复旦大学：《数字信号处理》课程教学资源_第三次习题课

第三次习题课 施剑阳 电磁波信息科学重点实验室 Key lab of lectromagnetic Wave 旦大學 In formation science 等後 FUDAN UNIVERSITY

第三次习题课 施剑阳

1.假如x(n)的z变换代数表示式是下式,问X(z)可能有多少不同的收敛域。 X(二) (1+z-)1+z+z 分析: 有限长序列的收敛域为:0<1<∞,n1≤n≤n2 特殊情况有:0<≤,n1≥0 05= ≤0 右边序列的收敛域为:R3-<<∞,n≥n1 因果序列的收敛域为:R<|s∞,n≥n20 左边序列的收敛域为:0<<R+,n≤n2 特殊情况有:|1<R+,n≤n2s0 双边序列的收敛域为:R-<<R+ 有三种收敛域:圆内、圆外、环状(=0,z=∞要单独讨论) 电波信息科学重点实验室復旦大缪 UDAN UNIVERSITY

1.假如 x(n) 的 z 变换代数表示式是下式，问 X (z)可能有多少不同的收敛域。 ) 8 3 4 5 )(1 4 1 (1 4 1 1 ( ) 2 1 2 2 − − − − + + + − = z z z z X z 分析： 有三种收敛域 ：圆内、圆外、环状（ ， 要单独讨论） 双边序列的收敛域为： 特殊情况有 ： 左边序列的收敛域为： 因果序列的收敛域为： 右边序列的收敛域为： 特殊情况有： 有限长序列的收敛域为： 0 , 0 0 , , 0 , 0 , 0 0 , 0 0 , 2 2 1 1 2 1 1 2 = =                                − + + + − − z R z R z R n n z R n n R z n n R z n n z n z n z n n n x x x x x x

解:对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 (1-2-)(1+z-) X(Z)= (1+z2)(1+z)(1+3z) (1+jz-)1-jz)(1+z-1) X(Z)的零点为:1/2,极点为:j2,-j2,-3/4 ∴X(Z)的收敛域为 (1)1/23/4 为右边序列 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY

解 : 对 X(Z)的分子和分母进行因式分解得 ) 4 3 )(1 2 1 )(1 2 1 (1 2 1 1 1 1 1 1 − − − − + − + − = j Z j Z Z Z X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 3/4 ， 为右边序列 ) 4 3 )(1 2 1 )(1 4 1 (1 ) 2 1 )(1 2 1 (1 ( ) 2 1 1 1 1 − − − − − + + + − + = Z Z Z Z Z X Z

2若x(mn),x2(mn)是因果稳定序列,求证 XI(e)x2(e/ ) da X(edo 2丌 2丌- 分析: 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 x,(n)*x,(n)=X, (e o )x2 (elo )e/lonc 而x1(m)*x2( x1(O)x2(O) X(ex2(eo)do 2丌 再利用x(n)、x2(n)的傅里叶反变换,代入n=0即可得所需结果。 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY

2.若 ( ), ( ) x1 n x2 n 是因果稳定序列，求证： − − − =                 ( ) } 2 1 ( ) }{ 2 1 ( ) ( ) { 2 1 X1 e X2 e d X1 e d X2 e d j j j j 分析： 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解        x n x n X e X e e d j j j n ( ) ( ) 2 1 ( )* ( ) 1 2  1 2 − = ， 而 ( ) ( ) 2 1 (0) (0) 0 ( ) * ( ) 1 2 1 2 1 2       X e X e d x x n x n x n j j − = = = 再利用 ( ) ( ) 1 2 x n 、x n 的傅里叶反变换，代入 n = 0 即可得所需结果

证明 设y(n)=x(n)*x2(m)则 Y()=X1(=)·X2( (e)=X1(e/)·X2(e) X,(elo)x2(e/o)e/onc ∴x1(n) XI(e ) e 2丌 1【2X2( jo cOndo Y(eoe/ndo 2丌 y(n O 2丌 x1(n)*x2(n) x2 X,(e do 2丌 X(e)x2(e/ ) do 丌 =x1(m)*x2(n)l=0 o, (e)x2(el o )do x(k)(n-k X(e)do i ∫x O 2丌 2丌 x(O)·()电磁波信息科学重点实验室视里大学 FUDAN UNIVERSITY

证明: −   =  =  =            X e X e e d Y e X e X e Y z X z X z y n x n x n j j j n j j j ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 设 1 2 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 x n x n y n Y e e d j j n =  = = −       (0) (0) ( ) ( ) ( ) ( )| ( ) ( ) 2 1 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 x x x k x n k x n x n X e X e d n n k n j j =        = − =   = = = −           − − = = • • •             x n X e e d x n X e e d j j n j j n ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 2 1 1 ∴ − =      x X e d j ( ) 2 1 (0) 1 1 − =      x X e d j ( ) 2 1 (0) 2 2    − − − =                  ( ) } 2 1 ( ) }{ 2 1 { ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 X e d X e d X e X e d j j j j

3已知x(n)有傅里叶变换X(e/O),用(e°)表示下列信号的 傅里叶变换 (a)x1(m)=x(1-n)+x(-1-n)(b)x3(n) x"(-n)+x(n) (c)x2(n)=(n-1)x(m) 2 分析: 利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。 x(n)分X(e),x(-n)分>X(e) x(m-n)分emX(e-), dX(e DTFTInx(n d 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY

3.已知 x(n) 有傅里叶变换 ( ) j X e ，用 ( ) j X e 表示下列信号的 傅里叶变换。 (a) ( ) (1 ) ( 1 ) x1 n = x − n + x − − n (b) 2 ( ) ( ) ( ) 3 x n x n x n − + =  (c) ( ) ( 1) ( ) 2 x2 n = n − x n 分析： 利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。 [ ( )] 。 d d (e ) - j ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) j DTFT n x n X x m n e X e x n X e x n X e j m j j j = −   −  − − −      

(c) X(e/) 则 (in)x(n)e 解 d (a) DTFTx(n]=X(elo) 即 DTFTnx(nI=a(en) (-)do DTFTEx(-n)]=X(e-jo) dx(e) do DTFTx(1-n)]=e-j X(e-jon 同理: DTFT/n2x(n DTFTx(I-n]=eo X(e-jo) d-x(e) DTFTIX,(n=X(e d 2X(e )cos@ T x,(n)=nx(n)-2nx(n)+x(n) (6) DTFTIx(n=X(e) 所以 DTFT[x, (n)] 因而:DFTx(n)=x(c)+x(e") DTFTn'x(n(nx(n) [X(e/) DtFTix(n 电磁波信學续鉴復里大学 d- X( FUDAN UNIVERSITY

解： ( )  ( ) ( ) j a DTFT x n = X e  ( ) ( ) j DTFT x n X e − − =  (1 ) ( ) j j DTFT x n e X e − − − =  ( 1 ) ( ) j j DTFT x n e X e − − − =     2 ( ) cos [ ( )] ( ] 1 j j j X e DTFT x n X e e − − = = + ( ) [ ( )] ( ) j b DTFT x n X e   − = Re[ ( )] 2 ( ) ( ) [ ( ) * 2    j j j X e X e X e DTFT x n = + 因而： = (c)   =− − = n j j n X e x n e   ( ) ( ) 则   =− − = − n j n j jn x n e d dX e    ( ) ( ) ( )       d dX e j j d dX e DTFT nx n j j ( ) ( ) ( ) ( ) = − 即 =   ) ( ) ( : ( ) 2    d jdX e d d j DTFT n x n j =  同理 2 2 ( )   d d X e j = − 而 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 x3 n = n x n − nx n + x n 所以  ( ) DTFT x3 n      ( ) ( ) 2 ( ) 2 DTFT x n DTFT n x n DTFT nx n + = − ( ) ( ) 2 ( ) 2 2      j j j X e d dX e j d d X e = − − +

4研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统,该系统不限定为因果、稳定系 统。利用方程的零极点图,试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案 y(n-1)-=y(n)+y(n+1)=x(n) 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY

4.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系 统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。 ( ) ( 1) ( ) 2 5 y(n −1) − y n + y n + = x n

解 对题中给定的差分方程的两边 作Z变换,得: 二-Y(=)-Y(x)+zY(=)=X(=) H(z)= Y(z) 因此 X(z) ∠ 5 (二-2)( 其 零点为 0 极点为 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY

解 : 对题中给定的差分方程的两边 作 Z 变 换，得： ( ) ( ) ( ) 2 5 ( ) 1 z Y z − Y z + zY z = X z − 因此 ( ) ( ) ( ) X z Y z H z = z − + z = − 2 5 1 1 ) 2 1 ( − 2)( − = z z z 其 零点为 z = 0 极点为 z1 = 2 , 2 1 z2 =

因为该系统不限定为因果,稳定系统,所以其收敛域情况有三种,分别如左图所 收敛域情况有: 零极点图一: z<2 零极点图二:2 零极点图三: 2 电磁波信息科学重点实验室步 视熙大学 FUDAN UNIVERSITY

因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所 示。 收敛域情况有： 零极点图一： z  2 零极点图二： 2 2 1  z  零极点图三： 2 1 z 