第一章 1.已知线性移不变系统的输入为x(m),系统的单位抽样响应 为h(n)试求系统的输出yn),并画图 (1)x(m)=d(m) h(n)=R3( (2)x(n)=R3(n) ,h(m)=R4(m) (3)x(n)=6(n-2) h(n)=0.5”R3(n) (4)x(m)=2"u(-n-1),h(n)=0.5u(m) 分析: ①如果是因果序列y(n)可表示成y(m)={y(0),y(1),y(2)……},例如小题 (2)为y(n)={1,2,3,3,2,1} @28(n)*x(n)=x(n), S(n-m)*x(n)=x(n-m) ③卷积和求解时,n的分段处理 解:()y(m)=x(m)*h(m)=R5(m) (2)y(n)=x(m)*h(n)={1,2,3,3,2,1} (3)y(m)=O(n-2)*0.5R(n)=0.5”2R3(m-2) (4)x(n)=2"l(-n-1)h(n)=0.5u(n) 当n20y(mn)=∑0.5m2m=·2n 当n≤-1y(m)=∑0.5 4 2.已知h(n)=a"(-n-1),0<a<1,通过直接计算卷积和的办法,试确 定单位抽样响应为h(m)的线性移不变系统的阶跃响应。 解 h(n)=a"lu(-n-1),0 y(n)=x(n)*h(n) 当n≤-时yn)=∑a-m
第一章 1. 已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应 为 h( n ),试求系统的输出 y( n ),并画图。 (4) ( ) 2 ( 1) , ( ) 0.5 ( ) (3) ( ) ( 2) , ( ) 0.5 ( ) (2) ( ) ( ) , ( ) ( ) (1) ( ) ( ) , ( ) ( ) 3 3 4 5 x n u n h n u n x n n h n R n x n R n h n R n x n n h n R n n n n = − − = = − = = = = = 分析： ①如果是因果序列 y(n) 可表示成 y(n) ={ y(0)， y(1)， y(2) ……}，例如小题 （2）为 y(n) ={1，2，3，3，2，1} ; ② (n)*x(n) = x(n) , (n −m)*x(n) = x(n −m) ; ③卷积和求解时， n 的分段处理。 2. 已知 ( ) = (− −1) , 0 1 − h n a u n a n ，通过直接计算卷积和的办法，试确 定单位抽样响应为 h(n) 的线性移不变系统的阶跃响应。 (1) ( ) ( )* ( ) ( ) 解： y n = x n h n = R5 n (2) y(n) = x(n)*h(n) ={1,2,3,3,2,1} (3) ( ) ( 2)*0.5 ( ) 0.5 ( 2) 3 2 = − 3 = − − y n n R n R n n n (4) x(n) 2 u( n 1) h(n) 0.5 u(n) n n = − − = m n m n m n y n − − =− − = = 2 3 1 0 ( ) 0.5 2 1 当 m n n m n m n y n 2 3 4 −1 ( ) = 0.5 2 = =− 当 − 1 : ( ) ( ) ( ) ( 1) , 0 1 ( ) ( )* ( ) 1 ( ) 1 1 ( ) 1 n n n m m m m x n u n h n a u n a y n x n h n a n y n a a a n y n a a − − − =− − − =− = = − − = − = = − − = = − 解 当 时 当 时
3.判断下列每个序列是否是周期性的若是周期性的试确定其周期: 37 (a)x(n) 13 (b)x(n)=Asin(tn) ( c) x(n)=e 分析: 序列为x(m)=Acos(an+y)或x(m)=Asin(an+v)时,不一定是周期序列, ①当2x/n=整数,则周期为2x/n ②当2x=2,(有理数P、Q为互素的整数)则周期为Q ③当2x/m=无理数,则x(m)不是周期序列 MR:(a)(n)=Acos(3I n-z) 2丌/o。=2丌/ 843 是周期的周期为4 (b)x(n)=Asin(m) 13x=6 (C)只周翔的,周对是86-x)+sm6一) cos n / sin 2丌/ 12 T是无理数 4.试判断是霏斯是否是(1)线性(2)移不变3)因果,(4)稳定的? (1) TIx(n)]=g(n)x(n) (2) T[x(n)]=>x(k) (3)Tx(n)=x(n-n0)(4)T[x(n)=exm) 分析: 注意:T[x(n=g(n)x(n)这一类表达式,若输入移位m,则有x(n)移位变成 x(n-m.而g(n)并不移位,但y(n)移位m则x(n)和g(n)均要移位m
3. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期： ) 6 ( n) ( ) ( ) 3 13 ( ) ( ) sin( ) 7 8 3 ( ) ( ) cos( − = = = − n j b x n A c x n e a x n A n 分析： 序列为 ( ) cos( ) x n = A 0n + 或 ( ) sin( ) x n = A 0n + 时，不一定是周期序列， ①当 2 /0 = 整数，则周期为 0 2 / ； ② 当 ,（有理数 、 为互素的整数）则周期为 ； 2 0 P Q Q Q P = ③当 2 /0 = 无理数 ，则 x(n) 不是周期序列。 是周期的 周期为 。 解： , 14 3 14 7 3 2 / 2 / ) 7 8 3 ( ) ( ) cos( 0 = = = − a x n A n 是周期的，周期是6。 13 6 3 13 2 / 2 / ) 3 13 ( ) ( ) sin( 0 = = = b x n A n 是非周期的。 是无理数 = = − − = = − + − − 2 / 12 6 sin 6 cos ) 6 ) sin( 6 ( ) ( ) cos( 0 ) 6 ( T n j n n j n c x n e n j 4. 试判断以下每一系统是否是(1)线性,(2)移不变,(3)因果，(4)稳定的？ ( ) 0 n k n (3) [ ( )] ( ) (4) [ ( )] (1) [ ( )] ( ) ( ) (2) [ ( )] ( ) 0 x n T x n x n n T x n e T x n g n x n T x n x k = − = = = = 分析： 注意：T [x(n)] = g(n) x(n) 这一类表达式，若输入移位 m,则有 x(n)移位变成 x(n-m),而 g(n)并不移位，但 y（n）移位 m 则 x（n）和 g(n)均要移位 m
解:(1) Tx(n)=g(n)x(n g(lax,(n)+bx2(n) g(m)×ax1(m)+g(m)×bx2(n) =a[x1(n)+b7[x2(m) ∴系统是线性系统 TLx(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 即T[x(n-m)]≠y(n-m) ∵系统不是移不变的。 解:(2 Tx(m)]=∑x(k) Tax, (n)+bx,(n)l ∑[ax1(k)+bx2(k k k=n =aT[x1(n)+b7[x2(n) 系统是线性系统。 7[x(n-m)]=∑x(k-m) k=n-m y(m-m)=∑x(k) 即T[x(n-m)=y(n-m) 系统不是移不变的
[ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 aT x n bT x n g n ax n g n bx n g n ax n bx n T ax n bx n T x n g n x n = + = + = + + = 解： 系统是线性系统。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T x n m g n x n m y n m g n m x n m T x n m y n m − = − − = − − − − 即 系统不是移不变的。 系统是线性系统。 解： = + = + = + + = = = = = [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) (2) 1 2 1 2 1 2 0 1 2 0 0 0 aT x n bT x n ax k bx k ax k bx k T ax n bx n T x n x k n k n n k n n k n n k n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 系统不是移不变的。 即 − − − = = − = − − = − = − = T x n m y n m y n m x k x k T x n m x k m n m k n n m k n m n k n 0 0 0
解:(3) Tlx(n x(n-no Tax,(n)+bx,(n) = ax,(n-no)+bx,(n-no =aT[x1(n)+b7[x2(n) 解:(4) 非线性 Tx(n-m=ex(n-m) y(n-m) 即T[x(Gn-m) y(n-m) 系统是移不变的 5.以下序列是系统的单位抽样响应h(m),试说明系统是否是 (1)因果的、2)稳定的? 2(n) u(n) (4)3"u(-m) )0.3u(n) (6)0.3u(-n-1) (7)d(n+4) 分析 ∑(n)=M<∞ 注意:0!=1,已知LSI系统的单位抽样响应,可用 来判断稳定 性,用h(n)=0,n<0来判断因果性。 (1)当n<O时,h(n)=0, 是因果的 ∑M)-=02+12+…→ 不稳定
0 1 2 1 0 2 0 1 2 (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] T x n x n n T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n = − + = − + − = + 解： 解：(4) 非线性 ( ) ( ) ( ) ( ) 系统是移不变的。 即 = − − − = − = − − y n m T x n m y n m e T x n m e x n m x n m ( ) ( ) 5. 以下序列是系统的单位抽样响应 h(n) ,试说明系统是否是 (1)因果的,(2)稳定的？ (7) ( 4) (5) 0.3 ( ) (6) 0.3 ( 1) (3) 3 ( ) (4) 3 ( ) ( ) ! 1 ( ) (2) 1 (1) 2 + − − − n u n u n u n u n u n n u n n n n n n 分析： 注意：0！=1，已知 LSI 系统的单位抽样响应，可用 = =− h n M n ( ) 来判断稳定 性，用 h（n）=0，n<0 来判断因果性。 不稳定。 是因果的。 当 时 解： = + + = • • • =− , 1 1 0 1 | ( ) | (1) 0 , ( ) 0, 2 2 n h n n h n
(2)当n<O时,h(n)=0 ∴是因果的。 h(m)|=+++ 0! 1+1+ + 2*13*2* <1+1+-+-+-+·=3 稳定 (3)当n<O时,h(m)=0, ∴是因果的 ∑ h(n)|=3°+31+32 不稳定。 (4)当n<O时,h(m)≠0, 是非因果的 h(m)|=3°+3-+3-2+ .稳定 (5)当n<0时,h(n)=0, 系统是因果的。 ∑m)|=03°03+032+… 系统是稳定的 (6)当n<O时,h(m)≠0 ∴系统是非因果的。 ∑ h(n)=0.3-+0.3-2+…→ ∴系统不稳定 (7)当n<O时,h(n)≠0 系统是非因果的。 ∑|h(m) 系统稳定 6.设有一系统其输入输出关系由以下差分方程确定 y(m)-y(n-1)=x(m)+x(n-1) 设系统是因果性的。试求
稳定。 ！ ！ ！ 是因果的。 当 时， + + + + + = = + + + + = + + + = • • • • • • • • • =− 3 8 1 4 1 2 1 1 1 3* 2 *1 1 2 *1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 | ( ) | (2) 0 ( ) 0, n h n n h n 不稳定。 是因果的。 当 时， = + + + = • • • =− 0 1 2 | ( ) | 3 3 3 (3) 0 ( ) 0, n h n n h n 稳定。 是非因果的。 当 时， = + + + = • • • − − =− 2 3 | ( ) | 3 3 3 (4) 0 ( ) 0, 0 1 2 n h n n h n 系统是稳定的。 系统是因果的。 当 时， = + + + = = • • • =− 7 10 | ( )| 0.3 0.3 0.3 (5) 0 ( ) 0, 0 1 2 n h n n h n 系统不稳定。 系统是非因果的。 当 时， = + + • • • − − =− 1 2 | ( )| 0.3 0.3 (6) 0 ( ) 0 n h n n h n 系统稳定。 系统是非因果的。 当 时， = =− | ( ) | 1 (7) 0 ( ) 0 n h n n h n 6. 设有一系统,其输入输出关系由以下差分方程确定 ( 1) 2 1 ( 1) ( ) 2 1 y(n) − y n − = x n + x n − 设系统是因果性的。 试求：
(a)该系统的单位抽样响应: (b)由a)的结果利用卷积和求输入x(m)=elu(m的响应 分析:小题(a)可用迭代法求解 小题(b要特别注意卷积后的结果其存在的n值范围 y(n)-y(n-1)=x(n)+x(n-1) (a)x(n)=d() y(n)=x(n)*h(n) y(n)=h(m)=0 (n<0) h()222(-1)+x(O)+x(-1)=1 2(n-1)+(n)em(n) h(1)=1y(0)+x(1)+1x(0) 1+1=1 ∑(y-emm"(n++-(m h(2)=1y()+x(2)+1x(= h(3)=y(2)+x(3) h(n)=y(n-1)+x(m)+x(n-1) +e u(n) u(n-1+e u(n) n-1)+(m) em-(号)” (n-1)+eo"l(n)
由 的结果 利用卷积和求输入 的响应 。 该系统的单位抽样响应； (b) (a) , ( ) e ( ) (a) j n x n u n = 分析：小题(a)可用迭代法求解 小题(b)要特别注意卷积后的结果其存在的 n 值范围。 2 ) 2 1 (2) ( 2 1 (2) (3) 2 1 (3) 2 1 (1) 2 1 (1) (2) 2 1 (2) 1 2 1 2 1 (0) 2 1 (0) (1) 2 1 (1) ( 1) 1 2 1 ( 1) (0) 2 1 (0) ( ) ( ) 0 ( 0) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( ) = + + = = + + = = + = = + + = − + + − = = = = − − = + − h y x x h y x x h y x x h y x x y n h n n a x n n y n y n x n x n 解： ┇ ( 1) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( 1) 2 1 ( 1) ( ) 2 1 ( ) 1 1 h n u n n h n y n x n x n n n − + = = = − + + − − − ( ) 1 1 ( 1) ( ) 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) * ( ) 1 ( ) ( 1) * ( ) 2 1( ) ( 1) * ( ) ( ) 2 1( ) ( 1) ( ) 2 1 1 1( ) 2 2 2 2 ( 1) 1 1 2 ( ) 1( ) 2 n j n n j n j n n m j n m j n m j n j n j n j j n j n n j b y n x n h n u n n e u n u n e u n e u n e u n e u n e e e u n e e u n e e − − − − = − − + − − − = = − + = − + = − + − = − − + − = ( 1) ( ) 1 1 2 1( ) 2 ( 1) ( ) 1 2 j n j j n n j n j u n e u n e e u n e u n e − − + − − = − + −