第九章FIR滤波器 用矩形窗设计一个FR线性相位低通数字滤波器。已知 O=05x,N=21.求出加(m)并画出20bgH(em)曲线 分析:此题给定的是理想线性相位低通滤波器,故 H4(e) ≤O≤O Ha(ee de e-jodeJondo_@ sino (n-a 丌o(n-a) 其中a=(N-1)/2=10O=0.5x 故:h(m)=hn(n)n(n) 0≤n≤20 丌(n-10) n为其他 h(0)=9.7654073033E-4 h(1)=3.5358760506E2 h(2)=9.7657600418E-4 h(3)=-4.5465879142E2 h(4)=9.7651791293E-4 h(5=6.3656955957E2 h(6=-97658322193E-4 h(7)=-1.0610036552E-1 h(8)=9.7643269692E4 h(9)=3.1830877066E-1 h(10)=49902343750E1 h(11)=3.1830900908E-1 h(12)=9.7669276875E-4 h(13)=-10610023141E-1 h(14)=-9.7654142883 h(15)=6.3657015562E-2 h( 9.7660662141E-4 h( 4.5465819538E2 h(18=-97654841375E-4 h(19)=3.5358794034E-2 h(20}=9.7658403683E-4
第九章 FIR 滤波器 1. 用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知 c = 0.5 , N = 21 。求出 h(n) 并画出 20 log ( ) j H e 曲线。 分析：此题给定的是理想线性相位低通滤波器，故 = − 0 , , - - 。 , - ( ) c c c c j j d e H e 解： h n H e e d j j n d d − = ( ) 2 1 ( ) ( ) sin[ ( )] 2 1 − − = = − − n n e e d c c j j n c c c − − = = = − = = 为其他 故： 其中 n n n n h n h n w n N d c 0 , , 0 20 ( 10) ] 2 sin[ ( ) ( ) ( ) ( 1) / 2 10 0.5 h( 0)= 9.7654073033E-4 h( 1)= 3.5358760506E-2 h( 2)= -9.7657600418E-4 h( 3)= -4.5465879142E-2 h( 4)= 9.7651791293E-4 h( 5)= 6.3656955957E-2 h( 6)= -9.7658322193E-4 h( 7)= -1.0610036552E-1 h( 8)= 9.7643269692E-4 h( 9)= 3.1830877066E-1 h( 10)= 4.9902343750E-1 h( 11)= 3.1830900908E-1 h( 12)= 9.7669276875E-4 h( 13)= -1.0610023141E-1 h( 14)= -9.7654142883E-4 h( 15)= 6.3657015562E-2 h( 16)= 9.7660662141E-4 h( 17)= -4.5465819538E-2 h( 18)= -9.7654841375E-4 h( 19)= 3.5358794034E-2 h( 20)= 9.7658403683E-4
0.00.20406081.0 0 20 -40 60 -80 2.用海明窗设计一个线性相位带通滤波器 ≤O-00≤O e 0≤< < 0≤丌 求出加)的表达式并画出20图H(e")曲线 (设O2=0.2丌,=0.57,N=51) 解 可求得此滤波器的时域函数为 h,n) do 2丌J-o2+o 2 j(n-a)(oo +@) aj(n-a)(oo-O) +en-a)(2-0)-e/(n-a)(-m=02) 1sm(0+O)(n-a) (O0-O)(n-a sin[on-a)o ]cos[on-a)ooI 丌(n-a
2. 用海明窗设计一个线性相位带通滤波器 − + − − = − c c c c j j d e H e 0 0 0 0 , 0 , , ( ) { 求出 h(n) 的表达式并画出 20 lg ( ) j H e 曲线。 （设 c = 0.2，0 = 0.5，N = 51 ） 解: 可求得此滤波器的时域函数为： − + − − − + − + − − = + = c c c c e e d e e d h n H e e d j jn j jn j j n d d 0 0 0 0 2 1 2 1 ( ) 2 1 ( ) ] [ ( ) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 c c c c j n j n j n j n e e e e j n − − − − − − + − − + − − − = 0 0 0 sin ( ) cos ( ) ( ) 2 sin[( )( )] sin[( )( )] ( ) 1 − − − = − − − + − − = n n n n n n c c c
采用海明窗设计时: 054-046093m N-1」x(n-a) h(n)= xsin[n-a)o ]codon-a)oo1osnsN-I n为其他 其中a=(N-1)/2 代入N=51得a=25 054-046c02 h(n)={xsmn(n-25)2lcos-25)31,0≤n≤50 0 n为其他值 h(0=-17792453066E9 h(1)=1.2784593273E3 h(2)=2.8278364095E9 h(3=-3.1063116621E3 h(4)=-11197345273E9 h(5}=65603257099E-5 h(6=-54661515314E9 h(7)=8.2749519497E-3 h(8)=10554026986E8 h(9)=-81601543352E-3 h(10)=-2.0916635091E9 h(11)=-11989242397E2 h(12)=-15438420320E8 h(13)=28777478263E2 h(14)=1368378 h(15)= h(16=2.1395559102E8 h(17)=-59433232993E2 h(18)=-4.7929443525E8 h(19)=5.4869838059E h(20)=-16576438000E9 h(21)=8.7930023670E h(22)=13147858624E7 h(23)=-298 h(24)=-24842057655E7 h(25)=4.0039062500E1 h(26)=2.4884724326E7 h(27)=-29847630858E-1 h(28)=-13260110165E7
采用海明窗设计时： − − − − − − = n为其他 n n n N N n n h n c 0 , sin ( ) cos( ) , 0 1 ( ) 2 1 2 0.54 0.46cos( ( ) 0 其中 = (N −1) / 2 − − − − = = = 为其他值 代入 得 ，n n n n n n h n N 0 ] , 0 50 2 ]cos[( 25) 5 sin[( 25) ( 25) 2 )] 25 [0.54 0.46cos( ( ) 51 25 h( 0)= -1.7792453066E-9 h( 1)= 1.2784593273E-3 h( 2)= 2.8278364095E-9 h( 3)= -3.1063116621E-3 h( 4)= -1.1197345273E-9 h( 5)= 6.5603257099E-5 h( 6)= -5.4661515314E-9 h( 7)= 8.2749519497E-3 h( 8)= 1.0554026986E-8 h( 9)= -8.1601543352E-3 h( 10)= -2.0916635091E-9 h( 11)= -1.1989242397E-2 h( 12)= -1.5438420320E-8 h( 13)= 2.8777478263E-2 h( 14)= 1.3683782996E-8 h( 15)= -2.6650217478E-4 h( 16)= 2.1395559102E-8 h( 17)= -5.9433232993E-2 h( 18)= -4.7929443525E-8 h( 19)= 5.4869838059E-2 h( 20)= -1.6576438000E-9 h( 21)= 8.7930023670E-2 h( 22)= 1.3147858624E-7 h( 23)= -2.9847630858E-1 h( 24)= -2.4842057655E-7 h( 25)= 4.0039062500E-1 h( 26)= 2.4884724326E-7 h( 27)= -2.9847630858E-1 h( 28)= -1.3260110165E-7
h(29)=8.7929971516E2 h(30)=3.0146882768E9 h(31)=5.4869886488E2 h(32)=4.6942115972E8 hh 33)=-5.9433255345E2 =-2.1138220063E-8 h(35=-26650624932E4 h(36=-13386657116E8 h(37)=28777483851E2 h(38)=15110085627E8 h(39)=-11989233084E2 h(40)=2.0960144731E9 h(41)=-81601683050E-3 h(42)=-1.0312461107E8 h(43)=8.2749547437E-3 h(44)=5.2577551202E9 h(45=6.5610285674E5 h(46)=1.1623461083E9 h(47)=-3.1063179485E3 h(48)=-27633737520E9 h( 1.2784597930E-3 1.6941573699E9 0.00.2040.60810 70 100 3.试用频率抽样法设计一个FR线性相位数字低通滤波器。已知
h( 29)= 8.7929971516E-2 h( 30)= 3.0146882768E-9 h( 31)= 5.4869886488E-2 h( 32)= 4.6942115972E-8 h( 33)= -5.9433255345E-2 h( 34)= -2.1138220063E-8 h( 35)= -2.6650624932E-4 h( 36)= -1.3386657116E-8 h( 37)= 2.8777483851E-2 h( 38)= 1.5110085627E-8 h( 39)= -1.1989233084E-2 h( 40)= 2.0960144731E-9 h( 41)= -8.1601683050E-3 h( 42)= -1.0312461107E-8 h( 43)= 8.2749547437E-3 h( 44)= 5.2577551202E-9 h( 45)= 6.5610285674E-5 h( 46)= 1.1623461083E-9 h( 47)= -3.1063179485E-3 h( 48)= -2.7633737520E-9 h( 49)= 1.2784597930E-3 h( 50)= 1.6941573699E-9 3. 试 用 频 率 抽 样 法 设 计 一 个 FIR 线 性 相 位 数 字 低 通 滤 波 器 。 已 知
O=0.57,N=51 分析:此题是频率抽样设计法 解:根据题意有: 0≤O≤O 其他O 则有 N 1,0≤k≤l]=1 H(k)= 丌 0.13≤k≤ 25 所以 Sin/51/0k7 51// sin/51o2kz 51sin/o_kr 251 51 4.如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为: Hap(eJe )= hrp(o)e/9(o) (1)试证明一个线性相位带阻滤波器可以表示成 HBR(ee)=[-HBp(o).e/pfa) 0≤≤丌 (2)试用带通滤波器的单位冲激响应han(n)来表达带阻滤 波器的单位冲激响应ha2(m) 分析:此题是证明题,难度不大,但很实用。 (1)证明 由于Hap(e)=HBp()em),且又是一 线性相位带通滤波器,则:
c = 0.5，N = 51 分析：此题是频率抽样设计法。 解：根据题意有： = 0 , 其他 1 , 0 ( ) j c d H e 则有 = − = = 25 2 1 0 , 13 ] 12 2 1 , 0 [ ( ) N k N k Int H k c 所以 ( ) + + + + − − = = − 2 51sin 2 51 sin 2 51 55sin 2 51 sin 51 2 51 51sin 2 51 sin 51 12 1 25 k j j k k k k e H e 4. 如果一个线性相位带通滤波器的频率响应为： ( ) ( ) ( ) j BP j BP H e = H e (1)试证明一个线性相位带阻滤波器可以表示成 ( ) = 1− ( ) , 0 j ( ) BP j BR H e H e (2)试用带通滤波器的单位冲激响应 h (n) BP 来表达带阻滤 波器的单位冲激响应 h (n) BR 。 分析：此题是证明题，难度不大，但很实用。 线性相位带通滤波器，则： 由于 且又是一 证明： ( ) ( ) , (1) ( ) j BP j BP H e = H e
0.0≤ O.或 00+O<O≤丌 1,-0≤O-00≤O 且q(O)也是线性相位 又因为HB2(e)=Hm2(O)eo 1,0≤o<-0或 +O<O≤ Ols0-00≤O 因而HB(O)=1-HB() 所以带阻滤波器可以表示成 HBR(ejo)=1-hBp(ole (2)解:由题意可得: 2丌 2T ∫21-Hp(O) DJe/ eJon JIo(o)+onldo-hep(n) 2 考虑到φ()的特性,有如下结论 N (1)q()= ha()=1.2sn((x)+m)-h(m) 2T o(o)+ N +n丌 N-1 T 2 (-1)sin(N-1)z/2 ha(n),N为偶数 =1x{n-(N-1/2 hBn(n) ,N为奇数 (-1)sn(N-1/2 有ha(m) hn(m),N为偶数 r{n-(N-1)/2 hon (n) ,N为奇数
− − + − = c c c c HBP 0 0 0 1 , 0 , 0 ( ) 或 且（）也是线性相位 ( ) 又因为 ( ) ( ) j BR j BR H e = H e − − + − = c c c c HBR 0 0 0 0 , 1 , 0 ( ) 或 () 1 () 因而 HBR = − HBP 所以带阻滤波器可以表示成： (2)解：由题意可得： − = h n H e e d j j n BP BP ( ) 2 1 ( ) − = − h n H e e d j j n BR BP ( ) [1 ( )] 2 1 ( ) ( ) 2 1 [ ( ) ] e d hBP n j n = − − + 考虑到()的特性，有如下结论： − = − 2 1 ( ) ( ) N I ( ) ( ) ( ) 2sin ( ) 2 1 ( ) ' h n n n hBR n − BP + + = ( ) 2 1 2 1 sin h n N n n N − BP − − + − − = − − − − − − = + ( ) N ( ) , N [ ( 1)/ 2] ( 1) sin[( 1) / 2] 1 ， 为奇数 为偶数 h n h n n N N Bp Bp n − − − − − − = + − = − + ( ) N ( ) , N [ ( 1) / 2] ( 1) sin[( 1) / 2] h ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 1 BR ， 为奇数 为偶数 有 当 h n h n n N N j n N II Bp Bp n ( ) ( ) 1 ( ) j BP j BR H e = − H e
5.请选择合适的窗函数及N来设计一个线性相位低通滤波器 H(e)= 0≤<O ≤O≤丌 要求其最小阻带衰减为-45dB,过渡带宽为8丌/51。 求出h(n)(设O=0.5丌) 分析:此题是真正实用的设计题,从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择(当 然用凯泽窗则可改变β来满足阻带衰减的要求)而N的选择则影响过渡带宽。 解 因为题目要求设计的低通滤波器的最小阻带衰减为45dB,对照书上的表格 《六种窗函数基本参数的比较》可以知道:矩形窗,三角形窗,汉宁窗都不 符合条件,所以应该选择海明窗。选N=4,过渡带宽为0x<87,即小于所 需的过渡带宽,满足要求,则有 r(n)=0.54-0.46c0s R(n)又根据题目所给低通滤波器的表达式求得 ha(n)=2t sino (n-a) e 丌0(n-a) 由此可得 h(n)=h,(nw(n) 0.54-046cos n.sin05(n-21)x] 21 0≤n≤42 n为其他值 此处a=(N-1)/2=21
5. 请选择合适的窗函数及 N 来设计一个线性相位低通滤波器 = − c c j j d e H e 0 , , 0 ( ) 要求其最小阻带衰减为-45dB，过渡带宽为 8 /51 。 求出 h(n) （设 c = 0.5 ） 分析：此题是真正实用的设计题，从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择（当 然用凯泽窗则可改变β来满足阻带衰减的要求）而 N 的选择则影响过渡带宽。 解： 因为题目要求设计的低通滤波器的最小阻带衰减为-45dB，对照书上的表格 《六种窗函数基本参数的比较》可以知道：矩形窗，三角形窗，汉宁窗都不 符合条件，所以应该选择海明 窗。选 过渡带宽为 ，即小于所 51 6.6 8 43 , = N N 需的过渡带宽，满足要求，则有： 又根据题目所给低通滤波器的表达式求得： 由此可得： − − − = = n为其他值 n n n n h n hd n w n 0 , 0 42 , ( 21) sin 0.5( 21) 21 0.54 0.46 cos ( ) ( ) ( ) 此处 = (N −1)/ 2 = 21 ( ) 1 2 ( ) 0.54 0.46cos R n N n w n N − = − − − = c c h n e e d j j n d 2 1 ( ) ( ) sin ( ) − − = n n c c c