数字信号处理复习要点 数字信号处理主要包括如下几个部分 1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 数字滤波器的设计 、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 1、离散时间信号 1)离散时间信号。时间是离散变量的信号,即独立变量时间被量化了。信 号的幅值可以是连续数值,也可以是离散数值。 2)数字信号。时间和幅值都离散化的信号。 (本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理) 3)离散时间信号可用序列来描述 4)序列的卷积和(线性卷积) y(n)=2x(m)h(n-m)=x(n)*h(n) 5)几种常用序列 单位抽序列(也单位冲数序列)01:0 b)单位阶跃序列l(n),l(m)= n< 00 0)矩形序列,R(m)=0mN-1 d)实指数序列,x(n)=a"l(mn) 6)序列的周期性 所有n存在一个最小的正整数N,满足:x(n)=x(n+N),则称序列x(n)是周 期序列,周期为N。(注意:按此定义,模拟信号是周期信号,采用后的离散信 号未必是周期的) 7)时域抽样定理: 个限带模拟信号x(),若其频谱的最髙频率为F,对它进行等间隔抽样 而得x(m),抽样周期为T,或抽样频率为F,=1/T 只有在抽样频率F≥2F时,才可由x(1)准确恢复x(m)
数字信号处理复习要点 数字信号处理主要包括如下几个部分 1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 3、数字滤波器的设计 一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 1、离散时间信号： 1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信 号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。 2）数字信号。时间和幅值都离散化的信号。 （本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理） 3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积） =− = − = m y(n) x(m)h(n m) x(n) * h(n) 5）几种常用序列 a)单位抽样序列（也称单位冲激序列） (n) , = = 0, 0 1, 0 ( ) n n n b)单位阶跃序列 u(n) , = 0, 0 1, 0 ( ) n n u n c)矩形序列， = − = n 其它 n N RN n 0, 1, 0 1 ( ) d)实指数序列, x(n) a u(n) n = 6）序列的周期性 所有 n 存在一个最小的正整数 N ,满足： x(n) = x(n + N) ,则称序列 x(n) 是周 期序列，周期为 N 。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信 号未必是周期的) 7）时域抽样定理： 一个限带模拟信号 ( ) a x t ，若其频谱的最高频率为 F0 ，对它进行等间隔抽样 而得 x n( ) ，抽样周期为 T，或抽样频率为 1/ F T s = ； 只有在抽样频率 0 2 F F s 时，才可由 ( ) a x t 准确恢复 x n( )
2、离散时间信号的频域表示(信号的傅立叶变换) X(o)=2x(n)e - m, X((o+2)=X(jo) x(n)= X(o)/ do 3、序列的Z变换 x(-)=2{x(m=∑x(m)-n 1)Z变换与傅立叶变换的关系,X(m)=X(二) 2)Z变换的收敛域 收敛区域要依据序列的性质而定。同时,也只有Z变换的收敛区域确定之后, 才能由Z变换唯一地确定序列。 一般来来说,序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域:R-Rx- 0 其它 左序列:x(n) x(n)-∞0时:0≤|2<Rx+;N2≤0时:0<12<Rx+) 双边序列:x(m),-<n<∞,R-4-kR2 常用序列的Z变换 Z[B(m)]=1|=20 Zu(m)]=,=|1 z[a"u(n)]= 1-a=-||a z1b+mn-1)-=1-b-4b
2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换） =− − = n j n X j x n e ( ) ( ) ， X j X j ( ( 2 )) ( ) + = x n X j e d j n − = ( ) 2 1 ( ) 3、序列的 Z 变换 =− − = = n n X (z) Z[x(n)] x(n)z 1）Z 变换与傅立叶变换的关系， j z e X j X z = ( ) = ( ) 2）Z 变换的收敛域 收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有 Z 变换的收敛区域确定之后， 才能由 Z 变换唯一地确定序列。 一般来来说，序列的 Z 变换的收敛域在 Z 平面上的一环状区域： x− Rx+ R | z | 3）有限长序列： = 0 其它 n N1 n N2 x x n ( ) ( ) ，0 | z | 右序列： 1 ( ) ( ) 0 x n N n x n = 其它 ，|Z|>Rx- 左序列： 2 ( ) ( ) 0 x n n N x n − = 其它 ， （|z|0 时：0≤|Z|< Rx+；N 2≤0 时： 0<|Z|< Rx+） 双边序列： x n n ( ),− ， x− Rx+ R | z | 常用序列的 Z 变换： 1 1 1 [ ( )] 1,| | 0 1 [ ( )] ,| | 1 1 1 [ ( )] ,| | | | 1 1 [ ( 1)] ,| | | | 1 n n Z n z Z u n z z Z a u n z a az Z b u n z b bz − − − = = − = − − − = −
逆变换 X)79X()-hx,C:收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 1)留数定理:x(m)=∑[X()在C内极点留数之和 外极点留数之和 3)利用部分分式展开:X()=21-a=-,然后利用定义域及常用序列的 Z变换求解。 4、离散时间系统: TLx(n]=y(n) 系统函数:H(1D)Y(m) o)h()=1e X(二) 冲激响应:h(n)=T6(m) 5、线性系统:满足叠加原理的系统。Tax(m)+bvn)=aT[x(m)]+b7[y(m) 6、移不变系统:若T[x(m)=Y(n),则Tx(n-k)=Y(n-k) 7、线性移不变系统 可由冲激响应来描述(系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积) y(n)=x(n)*h(n),Y(o)=X(jo)H(o),Y(=)=X(=)H(=) 8、系统的频率特性可由其零点及极点确定 (1-:2)(-) A ∏(1-x=)∏(c (式中,z是极点,z是零点;在极点处,序列x(n)的Z变换是不收敛的,因此 收敛区域内不应包括极点。)
逆变换 1 1 ( ) ( ) 2 n c x n X z z dz j − = x，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 1）留数定理： 1 ( ) [ ( ) C ] n x n X z z − = 在 内极点留数之和 2）留数辅助定理： 1 ( ) [ ( ) C ] n x n X z z − = − 在 外极点留数之和 3）利用部分分式展开： 1 ( ) 1 k k A X z a z − = − ，然后利用定义域及常用序列的 Z 变换求解。 4、离散时间系统： T x n y n [ ( )] ( ) = 系统函数： ( ) ( ) ( ) Y j H j X j = ， ( ) ( ) ( ) Y z H z X z = 冲激响应： h n T n ( ) [ ( )] = 5、线性系统：满足叠加原理的系统。 T ax n by n aT x n bT y n [ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )] + = + 6、移不变系统：若 T x n Y n [ ( )] ( ) = ，则 T x n k Y n k [ ( )] ( ) − = − 7、线性移不变系统 可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积） y n x n h n ( ) ( ) * ( ) = ，Y j X j H j ( ) ( ) ( ) = ，Y z X z H z ( ) ( ) ( ) = 8、系统的频率特性可由其零点及极点确定 = − = − = − = − = − = − − − = − − = = N k N k M i M i N k k M i i N k k k M i i i z z z z z z A z z z z A a z b z X z 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列 x(n)的 Z 变换是不收敛的，因此 收敛区域内不应包括极点。）
9、稳定系统:有界的输入产生的输出也有界的系统,即:若|x(n)kRx 11、稳定因果系统:同时满足上述两个条件的系统 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件:∑|M(n)k∞,hm)=0,n<0 或:H(z)的极点在单位园内 H(z)的收敛域满足:|=卜R_,R<1 12、差分方程 线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示(差分方程的初始条件应满足 松弛条件) ay(n-k)=∑bx 13、差分方程的解法 1)直接法:递推法 2)经典法 3)由Z变换求解
9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若 | ( ) | x n ，则 | ( ) | y n 线性移不变系统是稳定系统的充要条件： | ( ) | n h n =− 或：其系统函数 H(z)的收敛域包含单位园 |z|=1 10、 因果系统： 0 n 时刻的输出 0 y n( ) 只由 0 n 时刻之前的输入 0 x n n n ( ), 决定 线性移不变系统是因果系统的充要条件： h n n ( ) 0, 0 = 或：其系统函数 H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx 11、 稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件： | ( ) | n h n =− ，h n n ( ) 0, 0 = 或：H(z)的极点在单位园内 H(z)的收敛域满足： | | , 1 x x z R R − − 12、 差分方程 线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足 松弛条件） a y(n k ) b x(n i) M i i N k k − = − =0 =0 13、 差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法 3）由 Z 变换求解
离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列的离散傅立叶级数(DFS) X(k)=DSn(m)=∑x(m)e=∑x,(n)H如 x()DSX(k态x( Xp(k)W 其中:WN=e-/2xN 2、有限长序列的离散傅立叶变换DFT) N-1 X(k)=DF[x(m)={DFSx(n>)R(k)=∑x(n),0≤k≤N-1 (n)=DF[X(k)={DFS[X()R、(m)=∑X(k)Wx,0≤n≤N-1 应当注意,虽然x(n)和X(k)都是长度为N得有限长序列,但他们分别是由周期 序列xn(m)和Xn(k)截取其主周期得到的,本质上是做DFS或IDFS,所以不能忘 记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。 3、离散傅立叶变换与Z变换的关系 X(k)=X(o)|2x=X(=) 4、频域抽样定理 对有限长序列x(m)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样,抽样点数为N, 或抽样间隔为2r/N,当N≥M时,才可由X(k)不失真恢复X(jo) 内插公式:X(z) X() 5、周期卷积、循环卷积 周期卷积:xn(n)=∑xn(m)x2(n-m) 循环卷积:x1(n)=x()③x(n)=xn(n)R(m)=2x1m)1(x-m)k(m)
二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS） X (k) DFS[x (n)] p = p 1 2 0 ( ) N j kn N p n x n e − − = = 1 0 ( ) N kn p N n x n W − = = ( ) [ ( )] p p x n IDFS X k = ( ) 2 1 1 N j kn N P K O X k e N − = = ( ) 1 1 N kn P N K O X k W N − − = = 其中： WN = j N e − 2 / 2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT) X (k) = DFT[x(n)] { [ ( )]} ( ) = DFS x n R k N N 1 0 ( ) N kn N n x n W − = = ，0≤ k ≤ N −1 x n IDFT X k ( ) [ ( )] = { [ ( )]} ( ) N N = IDFS X k R n 1 0 1 ( ) N kn N k X k W N − − = = ，0≤n≤ N −1 应当注意，虽然 x(n) 和 X k( ) 都是长度为 N 得有限长序列，但他们分别是由周期 序列 x (n) p 和 X (k) p 截取其主周期得到的，本质上是做 DFS 或 IDFS，所以不能忘 记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。 3、离散傅立叶变换与 Z 变换的关系 ( ) ( ) | ( ) | 2 2 j k k N N z e X k X j X z = = = = 4、频域抽样定理 对有限长序列 x(n)的 Z 变换 X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为 N， 或抽样间隔为 2 / N ，当 N≥M 时，才可由 X(k)不失真恢复 X j ( ) 。 内插公式： 1 1 0 1 ( ) ( ) 1 N N k k N z X k X z N W z − − − − = − = − 5、周期卷积、循环卷积 周期卷积： 1 3 1 2 0 ( ) ( ) ( ) N p p p m x n x m x n m − = = − 循环卷积： 3 1 x n x n ( ) ( ) = 2 x n( ) 1 3 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N p N p p N m x n R n x m x n m R n − = = = −
6、用周期(周期)卷积计算有限长序列的线性卷积 对周期要求:N≥M1+N2-1(N1、N2分别为两个序列的长度) 7、基2FFT算法 1)数据要求:N 2)计算效率(乘法运算次数:NM,加法计算次数:M)(复数运算) (DFT运算:乘法运算次数:N2,加法计算次数:N2)(复数运算) 8、快速卷积(采用FT计算) 9、分辨率
6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积 对周期要求： N N N + − 1 2 1 （N1、N2 分别为两个序列的长度） 7、基 2 FFT 算法 1）数据要求： 2 M N = 2）计算效率（乘法运算次数： 1 2 NM ，加法计算次数：NM ）（复数运算） （DFT 运算：乘法运算次数： 2 N ，加法计算次数： 2 N ）（复数运算） 8、快速卷积（采用 FFT 计算） 9、分辨率
三、数字滤波器的设计 (一)FIR滤波器的设计 1、特点:可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高 2、实现线性相位的条件 (1)h(n)为实数 (2)h(n)=h(N-1-n) 做一般意义下的FIR滤波器,N是偶数,不适合做高通滤波器 或h(n)=hN-1-n)对称中心:(N-1)/2 适于做希尔伯特变换器,微分器和正交网络。 3、主要设计方法 1)窗函数法 2)频率抽样设计 频率抽样内插公式设计。 特点: 频率特性可直接控制 若滤波器是窄带的,则能够简化系统 若无过渡带样本,则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本,采用过渡带的 自由变量法,通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性,但是会导致过渡 带宽度加大,改进办法是增加抽样点数 抽样点的获得采取两种办法:I型抽样及II型抽样。 若要满足线性相位特性,则相位要满足一定要求。 (二)IIR滤波器的设计 1、特点 阶数少、运算次数及存储单元都较少 适合应用于要求相位特性不严格的场合 有现成的模拟滤波器可以利用,设计方法比较成熟 是递归系统,存在稳定性问题。 2、主要设计方法 先设计模拟滤波器,然后转换成数字滤波器。 设计过程: 1)先设计模拟低通滤波器H。(s): butterworth滤波器设计法等,有封闭公 式利用 2)将模拟原型滤波器变换成数字滤波器 (1)模拟低通原型先转换成数字低通原型,然后再用变量代换变换成所需的
三、 数字滤波器的设计 （一）FIR 滤波器的设计 1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高 2、实现线性相位的条件 （1）h(n)为实数 （2）h(n)=h(N-1-n) 做一般意义下的 FIR 滤波器，N 是偶数，不适合做高通滤波器 或 h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：(N-1)/2 适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。 3、主要设计方法 1）窗函数法 2）频率抽样设计 频率抽样内插公式设计。 特点： 频率特性可直接控制。 若滤波器是窄带的，则能够简化系统 若无过渡带样本，则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的 自由变量法，通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡 带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。 抽样点的获得采取两种办法：I 型抽样及 II 型抽样。 若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求。 （二）IIR 滤波器的设计 1、特点 • 阶数少、运算次数及存储单元都较少 • 适合应用于要求相位特性不严格的场合。 • 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。 • 是递归系统，存在稳定性问题。 2、主要设计方法 先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。 设计过程： 1）先设计模拟低通滤波器 ( ) H s a ：butterworth 滤波器设计法等，有封闭公 式利用 2）将模拟原型滤波器变换成数字滤波器 （1） 模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的
数字滤波器 模拟低通原型先转换成数字低通原型:Hn(s)→H(=),主要有冲激不变法、 阶跃不奕法、双线性变换法等。 ●将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器 H()→HD(2),x=G(z) (2)由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器,然后再把它转换成数字滤波器 ●将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器 H(s)=H(sI),s=F(SD) 模拟滤波器转换成数字数字滤波器:H。(s)→H(=),主要有冲激不变 法、阶跃不奕法、双线性变换法等 (3)由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器 直接建立变换公式:H(s)→HD(=),s=G(=-) 3、模拟数字转换法 (1)冲激不变法 H()=2([H(s)Jlenr) 单阶极点情况 H()=∑,,4=A,P Pk 不奕法和阶跃不奕法的特点 ~不迺合高通或带阻数宁滤波器的设计 (3)双线性变换法s=C 常数C的计算:1)C=9。cot()2)C=2/T 特点:
数字滤波器； ⚫ 模拟低通原型先转换成数字低通原型： ( ) ( ) H s H z aL L ，主要有冲激不变法、 阶跃不变法、双线性变换法等。 ⚫ 将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器。 ( ) ( ) H z H Z L D ， 1 1 z G Z( ) − − = （2） 由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器； ⚫ 将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。 ( ) ( 1) H s H S aL aD ， s F S = ( 1) ⚫ 模拟滤波器转换成数字数字滤波器： ( ) ( ) H s H z aD D ，主要有冲激不变 法、阶跃不变法、双线性变换法等 （3） 由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器 直接建立变换公式： ( ) ( ) H s H z aL D ， 1 s G z( ) − = 3、模拟数字转换法 （1）冲激不变法 1 ( ) [ ( )] | H z Z L H s a t nT − = = 单阶极点情况 ' 1 ( ) N k a k k A H s = s s = − 1 1 ( ) 1 N k k k A H z p z − = = − ， ' A A k k = ， k s T k p e = （2）阶跃不变法 1 1 ( ) [ ( ) / ] | a t nT z H z Z L H s s z − = − = 冲激不变法和阶跃不变法的特点： • 有混叠失真 • 只适于限带滤波器 • 不适合高通或带阻数字滤波器的设计 （3）双线性变换法 1 1 1 1 z s C z − − − = + 常数 C 的计算：1） cot( ) 2 c C c = 2）C=2/T 特点：
(i)稳定性不变 (i)无混叠 (i)频率非线性变换,会产生畸变,设计时,频率要做预畸变处理 4、直接法设计IIR数字滤波器 z平面的简单零极点法 (三)滤波器的网络结构 按照IIR系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、级联型、并联型。 按照FIR系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、级联型、频率采样结构
(i) 稳定性不变 （ii）无混叠 （iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理 4、直接法设计 IIR 数字滤波器 • z 平面的简单零极点法 （三）滤波器的网络结构 按照 IIR 系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、 级联型、 并联型。 按照 FIR 系统的系统函数或者差分方程画出其直接型、 级联型、频率采样结构