为、波动率的标准差为 • 将[t,T]时间区间N等分，Nt=T-t • 将[t+i t,t+(i+1) t]时间间隔的股票价格 变化设定为后图的二叉树
叉树:贝努利分布 E∈
5 二叉树:贝努利分布 Su Sd S p 1-p − p d p u 1
E=r△t d=1/ △t D5=a2△ a-d D
6 参数 u d a d p a e d u u e r t t − − = = = = 1/ 参数设定为了满足： D t E r t = = 2
分布示例 63.482 份欧式股票看跌 10.066231 期权 56.55916 0.130555 50.39127 50.38856 0.257353 0.257298 44.896 44.89358 0.5073 0.380394 40 39.99785 39.99569 0.499893 0.37484 35.636 35.63408 0.4927 0.369446 1.1224 31.74811 31.7464 0.242753 0.242702 d=0.8909 28.28439 0.119605 p=0.5073 25.19857 0.058929
7 分布示例 63.482 0.066231 56.55916 0.130555 50.39127 50.38856 0.257353 0.257298 44.896 44.89358 0.5073 0.380394 40 39.99785 39.99569 0.499893 0.37484 35.636 35.63408 0.4927 0.369446 31.74811 31.7464 0.242753 0.242702 28.28439 0.119605 25.19857 0.058929 一份欧式股票看跌 期权： S=40,T-t=4m, r=0.1 =0.4，k＝40 取t=1month 计算得到 u=1.1224 d=0.8909 p=0.5073
欧式期权价值计算 63.482 56.55916 Nmax X-S:0 10 9127 50.38856 28 e(pc+(1-p)c1,) 44.896 44.89358 0.964346 10.002104 i< N 40 39.99785 39.99569 972589 0.004307 Co为期权价值 35.636 35.63408 4.702181 4.034967 7.592522 8.253597 28.28439 25.19857 14.80143
8 欧式期权价值计算 63.482 0 56.55916 0 50.39127 50.38856 0.001028 0 44.896 44.89358 0.964346 0.002104 40 39.99785 39.99569 2.78 1.972589 0.004307 35.636 35.63408 4.702181 4.034967 31.74811 31.7464 7.592522 8.253597 28.28439 11.38445 25.19857 14.80143 为期权 价值 ( (1 ) ) max{ ,0} 0 0 1, 1 1, c i N c e pc p c c X S i j i j r t i j Nj Tj = + − = − + + + −
美式看跌期权 63.482 CNi=max(K-STi,o 56.5516 maxiK-S 50.3912 050.38856 0 e(pC+1++(1-p)c+1) 44.8960.00102844.89358 0 i<N 401.04335839.997850.00210439.99569 0.002154 0.004307 为期权价值 2.9435.6362.13429635.63408 00 919 4.94394831.748114.03496731.7464 8.251888 8.253597 美式看跌期权可能提前执行 7.9208272828489 11.71561 384425.19857
9 美式看跌期权 63.482 0 56.55916 0 50.39127 0 50.38856 0 0 44.896 0.001028 44.89358 0 0 40 1.043358 39.99785 0.002104 39.99569 0 0.002154 0.004307 2.94 35.636 2.134296 35.63408 4.364 4.365919 4.943948 31.74811 4.034967 31.7464 8.251888 8.253597 7.920827 28.28439 11.71561 11.38445 25.19857 14.80143 美式看跌期权可能提前执行 为期权 价值 ( (1 ) )} max{ , max{ ,0} 0 0 1, 1 1, c i N e pc p c c K S c K S i j i j r t i j i j Nj Tj + − = − = − + + + −
美式看涨期权 23.482 916 16 50.3912716.895350.3886 10.39127 10.38856 44.89611.0506244.89358 4.896 4.893583 406.84418339.997855.2263839.99569 0 4.0935.6362.6293435.63408 1.32279531.74811031.7464 0|28.28439
10 美式看涨期权 63.482 23.482 56.55916 16.55916 50.39127 16.88953 50.38856 10.39127 10.38856 44.896 11.05062 44.89358 4.896 4.893583 40 6.844183 39.99785 5.22638 39.99569 0 0 0 4.09 35.636 2.62934 35.63408 0 0 1.322795 31.74811 0 31.7464 0 0 0 28.28439 0 0 25.19857 0 美式看涨期权 不可能提前执 行的数据演示
另一种计算方法 63.482 0.066231 56.55916 欧式看跌期权 0.130555 50.39127 050.38856 0.257353 0.257298 44.896 44.89358 0.5073 0.380394 40 39.99785 039.99569 0.499893 0.37484 35.6360.00215435.634080.004307 0.4927 0.369446 4.36431.748114.36591931.7464 0.242753 0.242702 8.25188828.284398.253597 0.119605 7156125.19857 0.058929 14.80143 2.1322991.9711222.9397912.782692
11 另一种计算方法 63.482 0.066231 56.55916 0 0.130555 50.39127 0 50.38856 0.257353 0.257298 44.896 44.89358 0 0.5073 0.380394 40 39.99785 0 39.99569 0.499893 0.37484 35.636 0.002154 35.63408 0.004307 0.4927 0.369446 4.364 31.74811 4.365919 31.7464 0.242753 0.242702 8.251888 28.28439 8.253597 0.119605 11.71561 25.19857 0.058929 14.80143 2.132299 1.971122 2.939791 2.782692 欧式看跌期权 p=2.782692 美式期权 p=2.939791