通信原理讲义 前言 ■抽样定理 模拟脉冲调制 ■脉冲编码调制(PCM) 第六章模拟信号的数字传输 差分脉冲编码调制(DPCM ■增量调制(DM) 时分复用(TDM) zhuyu@fudan.edu.cn k手 通信原理 61抽样定理— ampling theorem 抽样过程的时域与频域表示 C6.1 ■抽样定理是任何模拟信号数字化的理论基础 口抽样输出信号的时域表达式 m()=∑m(7)6(-n,) 6.1.1低通抽样定理 口对于模拟信号m(),用下列脉冲序列进行抽样 口抽样输出信号的频域表达式 6()=∑6(-mr) M,O)=M()*0)=∑M(-mf) 口该序列的频谱为 口若基带信号带宽为B,抽样频率需要∫>2B 6()=元2(-m,) □ Nyquist rate f,=2B □ Nyquist interval T 2B 通信原理 後照大季 通信原理 後k手哪
通信原理讲义 zhuyu@fudan.edu.cn 第六章 模拟信号的数字传输 通信原理 2 前言 ◼ 抽样定理 ◼ 模拟脉冲调制 ◼ 脉冲编码调制(PCM) ◼ 差分脉冲编码调制(DPCM) ◼ 增量调制(DM) ◼ 时分复用(TDM) 6.1 抽样定理——sampling theorem ◼ 抽样定理是任何模拟信号数字化的理论基础 1 ◼ 6.1.1 低通抽样定理 对于模拟信号 m(t), 用下列脉冲序列进行抽样 T (t )= (t − nTs ) n=− 该序列的频谱为 s n =− T (f ) = T (f − nfs ) 抽样过程的时域与频域表示 Nyquist interval 抽样输出信号的时域表达式 ms (t) = m(nTs ) (t − nTs ) n=− 抽样输出信号的频域表达式 CP 6.1.1 ( ) ( ) ( ) 1 s T T s n =− M f = M f f = M (f − nfs ) 若基带信号带宽为 B, 抽样频率需要 fs 2B Nyquist rate fs = 2B s 2B T = 1 通信原理 3 通信原理 4
抽样定理时域与频域示意图 P6.1.1 信号重建——内插 C6.1.1 ■从一串抽样序列恢复出原始连续时域波形 口从频域上理解,相当子|H() 通过一个低通滤波器 M()=MO)H() o bf LLLLLLLL 口从时间域上理解——内插 ()=m1()+()=(∑m()5(-n)+b( AANAA ∑m(7)h 通信原理 後照k季的 通信原理 种内插重建的方法 cP6.1.1 理想内插时域示意图 C6.1 -N 0 Ixa Axa 通信原理 後照大手 通信原理 後照大季
通信原理 5 抽样定理时域与频域示意图 CP 6.1.1 通信原理 6 信号重建——内插 ◼ 从一串抽样序列恢复出原始连续时域波形 从时间域上理解——内插 CP 6.1.1 H (f ) −B 0 B f Ts 从频域上理解, 相当于 通过一个低通滤波器 M (f )= Ms (f ) H (f ) n =− z(t)= ms (t) h (t) = m (nTs ) (t − nTs ) h (t) = m(nTs )h (t − nTs ) n =− 一种内插重建的方法 CP 6.1.1 理想内插时域示意图 CP 6.1.1 通信原理 7 通信原理 8
理想内插时域表达式 P6.1.1 理想重建在实际系统中的困难 cP6.1.1 h(o=2BT sinc(2B1) where sinc(x sinx ■理想低通滤波器的设计 sinc(2r Bt) assume Nyquist sampling rate 理想低通在实际 m()=m,()*h()=∑m(nr)h(-n) 系统中不能实现 MAAA 2m(nT, )sinc[27B(nT, )1 实际系统中滤波 器阶数为有限长 ∑m(n)inc[2zB-n MA△AA 通信原理 通信原理 後照k季 理想重建在实际系统中的困难 cP6.1.1 61.2带通抽样定理 频谱混叠现象 ■传统的低通抽样结果 口折叠频率p 通信原理 後照大季 通信原理 12 後照k季D
通信原理 9 理想内插时域表达式 CP 6.1.1 s x assume Nyquist sampling rate h (t)= 2BT sinc (2Bt) = sinc(2Bt) where sinc (x) sin x m(t) = ms (t) h (t) = m(nTs )h (t − nTs ) n =− = m(nTs )sinc 2B(t − nTs ) n =− = m(nTs )sinc2Bt − n n =− 通信原理 10 理想重建在实际系统中的困难——1 ◼ 理想低通滤波器的设计 CP 6.1.1 理想低通在实际 系统中不能实现 实际系统中滤波 器阶数为有限长 理想重建在实际系统中的困难——2 ◼ 频谱混叠现象 折叠频率 CP 6.1.1 fs 2 6.1.2 带通抽样定理 ◼ 传统的低通抽样结果 0 f B 0 f fL fH fs = 2 fH 0 fs = 2 fH f 通信原理 11 通信原理 12
带通抽样举例 P6.12 带通抽样频率公式 cP6.1.2 后=3B,=2B ■设信号带宽为B,m为不超过〃/B的一个 最大整数,则最小抽样速率为 =2f 2f8 口当〃B为一整数时,有 f,=2B 口当B不为一整数时,fn=nB+kB(0<k<1) AAAA△ 2fn-2(nB+kB) f 通信原理 通信原理 覆k手哪 62脉冲模拟调制 三种脉冲模拟调制示意图 CP 6.2 脉冲幅度调制 Pulse-amplitude modulation, PAM 脉冲宽度调制 o Pulse-width modulation PDM 脉冲位置调制 a Pulse-position modulation, PPM ⊥ InLL零 通信原理 後照大季 通信原理 後照k季D
通信原理 13 带通抽样举例 0 f fs = 2 fH 0 fs = 2B 2 fH f 0 f B fL fH fH = 3B, fL = 2B CP 6.1.2 6.2脉冲模拟调制 ◼ 脉冲幅度调制 Pulse-amplitude modulation, PAM ◼ 脉冲宽度调制 Pulse-width modulation, PDM ◼ 脉冲位置调制 Pulse-position modulation, PPM 三种脉冲模拟调制示意图 CP 6.2 通信原理 15 通信原理 16
PAM中的实际抽样—自然抽样 CP6.2 PAM中的实际抽样平顶抽样 (t) ()=M()()=1∑M(-n)Q() 引入了频谱失真 通信原理 後照k季的 通信原理 6.3脉冲编码调制(PcM,puse- code modulation PcM三要素 CP6.3.1 631PCM概述 历史 抽样 口1937年由工程师 Alec Reeves发明 量化 口60年代随着晶体管技术的发展,PCM广泛应用 编码 组成 口抽样 量化 编码 lI 後照大季 通信原理 後照k季D
通信原理 17 PAM中的实际抽样——自然抽样 CP 6.2 通信原理 18 CP 6.2 Ts (t) t PAM中的实际抽样——平顶抽样 m(t) ms (t) q (t) mq (t) T t s mq (t) mq (t)= m (nTs )q (t − nTs ) n=− 1 s n=− Mq (f )= Ms (f )Q (f ) = M (f − nfs )Q (f ) T 引入了频谱失真 6.3 脉冲编码调制(PCM, pulse-code modulation) 6.3.1 PCM概述 ◼ 历史 1937年由工程师 Alec Reeres 发明 60年代随着晶体管技术的发展, PCM广泛应用 ◼ 组成 抽样 量化 编码 PCM三要素 ◼ 抽样 ◼ 量化 ◼ 编码 mp −mp CP 6.3.1 A 2 − A 2 通信原理 19 通信原理 20
632量化( quantization)与量化噪声 量化过载噪声与量化不过载噪声 cP6.3.2 ■数学上理解,把一个连续幅度值的无限数集 假设V表示量化器的最大量化电平,当输入 合映射成一个离散幅度值的有限数集合 电平超过(-V,D)时,称为量化器过载 z=g() ■过载噪声功率定义为 [x-]f()d+[+]f()d =…x:日…计元, ■量化器不过载噪声功率 o=∫,[x-Q(了f()d a"=卜-Q6)[x-0丁:()a ■总的量化噪声功率定义为 量化区间个数为L时o=∑∫[x-f()d R=0+g 通信原理 後照k季的 通信原理 量4 化不过载噪声 CP6.3.2 6321均匀量化 ■讨论量化不过载噪声,x1=-V,x1+1=+V ■量化范围(-D内,量化区间间隔数为L, 当L≥1时,可以证明有 则均匀量化器的量化间隔 n=(x+x;)2 A,=A=2 几 k=1,…,L P=P(x<x≤x+1)=fx(x)△ ■不过载噪声 此时,可以推得量化器不过载噪声功率为 P 0=∑∫[x--m ∫x炉=F千“「1x-= 当分层很密,且各层之间量化噪声相互独立假设下, s(-m)(=)1 均匀量化器的不过载噪声功率与信号统计特性无关 而只与量化间隔有关 通信原理 後照大手 通信原理 後照k季D
通信原理 21 6.3.2 量化(quantization)与量化噪声 ◼ 数学上理解,把一个连续幅度值的无限数集 合映射成一个离散幅度值的有限数集合 z = Q (x) z1 x1 = − x2 zk−1 xk xk −1 ( ) ( ) 2 2 qT 2 X f (x)dx − = E x − Q x = x − Q x 2 2 k L x qT k X x f (x) dx k+1 k=1 = x −z 量化区间个数为 L 时 zk zL xk +1 xL xL+1 = + 通信原理 22 量化过载噪声与量化不过载噪声 ◼ 假设 V 表示量化器的最大量化电平, 当输入 电平超过 (-V, V) 时, 称为量化器过载. ◼ 过载噪声功率定义为 ◼ 量化器不过载噪声功率 ◼ 总的量化噪声功率定义为 2 2 2 qO X X −V = x −V f (x) dx + x +V f (x) dx +V − 2 2 2 qT = q + qO ( ) 2 2 q X (x) dx +V −V = x − Q x f CP 6.3.2 ( ) 2 ) 3 2 3 3 1 12 L L k ,opt k ,opt xk xk L L k k ,opt k k dx k=1 k +1 k ,opt k=1 xk +1 2 P xk +1 2 = f X x dx = x − z x − z k =1k P (x ) 3 − z (x −z − = P k q k = k k=1 ◼ 当 L 1时, 可以证明有 zk ,opt (xk + xk +1 ) 2 Pk = P ( xk x xk +1 ) f X ( xk )k ◼ 此时, 可以推得量化器不过载噪声功率为 量化不过载噪声 ◼ 讨论量化不过载噪声, x1 = −V, xL+1 = +V CP 6.3.2 6.3.2.1均匀量化 ◼ 量化范围 (-V, V) 内, 量化区间间隔数为L , 则均匀量化器的量化间隔 当分层很密, 且各层之间量化噪声相互独立假设下, 均匀量化器的不过载噪声功率与信号统计特性无关, 而只与量化间隔有关. k ◼ 不过载噪声 = =2V L k = 1,,L 2 2 L q 12 k =1 12 3L 2 2 V2 = Pk = = 通信原理 23 通信原理 24
均匀量化举例—一正弦信号 CP632.1 均匀量化举例—实际语音信号(1)c6321 当输入信号为正弦波,且信号不过载,若正 ■与正弦信号不同,不可避免有部分信号幅度超过量 弦波的幅度为An,正弦波功率为An/2 化范围而造成过载 ■语音信号幅度的概率密度近似表示为 SNR 3显 ∫x(x) O 当间隔数满足L=2 ■量化过载噪声为 SARaB=10 logo C+n20 logo 2 =C+6n 每增加1位编码,SNR提高6B ■因为过载幅度所占的概率很小,仍有 通信原理 通信原理 均匀量化举例—实际语音信号(2)cP632 均匀量化特点 P632.1 ■总量化噪声为 ■量化噪声功率与量化间隔数L的平方成反比 32+exp 口增加L可以降低量化噪声功率 语音信号的功率为 口增加L会增加系统的复杂度 P=rf(dx=o ■量化信噪比 ■在不过载以及量化分层L≥1情况下,信号幅值大 √2 SNR=i= +exp (大信号)和信号幅值小(小信号)时的量化噪声功 30L 率是一样的,与信号本身的功率无关 口过载噪声很小时,即x<02 口大信号的输出信噪比高于小信号的输出信噪比 SNRn=C+6 口过载噪声很大时 SNRaB=6.1v/o 通信原理 後照大手 通信原理 x孩人手
通信原理 25 均匀量化举例——正弦信号 ◼ 当输入信号为正弦波,且信号不过载, 若正 弦波的幅度为 Am 2 , 正弦波功率为 Am 2 2 q A 2 A 2 V 2 (3L 2 ) 2 2 3 A 2 SNR = m = m = m L 2 2 V 当间隔数满足 L = 2 n SNRdB =10 log10 C + n20 log10 2 C + 6n 每增加1位编码,SNR 提高 6dB. CP 6.3.2.1 通信原理 26 均匀量化举例——实际语音信号(1) ◼ 与正弦信号不同, 不可避免有部分信号幅度超过量 化范围而造成过载 ◼ 语音信号幅度的概率密度近似表示为 ◼ 量化过载噪声为 ◼ 因为过载幅度所占的概率很小, 仍有 1 X x x f 2 2 x (x)= exp − ( ) 2 2 2 qO X x x 2V +V = 2 x −V f x dx = exp − L k=1 k P 1 CP 6.3.2.1 均匀量化举例——实际语音信号(2) ◼ 总量化噪声为 ◼ 语音信号的功率为 ◼ 量化信噪比 2 2 2 2 qT q qO x x V2 3L 2 2V = + = + exp − ( ) s X 2 x − P = x 2 f x dx = 2 2 x x P V2 3 L −1 2V SNR = s =2 + exp − qT 过载噪声很小时, 即 x V 0.2 SNRdB C + 6n CP 6.3.2.1 均匀量化特点 ◼ 量化噪声功率与量化间隔数 L 的平方成反比. 增加 L 可以降低量化噪声功率 增加 L 会增加系统的复杂度 CP 6.3.2.1 ◼ 在不过载以及量化分层 L 1 情况下, 信号幅值大 (大信号) 和信号幅值小 (小信号) 时的量化噪声功 率是一样的, 与信号本身的功率无关 大信号的输出信噪比高于小信号的输出信噪比 过载噪声很大时 SNRdB 6.1V x 通信原理 27 通信原理 28
6322非均匀量化 non-uniform quantization) 非均匀量化基本方法 CP6.32.2 ■技术的实际背景 口实际电话通信中,由于人音量,情绪不同,语音 ■在出现频率高的 平均功率的变化范围达到约30dB 低幅度语音信号 处,设置小的量 口电话机与数字电话终端机(安装在市话局内)之 化间隔 间距离不同,最大线路损耗达到25~30dB ■在出现频率低的 口因此,电话语音信号的均方值变动范围达 高幅度处,采用 40~50dB 大的量化间隔 口经过统计发现,实际中低幅度语音信号(小信号) 的发生频率高于高幅度语音信号(大信号) 通信原理 通信原理 非均匀量化的理解 CP632.2 均匀量化与非均匀量化噪声比较 P6.32.2 ■既提高了小信号的信噪比,又不过多地增加量化级 非均匀量化 口在L不变的前提下,对于P较大的低幅度信号 采用非均匀量化后, 部分,细化量化间隔,即降低△ 输出信噪比在输入 口相反,对于P较小的高幅度信号部分,粗化量 化间隔,即增加△; 输出信噪 号功率较大的变 均匀量化 L=256 化范围上保持稳定 口总体效果上降低了a2 ■量化噪声功率与信号功率相联系 口采用对数量化后,量化噪声功率与信号功率成 正比,输出信噪比在信号功率变化较大的范围 输入信号的功率 通信原理 後照大季 通信原理
通信原理 29 6.3.2.2非均匀量化(non-uniform quantization) ◼ 技术的实际背景 实际电话通信中, 由于人音量, 情绪不同, 语音 平均功率的变化范围达到约 30dB 电话机与数字电话终端机(安装在市话局内)之 间距离不同, 最大线路损耗达到25~30dB 因此, 电话语音信号的均方值变动范围达 40~50dB 经过统计发现, 实际中低幅度语音信号 (小信号) 的发生频率高于高幅度语音信号 (大信号) 通信原理 30 非均匀量化基本方法 ◼ 在出现频率高的 低幅度语音信号 处, 设置小的量 化间隔, ◼ 在出现频率低的 高幅度处, 采用 大的量化间隔. CP 6.3.2.2 非均匀量化的理解 ◼ 既提高了小信号的信噪比, 又不过多地增加量化级 ◼ 量化噪声功率与信号功率相联系 采用对数量化后, 量化噪声功率与信号功率成 正比, 输出信噪比在信号功率变化较大的范围 内都保持恒定. CP 6.3.2.2 2 1 2 12 L q k k k=1 = P 在 L 不变的前提下, 对于 Pk较大的低幅度信号 部分, 细化量化间隔, 即降低 k ; 相反, 对于 Pk较小的高幅度信号部分, 粗化量 化间隔, 即增加 k ; 2 总体效果上降低了 q 均匀量化与非均匀量化噪声比较 CP 6.3.2.2 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 x 2 (dB) SNR (dB) o 均匀量化 L = 256 非均匀量化 输入信号的功率 采用非均匀量化后, 输出信噪比在输入 信号功率较大的变 化范围上保持稳定 输 出 信 噪 比 通信原理 31 通信原理 32
采用压扩技术实现非均匀量化83 非均匀量化的基本出发点(1 CP6.32.2 g-()x 当L>1时,点的斜率可以近似为8(x)=4 编码卜H解码 ■那么非均匀量化噪声功率 压缩 量化 压扩 (comparing l_(/L)-p Compressing + expanding 12=[g(x2) 1rl(2/L) 在实际电路中,将瞬时压 121[g(了 fr gdx 缩与编码结合起来,一次 实现非线性编码 3g()() 通信原理 後照k季的 通信原理 3後k季 非均匀量化的基本出发点(2) 律与A律两种压扩器( compandor)c6322 ■理想的对数量化 口压扩曲线为y=g(x)=(nxyB 口其导数(斜率)为g(x)=1/(Bx) 口此时,量化噪声功率为 °=E(a)(x)h=B 口量化器输出信噪比为SNR= O.3L2 dx 「当g(x)为对数特性时,量化器输出信噪比为常数; In(1+4x) 0≤X≤ 0≤x≤1 A 但理想对数放大无法实现,因为nx→-∞,asx→0 n(+) Iu +InA A 通信原理 35後k手 通信原理 後照k季D
通信原理 33 采用压扩技术实现非均匀量化 CP 6.3.2.2 k 2 L 0 1 x 1 y = g (x) 均匀 量化 编码 解码 g ( x) 瞬时 压缩 x y q y g −1 (x) 瞬时 扩张 x 发端 收端 在实际电路中, 将瞬时压 缩与编码结合起来, 一次 实现非线性编码. 压 扩 (compading)= Compressing + expanding 通信原理 34 非均匀量化的基本出发点(1) ◼ 当 L 1时, xk点的斜率可以近似为 ◼ 那么非均匀量化噪声功率 k 2 L g( xk ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 12 1 12 1 L 2 q k 2 X (2 L) 2 2 Pk f x dx ( ) fX (x)dx 1 (2 L) 2 12 2 3L −1 −2 = P = k=1 g x = g x = g x k k k =1 L 2 y 0 1 x 1 2 L CP 6.3.2.2 k xk 非均匀量化的基本出发点(2) ◼ 理想的对数量化 压扩曲线为 其导数 (斜率) 为 此时, 量化噪声功率为 量化器输出信噪比为 g(x) =1 (Bx) 2 2 0 q X 2 X 1 B (Bx) 2 f ( ) 2 3L 3L 2 = 2 x dx = X o q 3L 2 2 B2 2 SNR = = 当 g (x) 为对数特性时, 量化器输出信噪比为常数; 但理想对数放大无法实现, 因为 ln x → −, as x → 0. y = g ( x) = (ln x) B y = ln(1+ x) 0 x 1 ln(1+ ) Ax 1 A 1+ lnA 0 x A y = 1 +ln Ax 1 x 1 1 + lnA μ 律与 A律两种压扩器(compandor) CP 6.3.2.2 通信原理 35 通信原理 36
计算律非均匀量化噪声功率 CP6.32.2 律非均匀量化信噪比 CP6.32.2 328(了()在这里,示的归 对于实际信号m(),V为最大的幅度绝对值 /V,=m 实际量化误差功率为r 2[n 实际信号功率为ax 「(+a)f()a 2x1/+y2 ln(1+4 3L2 3L2 其中x=2x(2=2Jx(在 [Q+4万o/2+2m/nr)+vr 通信原理 通信原理 计算非均匀量化噪声—举例 CP632.2 计算非均匀量化噪声—举例 P6.32.2 例:假设语音信号的幅度概率密度函数可以用 Laplace函数表示 SNR= -2m} [n(+)2o3/r2+2m/)+y 并且该μ律语音PCM系统的量化b参数n=8,压扩 系数μ=255,求输出SNR并画出SNR与归一化信号功 m=2Cm952mm=0x00 率2=m}/2的函数关系图 SNR 6394(计/) 解:SMR=_32 (o/2)+000539)+153×10 [n(+)3o/2+2m/(d) 後照大季 通信原理 後照k季D
通信原理 37 计算 律非均匀量化噪声功率 ln(1+ x) 0 x 1 g (x) = ln(1+ ) ( ) 1 2 0 q X f (x)dx 2 3L −2 = g x 2 这里, 表示的归 一化量化噪声功率 2 q g(x)= 1 ln(1+ ) 1 + x 2 1 2 2 0 q X X f 3L 2 2 2 ln(1+ ) = 3L 2 (1 + x) (x)dx ln(1 + ) 1 2 2 X 2 + + = ( ) ( ) 1 1 2 0 0 X 2 X X X = 2 xf x dx = 2 x f x dx 其中 CP 6.3.2.2 通信原理 38 2 2 实际量化误差功率为 V q 2 2 实际信号功率为 V X 2 2 X 3L 2 2 2 SNR = X = • X + 2 X + 1 2 q ln(1+ ) 2 2 2 2 X M x = m V , = V , X = m V 律非均匀量化信噪比 对于实际信号 m(t), V 为最大的幅度绝对值 ( ) 2 2 M 3L 2 SNR = V 2 + 2m 2 V2 M (V )+ 1 2 ln 1 + CP 6.3.2.2 计算非均匀量化噪声——举例 例: 假设语音信号的幅度概率密度函数可以用 解: Laplace函数表示为 1 M M M 2 f (m) = exp− 2 m 并且该 律语音PCM系统的量化bit参数 n=8, 压扩 系数 = 255 , 求输出SNR并画出SNR与归一化信号功 2 2 2 率 X = m V 的函数关系图. 2 M M 2 V2 SNR = V 2 + 2m (V )+ 1 2 3L 2 ln(1 + ) 2 CP 6.3.2.2 计算非均匀量化噪声——举例 2 M 2 V2 SNR = • M V 2 + 2m (V )+ 1 2 3L 2 ln(1 +) 2 M M M m 2 + m = 2 exp − 2m dm = 0.707 0 ( ( 2 2 M 2 M M 6394 V ) SNR = V 2 )+ 0.00555( V)+1.5310−5 CP 6.3.2.2 通信原理 39 通信原理 40