第七章滤波器的网络结构 4(二+1)(二2-14=+1) 1.用级联型结构实现以下系统函数H(=)=-05)(=2+092+08) 试问一共能构成几种级联型网络。 分析:用二阶基本节的级联来表达(某些节可能是一阶的) 解:H(z)=A +B1k=+B2k= k 1-aIk- 4(1+x)1-14x-+2) 0.52(1+0.9+0.8 ∴A=4 Bu B21=0 B12=-1.4,B22=1 a1=0.5,a21=0, a12=-0.9 a2=-08 x(n)4 y(n) 0.5 0.1 x(n)4 y(n) 09-1.4 0.51 0.81
第七章 滤波器的网络结构 1. 用级联型结构实现以下系统函数 2 2 4( 1)( 1.4 1) ( ) ( 0.5)( 0.9 0.8) z z z H z z z z + − + = − + + 试问一共能构成几种级联型网络。 分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。 解： − − − − − − + + = k k k k k z z z z H z A 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) (1 0.5 )(1 0.9 0.8 ) 4(1 )(1 1.4 ) 1 1 2 1 1 2 − − − − − − − + + + − + = z z z z z z ∴ A= 4 0.5 , 0 , 0.9 , 0.8 1, 0 , 1.4 , 1 11 21 12 22 11 21 12 22 = = = − = − = = = − =
x(n)4 y(n) z z 0.8 x(n)4 y(n) 由此可得:采用二阶节实现,还考虑分子分母组合成二阶(一阶)基本节的方式, 则有四种实现形式。 2.给出以下系统函数的并联型实现。 H(x)52+1.58x-+1412-1.6-3 (1-051+0.9-1+08 分析:注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的,这是因为系统函数化为部分 分式之和,分子的-的最高阶数比分母z-的最高阶数要低一阶,如果分子、分母多项式 的〓-的最高阶数相同,则必然会分解出一个常数项的相加(并联)因子 解:对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得 52+1.58z-1+141x-2-163 H(=) (1-051+09-+0822) 0.2 1-0.5z -11+0.9 0.8z a1=0.5,a21=0,a2=-0.9,a2=-0.8
由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式， 则有四种实现形式。 2. 给出以下系统函数的并联型实现。 (1 0.5 )(1 0.9 0.8 ) 5.2 1.58 1.41 1.6 ( ) 1 1 2 1 2 3 − − − − − − − + + + + − = z z z z z z H z 分析：注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的，这是因为系统函数化为部分 分式之和，分子的 −1 z 的最高阶数比分母 −1 z 的最高阶数要低一阶，如果分子、分母多项式 的 −1 z 的最高阶数相同，则必然会分解出一个常数项的相加（并联）因子。 解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得： (1 0.5 )(1 0.9 0.8 ) 5.2 1.58 1.41 1.6 ( ) 1 1 2 1 2 3 − − − − − − − + + + + − = z z z z z z H z 1 2 1 1 1 0.9 0.8 1 0.3 1 0.5 0.2 4 − − − − + + + + − = + z z z z G0 = 4 11 = 0.5, 21 = 0 ， 0.9 , 0.8 12 = − 22 = −
0.2 y 0.3 X(n) y(n 0.5 3.已知FR滤波器的单位冲击响应为 h(n)=(n)+0.36(n-1)+0.720(n-2 +0.116(n-3)+0.126(n-4) 试画出其级联型结构实现 分析:级联型是用二阶节的因式乘积表示 解: 根据H()=∑h(n)得 H(=)=1+0.3x-+0.72 +0.113+0.12z-4 =(1+0.2x-+0.32) ×(1+0.1=-+0.4-2) 而FR级联型结构的模型公式为: ()=∏1(0k+B1k=+B2 对照上式可得此题的参数为: Bo2 B1=0.2,B2=0.1 B21=0.3,B2=0.4
01 = 0.2 , 11 = 0 ， 02 =1 , 12 = 0.3 3. 已知 FIR 滤波器的单位冲击响应为 0.11 ( 3) 0.12 ( 4) ( ) ( ) 0.3 ( 1) 0.72 ( 2) + − + − = + − + − n n h n n n n 试画出其级联型结构实现。 分析：级联型是用二阶节的因式乘积表示。 解： 根据 − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z 得： 3 4 1 2 0.11 0.12 ( ) 1 0.3 0.72 − − − − + + = + + z z H z z z (1 0.1 0.4 ) (1 0.2 0.3 ) 1 2 1 2 − − − − + + = + + z z z z 而 FIR 级联型结构的模型公式为： = − − = + + 2 1 2 2 1 0 1 ( ) ( ) N k k k k H z z z 对照上式可得此题的参数为： 1 , 1, 01 = 02 = 11 = 0.2 , 12 = 0.1 21 = 0.3 , 22 = 0.4
x(n) y(n) 0.2 4.设某FR数字滤波器的系统函数为:H(2)=(1+32-+5-2+3=-3+2) 试画出此滤波器的线性相位结构 分析:FIR线性相位滤波器满足h(n)=+H(N-1-m),即对n=(N-1)/2呈现偶对 称或奇对称,因而可简化结构 解:由题中所给条件可知 h(n)==(m)+=(n-1)+D(n-2) +=6(n-3)+=D(n-4) 则h(O)=(4)==02 h(1)=h(3)===0.6 h(2)=1 即h(n)偶对称,对称中心在n 处,N为奇数(N=5)。 x(n) 1 0.2 y(n)
4. 设某 FIR 数字滤波器的系统函数为： 1 1 2 3 4 ( ) (1 3 5 3 ) 5 H z z z z z − − − − = + + + + 试画出此滤波器的线性相位结构 分析：FIR 线性相位滤波器满足 h(n) = h(N −1−n) ，即对 n = (N −1)/2 呈现偶对 称或奇对称，因而可简化结构。 解：由题中所给条件可知： ( 4) 5 1 ( 3) 5 3 ( 1) ( 2) 5 3 ( ) 5 1 ( ) + − + − = + − + − n n h n n n n 处， 为奇数 。 即 偶对称，对称中心在 则 ( 5) 2 2 1 ( ) (2) 1 0.6 5 3 (1) (3) 0.2 5 1 (0) (4) = = − = = = = = = = = N N N h n n h h h h h
y(n)=x(m)+x(n-1)+y(n-1)+y(n-2) 5.设滤波器差分方程为: (1)试用直接型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程 (2)求系统的频率响应(幅度及相位)。 (3)设抽样频率为10kHz,输入正弦波幅度为5,频率为1kHz,试求稳态输出。 分析:(1)此题分子x-的阶次低于分母z-的阶次,故一阶节的并联结构没有常数项 (2)由H(=)→H(e),且要用模和相角表示, arg[H(e/e) (3)正弦输入x(1)情况下要先化成x(n)=x()-m输出信号幅度等于输入信号 幅度与H(e)的乘积频率即为输入的数字频率ao,相角为输入相角加 上系统频率响应在o处的相角arg{H(eo) 解: x(n) y(n) 直接I型 2计 直接I型 y(n) 级联型 x(n) 6 y(n) 并联型 (1)直接I型及直接Ⅱ:
5. 设滤波器差分方程为： ( 2) 4 1 ( 1) 3 1 y(n) = x(n) + x(n −1) + y n − + y n − ⑴试用直接 I 型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程。 ⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。 ⑶设抽样频率为 10kHz，输入正弦波幅度为 5，频率为 1kHz，试求稳态输出。 分析： (1)此题分子 −1 z 的阶次低于分母 −1 z 的阶次，故一阶节的并联结构没有常数项 arg[ ( )] ( ) ( ) (2) ( ) ( ) j j j j H e j H e H e e H z H e = 由 ，且要用模和相角表示， arg[ ( )] ( ) (3) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j H e H e x t x n x t j t n T 上系统频率响应在 处的相角 幅度与 的乘积，频率即为输入的数字频率 ，相角为输入相角加 正弦输入 情况下要先化成 = = 输出信号幅度等于输入信号 解： (1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：
根据y(m)=∑ay(-k)+∑bx(m-k)可得 b=1,b1=1 一阶节级联型: 1+ H(二) 1+z 1+√10 1-√10 )(1 6 6 (1-07z)1+0.36x-) 阶节并联型 1+z H(二) 1+√10 (1 6 0 √10 1+√10 √10 1.6 0.6 1-0.7-1+0.36z (2)由题意可知(z) 1+二 H(e)= 1+e 1+ CoS o coS2O+川-sn+-sn2 幅度为:
根据 = = = − + − N k M k k k y n a y n k b x n k 1 0 ( ) ( ) ( ) 可得： 4 1 , 3 1 a1 = a2 = ； b0 =1, b1 =1 一阶节级联型： ) 6 1 10 )(1 6 1 10 (1 1 4 1 3 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 − − − − − − − − + − + = − − + = z z z z z z H z (1 0.7 )(1 0.36 ) 1 1 1 1 − − − − + + = z z z 一阶节并联型： ) 6 1 10 )(1 6 1 10 (1 1 ( ) 1 1 1 − − − − − + − + = z z z H z 1 1 6 1 10 1 10 20 7 2 1 6 1 10 1 10 20 7 2 1 − − − − − + + − + = z z 1 1 1 0.36 0.6 1 0.7 1.6 − − + − − = z z (2)由题意可知 1 2 1 4 1 3 1 1 1 ( ) − − − − − + = z z z H z = − − + = − − − j j j j e e e H e 2 4 1 3 1 1 1 ( ) − − + + + − sin 2 4 1 sin 3 1 cos 2 4 1 cos 3 1 1 (1 cos ) sin j j 幅度为： ( ) = j H e
1+ cos 0)+sn o -COSO--cos 20)+(sn o+=sin 20) 相位为 argH(e ig( sin o+-sin 20 g tg --cOSO--cOS 20 (3)输入正弦波为:x()=5s1(2m·103) 由ΩT=2×10T1=2可得 周期为 0-3s=1ms 1000 又抽样频率为10kHz,即抽样周期为 =0.1×10-=0.1ms ∴在x(t)的一个周期内,采样点数为10个,且在下一周期内的采样值与(0,2丌) 间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为 x(n)=5sm(2×103×n) =5sin103.2x10n ssn=nz(n=0,1,…9) 由此看出cn=0.2x 根据公式可得此稳态输出为: y(n)=sH(e/oo)cosloo/ +argH(e oo] =1213cos02m-516
2 2 2 2 sin 2 ) 4 1 sin 3 1 cos 2 ) ( 4 1 cos 3 1 (1 (1 cos ) sin − − + + + + 相位为： + = − ) 1 cos sin arg ( ) arg ( H e tg j − − + − ) cos 2 4 1 cos 3 1 1 sin 2 4 1 sin 3 1 arg ( tg (3)输入正弦波为： ( ) 5sin( 2 10 ) 3 x t = t 由 2 10 1 2 3 T = T = 可得： 周期为： T 10 s 1ms 1000 1 3 1 = = = − 又抽样频率为 10kHz，即抽样周期为 T 0.1 10 0.1ms 10 10 1 3 3 = = = − ∴在 x(t)的一个周期内，采样点数为 10 个，且在下一周期内的采样值与 (0,2 ) 间的采样值完全一样。所以我们可以将输入看为 ( ) (n 0 ,1, ,9) 5 1 5sin 5sin 10 2 10 ( ) 5sin 2 10 3 4 3 = = = = − n n x n nT 由此看出 0 = 0.2 根据公式可得此稳态输出为： ( ) 5 ( ) cos arg ( ) 0 0 0 j j y n = H e n + H e = 12.13cos 0.2n − 51.6