例5-2设计一个巴特沃斯LPF,J=5HJ=10kHa=3dBa,=20dB 解由给定的参数可以得到所求滤波器的幅度平方函数为 1H2(s2)|2= 1+E2(9/g,)2 P I+E(g/100007) (1)求E 根据式(512),E=√101-1=√10013-1=1 (2)求滤波器的阶数N 101-1 10 0.120 根据式(5-14),N≥ 3.31,取N=4。 2 lgQ./Q 21g 2 (3)求归一化极点Pk (2k+1)丌 根据式(5-19),Pk=ee k=0,1,2,3
1 例5-2 设计一个巴特沃斯LPF， 5kHz f p = 10kHz f s = p = 3dB s = 20dB
(4)写出归一化传输函数H2(P)的表达式 h,()= (p-e!st )(p-e/7)(p j9丌/8 )(p-e j11x/8 1 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1 (5)将H(P)去归一化,得到滤波器传输函数Ha(s)。 10-0丌 H,(s)=H, (p) p=8 (2+7654as+10x2)(s2+184787+1032)
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例5-5利用脉冲响应不变法将檩拟滤波器 s2+3s+2 变换为数字滤波器(z)采样周期T=0.1s 解:模拟滤波器的传输函数 2s+3 十 极点 s2+3s+2s+1s+2 因武,1所求数字滤波器的系统函数为 H(z) 0.1-1 十 0.2-1 e 2
3 例5-5 利用脉冲响应不变法将模拟滤波器 变换为数字滤波器 ，采样周期 。 解：模拟滤波器的传输函数 极点： ， 。 因此，所求数字滤波器的系统函数为 3 2 2 3 ( ) 2 + + + = s s s H s a H(z) T = 0.1s 2 1 1 1 3 2 2 3 ( ) 2 + + + = + + + = s s s s s H s a s1 = −1 s2 = −2 0.1 1 0.2 1 1 1 1 1 ( ) − − − − − + − = e z e z H z
44冲激响应不变法:举例 例49利用冲激响应不变法,把 S+1 H,(S)= s2+5s+6 转换成数字滤波器H(z),其中T=0.1 解:首先把Ha(S)展成部分分式形式 s+ H,(S) s2+5s+6s+3s+2 极点为s1=-3和s2=-2,而且T=0.1,得数字滤波器的系统函数 2 0.1-0.08966z H(z)=T 2T-1 e 2 e 2 1-1.5595z-+0.6065z
4 例4.9 利用冲激响应不变法，把 2 1 5 6 ( ) a s H s s s + = + + 转换成数字滤波器 H(z)，其中 T = 0.1。 解：首先把 Ha (s) 展成部分分式形式： 2 1 2 1 5 6 3 2 ( ) a s H s s s s s + = = − + + + + 极点为 s1 = -3 和 s2 = -2，而且 T = 0.1，得数字滤波器的系统函数： 1 3 2 1 1 1 2 2 1 0 1 0 08966 1 1 1 1 5595 0 6065 . . ( ) . . T T z H z T e z e z z z − − − − − − − − = − = − − − + 4.4 冲激响应不变法：举例
44冲激响应不变法:举例 例4,10利用冲激响应不变法设计一个数字巴特沃思低通 滤波器,通带截止频率750Hz,通带内衰减不大于3dB, 阻带最低频率为1600Hz,阻带内衰减不小于7dB,给定 T=1/4000s。 解:由给定的指标要求,得到模拟滤波器的技术要求为: n=2丌fn=1500兀 4.=3dB ,=2丌∫=3200兀 =7dB 由模拟滤波器设计可得: E=√101-1= 0.1x3 1=1 0.1A3 62丿1g(10wx-1) =0917取整后N=1 2lg2.13 21g
5 例4.10 利用冲激响应不变法设计一个数字巴特沃思低通 滤波器，通带截止频率 750Hz，通带内衰减不大于 3dB， 阻带最低频率为 1600Hz，阻带内衰减不小于 7dB，给定 T =1/4000s。 解：由给定的指标要求，得到模拟滤波器的技术要求为： 4.4 冲激响应不变法：举例 2 1500 3 2 3200 7 p p p s s s f A dB f A dB = = = = = = 由模拟滤波器设计可得： 0 1 0 1 3 0 1 2 0 1 7 10 1 10 1 1 10 1 10 1 0 917 2 2 13 2 . . . . lg lg( ) . lg . lg p s A A s p N = − = − = − − = = 取整后 N=1
44冲激响应不变法:举例 当k=0时,p处于在S平面的左半平面,系统是稳定的。 丌兀(2k+1) = 所以归一化的一阶巴特沃思模拟滤波器传输函数为: H(P (p+1) 最后得1阶巴特沃思模拟滤波器传输函数为: 1500兀 H(s)=H(P)|,=x ai(s-p29,)s+,s+10 k=0 根据冲激响应不变法,把H(s)转换成数字滤波器的传输函数H(z) T 1500兀T H(z=T e z
6 当 k=0 时，pk 处于在 S 平面的左半平面，系统是稳定的。 4.4 冲激响应不变法：举例 2 1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) = k j j j N k N p e e e + + = = − 所以归一化的一阶巴特沃思模拟滤波器传输函数为： 1 1 ( ) ( ) H p p = + 最后得 1 阶巴特沃思模拟滤波器传输函数为： 1 0 1500 1500 ( ) ( ) | p ( ) N p p s N p p k p k H s H p s s s p − = = = = = = + + − 根据冲激响应不变法，把H(s) 转换成数字滤波器的传输函数H(z)： 1 1 1500 1 1500 1 1 1 ( ) i p i p s T T T A T T H z T e z e z e z − − − − − = = = − − −
0.5012 【例】已知模拟滤波器的系统函数HS) s2+0.6449s+0.7079 用脉冲响应不变法将H(5转换成数字滤波器的系统函数H(z) 0.5012 H,(S) j0.3224 j0.3224 s2+0.6449+0.7079s+0.3224+j0.7772s+0.3224-0.772 S1=-(0.3224+j0.7772),S2=-(0.3224-j0.772) H)的极点为51=e47 2,=e S2 H(二) 2e0320.3224sn(0.777270)z-1 1-ez11-ez11-2ze032co(.7727)+et6
【例】已知模拟滤波器的系统函数 ，用脉冲响应不变法将Ha (s)转换成数字滤波器的系统函数H(z) 0.6449 0.7079 0.5012 ( ) 2 + + = s s H s a 0.3224 0.7772 0.3224 0.3224 0.7772 0.3224 0.6449 0.7079 0.5012 ( ) 2 s j j s j j s s H s a + − + + + − = + + = 1 0.3224 0.6449 2 0.3224 1 1 2 1 1 1 2 cos(0.7772 ) 2 0.3224sin( 0.7772 ) 1 1 ( ) 1 2 − − − − − − − − − + − = − + − = z e T e z e T z e z A e z A H z T T s T s T (0.3224 0.7772) , (0.3224 0.7772) 1 2 s = − + j s = − − j H(z)的极点为 s T s T z e z e 1 2 1 2 = , =
45双线性变换法:举例 例412利用双线性变换,把 S+1 H(s)=-2 +5s+6 转换成数字滤波器H(z),其中T=1 解 H(z)=H,(S 21-z +1 3+2x-z 20+4z +52 +6 1+z 0.15+0.1x1-0.05z 1+0.2z
8 2 1 5 6 ( ) a s H s s s + = + + 转换成数字滤波器 H(z)，其中 T = 1 例4.12 利用双线性变换，把 解: 4.5 双线性变换法：举例 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 3 2 20 4 1 1 2 5 2 6 1 1 0 15 0 1 0 05 1 0 2 ( ) ( ) | . . . . z s T z H z H s a z z z z z z z z z z z z − − − − − − − − − − − − − − − = + = − + + + − = = − − + + + + + + − = +