第四章习题 1.N=16时,画出基2时间抽取的FFT流图 X(2 x12 X3] 0 ] 4 如一 X[8] x9) X[LO x[13] +o X[ll] x(3 X12] x —04 →。15 2.设有一个离散信号x(n)=[2,-1,1,1] (1)直接计算4点DFT (2)利用基2频率抽选信号流图,计算X[k]=DFT{x(n)}与DFTX[k]}, 并在每个节点上标注每一级计算结果 解: (1)由DFT的定义有: x(k)=∑x(nW 而W4=eN=e-2 H W4=jW4=W。=1
第四章习题 1. N=16 时，画出基 2 时间抽取的 FFT 流图 2.设有一个离散信号 x(n)=[2,-1,1,1] (1) 直接计算 4 点 DFT (2) 利用基2 频率抽选信号流图，计算X[k]=DFT{x(n)}与 DFT{X* [k]}, 并在每个节点上标注每一级计算结果
X(0)=∑x(m川4 (n)=x(0)+x(1)+x(2)+x(3)=2-1+1+1=3 X(1)=∑x(m形4=∑xny-n)=2+j-1+j=1+2j x(2)=∑x(n)=∑x(n)(-1)=2+1+1-1=3 X(3)=∑xn)=∑x(n))=2-1-1-j=1-2j 故X(k)=[3,1+2j,3,1-2j 3.已经Xk]={10,-2-2j,2,-2+2j},利用基2FFT算法流图计算x(n) 例:已知Xm]={10,-2-2j,-2,-2+2j} 利用基2FFT算法流图计算闪 X[m]={0-2-2,-2,-2+2j} 8 x[0 X0] 2-2j x[1] x2] w A2…···…·相 2+2x[3]● ·X13]16 x[k]=DFT{X[m]}={1,2,3,4} 4 s人墨 4.设x(n)是长度为2N的有限长实序列,(k)为x(m)的2N点DFT (1)试设计用一次M点FFT完成计算X(A)的高效算法。 (2)若已知K(k),试设计用一次N点IFFT实现求K(k)的2N点IDFT 运算
3.已经 X[k]={10,-2-2j,-2,-2+2j}，利用基 2FFT 算法流图计算 x(n) 4.设 x(n)是长度为 2N 的有限长实序列， X(k)为 x(n)的 2N 点 DFT。 (1) 试设计用一次 N 点 FFT 完成计算 X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，试设计用一次 N 点 IFFT 实现求X(k)的 2N 点 IDFT 运算
解:本题的解题思路就是DⅠI-FFT思想。 (1)在时域分别抽取偶数和奇数点x(m),得到两个N点 实序列x(n)和x2(m) (m)=x(2n) n=0,1,…,-1 (n)=x(2n+1)n=0,1,,N-1 根据DIFT的思想,只要求得x1(m)和x2(n)的N点DFT 再经过简单的一级蝶形运算就可得到x(n)的2N点DFT。因为 x1(m)和x2(m)均为实序列,所以根据DFT的共轭对称性,可用 一次N点FT求得X1(k)和x2(k)。具体方法如下: yn)=x1(n)+ⅸx2(n) YK)=DFT[y(m)]k=0,1,…,N-1 =F0(k)=[(k)+Y(N-k Lr, (R)=DFTLjx, (n)]=I(k)==[Y(k)-Y(N-k)] 2N点DFT[x(n)]=X(k)可由X1(k)和X2(k)得到 I(k)=x1(k)+212(k) x(k+N)=x1(k)-2x2(k) 这样,通过一次N点IFT计算就完成了计算2N点DFT 当然还要进行由Y(k)求H1(k)、2(k)和Y(k)的运算(运算量相对 很少)。 (2)与(1)相同,设 x1(n)=x(2 1,…,N x1(k)=DFT[x(m)]k=0.1,…,N-1 X2(k)=DFT[x2(m)]k=0,1,…,N-1 则应满足关系式 (k)=1(k)+数I2(k) k=0,1,…,N-1 (k+N)=X1(k)-2xX2(k)
由上式可解出 21(k)=[X(k)+X(k+N) k=0,1,2,…,N-1 2(k)==[X(k)+X(k+N)2x 由以上分析可得出运算过程如下 ①由X(k)计算出X(k)和×2(k) xX1(k)==[X(k)+X(k+N) x2(k)=[(k)+(k+N)2x ②由X1(k)和X2(k)构成N点频域序列Yk) Y(k)=×1(k)+×2(k)=Yep(k)+Yop(k) 其中,Y()=X(,Yp()=(,进行N点FFT,得到 y(n)=IFFT [Y(k)] =Re [yn)]+j Im [y(n)] n=0, 1,,N-1 由DFT的共轭对称性知 Rely(n]=Ly(n)+y(n)]=DFT[Ye (k)]=x(n) jIm[v(n)]=Ly(n)+y(n)=DFTIY(h)=jx2(n) ③由x1(n)和x2(m)合成x(n) n=偶数 x(n) 17 =奇数 在编程序实现时,只要将存放x1(m)和x2(m)的两个数组的元素分别依次放入存 放x(n)的数组的偶数和奇数数组元素中即可
第七章滤波器的网络结构 4(二+1)(二2-14=+1) 1.用级联型结构实现以下系统函数H(=)=(=-03x2+092+08) 试问一共能构成几种级联型网络 分析:用二阶基本节的级联来表达(某些节可能是一阶的)。 解:H(z)=A 1+Bu=+B2k= kI-aik2-a2k2 4(1+z-)(1-1.4 (1-0.5-)(1+0.9+082-) ∴A=4 B1=1 B21=0, B12=-1 11 =0.5 c12=-0.9,a2=-0.8 x(n)4 y(n) x(n)4 y(n) 0.9-1.4 0.5 0.81
第七章 滤波器的网络结构 1. 用级联型结构实现以下系统函数 2 2 4( 1)( 1.4 1) ( ) ( 0.5)( 0.9 0.8) z z z H z z z z + − + = − + + 试问一共能构成几种级联型网络。 分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。 解： − − − − − − + + = k k k k k z z z z H z A 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( ) (1 0.5 )(1 0.9 0.8 ) 4(1 )(1 1.4 ) 1 1 2 1 1 2 − − − − − − − + + + − + = z z z z z z ∴ A= 4 0.5 , 0 , 0.9 , 0.8 1, 0 , 1.4 , 1 11 21 12 22 11 21 12 22 = = = − = − = = = − =
x(n)4 y(n) z z 0.8 x(n)4 y(n) 0.91 05-1.4 由此可得:采用二阶节实现,还考虑分子分母组合成二阶(一阶)基本节的方式, 则有四种实现形式。 2.给出以下系统函数的并联型实现。 H(x)52+1.581+1.4-2-1.6x-3 (1-051+0.9-1+08 分析:注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的,这是因为系统函数化为部分 分式之和,分子的=的最高阶数比分母z-的最高阶数要低一阶,如果分子、分母多项式 的〓的最高阶数相同,则必然会分解出一个常数项的相加(并联)因子 解:对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得: H(2)=52+158-+1412-1623 (1-0.5-)(1+09-+0.82-) 0.2 1+0.3 1-0.5-1+0.91+0.8-2 a1=0.5,a21=0,a2=-0.9,a2=-0.8
由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式， 则有四种实现形式。 2. 给出以下系统函数的并联型实现。 (1 0.5 )(1 0.9 0.8 ) 5.2 1.58 1.41 1.6 ( ) 1 1 2 1 2 3 − − − − − − − + + + + − = z z z z z z H z 分析：注意并联的基本二阶节和级联的基本二阶节是不一样的，这是因为系统函数化为部分 分式之和，分子的 −1 z 的最高阶数比分母 −1 z 的最高阶数要低一阶，如果分子、分母多项式 的 −1 z 的最高阶数相同，则必然会分解出一个常数项的相加（并联）因子。 解：对此系统函数进行因式分解并展成部分分式得： (1 0.5 )(1 0.9 0.8 ) 5.2 1.58 1.41 1.6 ( ) 1 1 2 1 2 3 − − − − − − − + + + + − = z z z z z z H z 1 2 1 1 1 0.9 0.8 1 0.3 1 0.5 0.2 4 − − − − + + + + − = + z z z z G0 = 4 11 = 0.5, 21 = 0 ， 0.9 , 0.8 12 = − 22 = −
o1=0.2,y1=0 y ,y12=0.3 X(n) y(n 0.5 3.已知FR滤波器的单位冲击响应为 h(n)=(m)+0.36(n-1)+0.725(m-2 +0.116(n-3)+0.128(n-4) 试画出其级联型结构实现。 分析:级联型是用二阶节的因式乘积表示 解: 根据H()=∑h(n)得 H(=)=1+0.3x+0.72=2 +0.11-3+0.12x-4 =(1+0.2-+0.3x2) ×(1+0.1=+042) 而FR级联型结构的模型公式为: H()=I(k+Bk=+B2k=2) 对照上式可得此题的参数为: B01=1,Ba2=1, B1=0.2,B2=0.1 B21=0.3,B2=0.4
01 = 0.2 , 11 = 0 ， 02 =1 , 12 = 0.3 3. 已知 FIR 滤波器的单位冲击响应为 0.11 ( 3) 0.12 ( 4) ( ) ( ) 0.3 ( 1) 0.72 ( 2) + − + − = + − + − n n h n n n n 试画出其级联型结构实现。 分析：级联型是用二阶节的因式乘积表示。 解： 根据 − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z 得： 3 4 1 2 0.11 0.12 ( ) 1 0.3 0.72 − − − − + + = + + z z H z z z (1 0.1 0.4 ) (1 0.2 0.3 ) 1 2 1 2 − − − − + + = + + z z z z 而 FIR 级联型结构的模型公式为： = − − = + + 2 1 2 2 1 0 1 ( ) ( ) N k k k k H z z z 对照上式可得此题的参数为： 1 , 1, 01 = 02 = 11 = 0.2 , 12 = 0.1 21 = 0.3 , 22 = 0.4
x(n) y(n) 0.2 4.设某FR数字滤波器的系统函数为:H(z)=(1+3x-1+52+3x-3+4) 试画出此滤波器的线性相位结构 分析:FIR线性相位滤波器满足h(n)=±h(N-1-n),即对n=(N-1)/2呈现偶对 称或奇对称,因而可简化结构。 解:由题中所给条件可知 h(m)==d(m)+=(n-1)+(n-2) 则h(0)=h(4)==02 h(1)=h(3) 0.6 h(2)=1 即h(n)偶对称,对称中心在n= N-1 处,N为奇数(N=5) x(n) 1 0.2 0.6
4. 设某 FIR 数字滤波器的系统函数为： 1 1 2 3 4 ( ) (1 3 5 3 ) 5 H z z z z z − − − − = + + + + 试画出此滤波器的线性相位结构 分析：FIR 线性相位滤波器满足 h(n) = h(N −1−n) ，即对 n = (N −1)/2 呈现偶对 称或奇对称，因而可简化结构。 解：由题中所给条件可知： ( 4) 5 1 ( 3) 5 3 ( 1) ( 2) 5 3 ( ) 5 1 ( ) + − + − = + − + − n n h n n n n 处， 为奇数 。 即 偶对称，对称中心在 则 ( 5) 2 2 1 ( ) (2) 1 0.6 5 3 (1) (3) 0.2 5 1 (0) (4) = = − = = = = = = = = N N N h n n h h h h h
y(n)=x(mn)+x(n-1)+y(n-1)+y(n-2) 5.设滤波器差分方程为: (1)试用直接型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程 (2)求系统的频率响应(幅度及相位)。 (3)设抽样频率为10kHz,输入正弦波幅度为5,频率为1kHz,试求稳态输出 分析:(1)此题分子x-的阶次低于分母z-的阶次,故一阶节的并联结构没有常数项 (2)由H(=)→H(e),且要用模和相角表示, H(e)=H(ejo arglH(e)I (3)正弦输入x(1)情况下要先化成x(n)=x()-m输出信号幅度等于输入信号 幅度与H(e)的乘积频率即为输入的数字频率ao,相角为输入相角加 上系统频率响应在0处的相角arg{H(eo) 解 直接I型 X(n 直接I型 z x(n) (n) 级联型 .y(n) 并联型 (1)直接I型及直接Il:
5. 设滤波器差分方程为： ( 2) 4 1 ( 1) 3 1 y(n) = x(n) + x(n −1) + y n − + y n − ⑴试用直接 I 型、典范型及一阶节的级联型、一阶节的并联型结构实现此差分方 程。 ⑵求系统的频率响应（幅度及相位）。 ⑶设抽样频率为 10kHz，输入正弦波幅度为 5，频率为 1kHz，试求稳态输出。 分析： (1)此题分子 −1 z 的阶次低于分母 −1 z 的阶次，故一阶节的并联结构没有常数项 arg[ ( )] ( ) ( ) (2) ( ) ( ) j j j j H e j H e H e e H z H e = 由 ，且要用模和相角表示， arg[ ( )] ( ) (3) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 j H e H e x t x n x t j t n T 上系统频率响应在 处的相角 幅度与 的乘积，频率即为输入的数字频率 ，相角为输入相角加 正弦输入 情况下要先化成 = = 输出信号幅度等于输入信号 解： (1)直接Ⅰ型及直接Ⅱ：
根据y(m)=∑ay(-k)+∑bx(m-k)可得 b=1,b1=1 一阶节级联型: 1+ H(二) 1+z 1+√10 1-√10 )(1 6 6 (1-07z)1+0.36x-) 阶节并联型 1+z H(二) 1+√10 (1 6 0 √10 1+√10 √10 1.6 0.6 1-0.7-1+0.36z (2)由题意可知(z) 1+二 1+e 4 1+ CoS o coS2O+川-sn+-sn2 幅度为:
根据 = = = − + − N k M k k k y n a y n k b x n k 1 0 ( ) ( ) ( ) 可得： 4 1 , 3 1 a1 = a2 = ； b0 =1, b1 =1 一阶节级联型： ) 6 1 10 )(1 6 1 10 (1 1 4 1 3 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 2 1 − − − − − − − − + − + = − − + = z z z z z z H z (1 0.7 )(1 0.36 ) 1 1 1 1 − − − − + + = z z z 一阶节并联型： ) 6 1 10 )(1 6 1 10 (1 1 ( ) 1 1 1 − − − − − + − + = z z z H z 1 1 6 1 10 1 10 20 7 2 1 6 1 10 1 10 20 7 2 1 − − − − − + + − + = z z 1 1 1 0.36 0.6 1 0.7 1.6 − − + − − = z z (2)由题意可知 1 2 1 4 1 3 1 1 1 ( ) − − − − − + = z z z H z = − − + = − − − j j j j e e e H e 2 4 1 3 1 1 1 ( ) − − + + + − sin 2 4 1 sin 3 1 cos 2 4 1 cos 3 1 1 (1 cos ) sin j j 幅度为： ( ) = j H e
