2003年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高碎数学试卷 趣号 三 四 总分 分数 单项达抒题《每小题2分，共0分，在每小题的备选答案中进出一 个正确答芝，并将代巧写在恩后的括号内，不选，#选或多近者，该无分》 1.函致y=(x-万的定义城是() (A0(1,+0))(2,+m】 (C0[2,+0])空集 2.话数y=1-arclan x是(》 ()单消增加且有兴函数（单渊减少且有界函数 (C)奇函数D》料函数 3.下列等式成立的是〔) 》nx-1msnx 0 x -1 m tanx =1 (D)lim (C)lim sin x1 x 4.当x→0时，无穷小量I-C0sx2是x的() (A)等价无穷小(B同价无穷小 (心较高阶无穷小()较低阶无穷小 5,x=0是函数f（x)=2-1的0 (》莲续点B》可去间断点 (C殊跃间断点(D)第二类间断点 6,下列方秤在[0,1]上有实根的是0 第】项〔共7真)
第 1 页 （共 7 页） 2003 年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学试卷 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 一、 单项选择题（每小题 2 分，共 60 分，在每小题的备选答案中选出一 个正确答案，并将其代码写在题后的括号内，不选、错选或多选者，该题无分） 1．函数 y = ln(x −1) 的定义域是（） (A)(1,+∞)(B)(2,+∞) (C)[2,+∞](D)空集 ２．函数 y =1− arctan x 是（） (A)单调增加且有界函数(B)单调减少且有界函数 (C)奇函数(D)偶函数 ３．下列等式成立的是（） （A） 1 sin lim 2 0 = → x x x (B) 1 sin lim 2 0 = → x x x (C) 1 tan lim 0 = → x x x (D) 1 sin lim = → x x x ４．当 x → 0 时，无穷小量 2 1− cosx 是 4 x 的（） （A）等价无穷小 (B)同价无穷小 (C)较高阶无穷小(D)较低阶无穷小 ５． x = 0 是函数 ( ) 2 1 1 = − x f x 的() (A)连续点(B)可去间断点 (C)跳跃间断点（D）第二类间断点 ６．下列方程在［０，１］上有实根的是()
)simx+x-}=0(周)x+3x+1=0 2 (C)arcsinx+3=0(D)x-sinx+=0 7.若f(x)在Xo处不连续，则f(x)在X处() )必定不可导()·定可导 (C)可能可导D)极限一定不存在 8.曲线y=X+」 x-1 ()有水平渐近线，无垂直渐近线(B)无水平渐近线，有垂直渐近线 (C)无水平渐近线也无垂直渐近线D)有水平渐近线也有垂直渐近线 9.已知f0)=0,f"0)=1,则m因。) +0其 (A)2()1(C)0(D)0 10.若y=sine,则有() (A)dy=cose-dx (B)dy=e'sin edx (c)dy =-e*cose-"dx (dy =e'cose"dx 1.设=1+),则少=0 y=arctant dx (A)⊥(B)2tC1)t 21 12.若f(x)在(a,b)内二阶可导，且f(x)>0,(x)0则方程f(x)=0 在0，+o)上0 第2页（共7页）
第 2 页 （共 7 页） （A） 0 2 1 sin x + x − = (B) 3 1 0 2 x + x + = (C) arcsin x + 3 = 0 (D) 0 2 1 x − sin x + = ７．若 f (x) 在 x0 处不连续，则 f (x) 在 x0 处（） (A) 必定不可导(B)一定可导 (C)可能可导(D)极限一定不存在 ８．曲线 1 1 2 − + = x y x （） (A) 有水平渐近线，无垂直渐近线(B)无水平渐近线,有垂直渐近线 (C)无水平渐近线也无垂直渐近线(D)有水平渐近线也有垂直渐近线 ９．已知 f (0) = 0, f (0) =1, 则 = → x f x x ( ) lim 0 （） （A）2(B)1(C)0(D) 10．若 sin , x y e − = 则有（） （A） dy e dx −x = cos (B) dy e dx x x e − = sin (C) dy e dx x x e − − = − cos (D) dy e dx x x e − = cos 11．设 = = + y t x t arctan ln(1 ) 2 ，则 = dx dy （） （A） 2t 1 (B)2t(C)1(D)t 1２．若 f (x) 在 (a,b) 内二阶可导,且 f (x) 0, f (x) 0, 则 f (x) 在 (a,b) 内（） （A）单调增加且是凸的(B)单调增加且是凹的 (C)单调减少且是凸的(D)单调减少且是凹的 13．已知 f (x) 在上可导，且 f (x) 0, f (0) 0 则方程 f (x) = 0 在 [0,+) 上()
()有非一根()至少存在一个限 ()不能确定有根(D)没有根 3 2 14.f八x)=x-。x3的极值点个数是0 2 ()0个B)1个C)2个D)3个 15.下列函数中，在上满足拉格朗口中值定理条件的是0 (A)In In x (B)In x (c) 1@x-2 In 16,若f(x)的一个原函数为lh2x,则f'(x)=0 @2xh2x h2x( .∫fk=0 wf)倒2fW)+Cg2f)of)+C 18.设通，中(x)=ed,则中(x)=0 (xea-xe‘(@2xer0⑩-2x2e 19.下列广义积分收敛的是0 20.直线-1-y+1--2 与平而x+2y-:+3=0的位置关系是 3-11 ()互相垂直()互相平行但直线不在平面上 (C)直线在平面上(D)交叉 2引.方君x=血确定=元晚禹最：=fx,川，则空=0 Ox (A)1(B)e (c)ve (D)y 第3页（共7页）
第 3 页 （共 7 页） (A)有唯一根(B)至少存在一个根 (B) 不能确定有根(D)没有根 14． 3 2 2 3 f (x) = x − x 的极值点个数是() (A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个 15．下列函数中，在上满足拉格朗日中值定理条件的是() (A) ln ln x (B) ln x (C) ln x 1 (D) x − 2 16．若 f (x) 的一个原函数为 ln 2x ，则 f (x) = () (A) 2xln 2x (B) ln 2x (C) x 1 (D) 2 1 x − 17． f x dx = x ( ) 1 () (A) f ( x) (B) 2 f ( x) + C (C) 2 f ( x) (D) f ( x) + C 2 1 18．设函， x te dt x t − = 2 0 ( ) ，则 (x) = () (A) x xe − (B) x xe − − (C) 2 3 2 x x e − (D) 2 3 2 x x e − − 19．下列广义积分收敛的是() (A) dx x + 1 1 (B) dx x x + + 0 2 1 (C) dx x x + 1 ln (D) dx x + 1 3 1 20．直线 1 2 1 1 3 1 − = − + = x − y z 与平面 x + 2y − z + 3 = 0 的位置关系是 (A)互相垂直(B)互相平行但直线不在平面上 (C)直线在平面上(D)交叉 21．方程 y z x = ln 确定二元隐函数 z = f (x, y) ，则 = x z () (A)1(B) z e （C） x ye (D) y
22.设二=x3-3x-y,则它在点(1,0)处0 (A)取得极大值)无极限 (C)取得极小值D)无法判断是杏有极限 23.设D:x2+y2≤4，则Vx2+y2dd=0 ["dof'rdr⑧def'r dr "dof rdr dof'r dr 24.设D由直线x+y=1,x=0,y=0所田成，则川。eydG=0 (A)1B)2e(c)e-1()2e-1 25.设D:(x-12+y2≤1，则川dd=0 (A) 3π（®）4π(C0π)π 26.设L为从(1.1)到点(0.0)的直线段.则(x2-yd+0d=0 1 (A)÷(B)3(C0(D)- 1 3 3 27。正项级数∑4.满足下列那一个条件时必定收效0 (a)lim4,=0(an。10)1m4。=1 -→wua+小 n-Meel 28. 2(-1y3的收效性为0 (A)发散()条件收敛(C)绝对收敛D)无法确定 29.下列微分方程，通解伟的二阶常系数齐次线性微分方程是0 (A)y”-6y'+9y=0(B)y”+6y'+9y=0 (C0y"+6y+9y=1(y”+6y 第4页（共7到）
第 4 页 （共 7 页） 22．设 z = x − 3x − y 3 ，则它在点(1，0)处() （A）取得极大值(B)无极限 (C)取得极小值(D)无法判断是否有极限 23．设 : 4 2 2 D x + y ，则 x + y dxdy = 2 2 () （A） x d r dr 2 0 4 1 2 (B) x d r dr 2 0 4 1 (C) x d r dr 2 0 2 1 2 (D) x d r dr 2 0 2 1 24．设 D 由直线 x + y =1， x = 0， y = 0 所围成，则 = + D x y e d () （A）1(B) 2e （C） e −1 (D) 2e −1 25．设 D: ( 1) 1 2 2 x − + y ，则 = D dxdy () （A） 3 (B)4 (C) (D) 2 26．设 L 为从（1，1）到点（0，0）的直线段，则 − + = L (x y )dx xydy 2 2) () （A） 3 1 (B)3(C)0(D) 3 1 − 27．正项级数 n=1 n u 满足下列那一个条件时必定收敛() （A） lim = 0 n→ un (B) lim 1 1 + → n n n u u （C） lim 1 1 + → n n n u u (D) lim 1 1 = + → n n n u u 28． n n n 3 ( 1) 1 = − 的收敛性为() （A）发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)无法确定 29．下列微分方程，通解伟的二阶常系数齐次线性微分方程是() （A） y − 6y + 9y = 0 (B) y + 6y + 9y = 0 (C) y + 6y + 9y =1 (D) y + 6y
30.微分方程yIn xdx=xhxd少满足==1的特解是0 (A)In2x+In2 y=0(B)In2x+In2y=1 (C)In2x=In2y(D)In2x=In2y+1 二、 填空恩 1.f(x)=arctanx,g(x)=sin 2x+π，则f-1川= 3 2.函趣f(x)=1-n(2x+1)的反函数f'(x)= 3.lim x[In(1+x)-Inx]= ++8 [(e-Ddt 4.若 x一，x士0在处连线，划a= a,x=0 5.己知y=sinx,则y0= 6.设ry-e”=sny,则 r 7.设y=f血an),且f)可微，则少- d 1 8。曲线y=一在点(1,1)的切线方程为 9.函数f(x)=x-n1+x2)在[-1,2】上的最大值为 10. 曲线y=6x2-x3的拐点为 11. L.xelldx= 12. 由向量a=(2,2,1),b=(4,5,3)为邻边构成的平行四边形而积为 13. 设z=n(x2+y2),则d 14. 若1=“fx,y妙，则交换积分顺序后1= 第5页（共7页）
第 5 页 （共 7 页） 30．微分方程 yln xdx = xln xdy 满足 y z=1 =1 的特解是() （A） ln ln 0 2 2 x + y = (B) ln ln 1 2 2 x + y = (C) x y 2 2 ln = ln (D) ln ln 1 2 2 x = y + 二、 填空题 1． 设 f (x) = arctan x ， 3 2 ( ) sin + = x g x ，则 g[ f (−1)] = 2． 函数 f (x) =1− ln(2x +1) 的反函数 = − ( ) 1 f x 3． + − = →+ lim x[ln(1 x) ln x] x 4． 若 , 0 , 0 ( 1) 3 0 2 = − x a x x e dt x x 在处连续，则 a = 5． 已知 y = sin x ，则 = (10） y 6． 设 x y e y x sin 2 2 − = ，则 = dx dy 7． 设 y = f (ln tan x) ，且 f (x) 可微，则 = dx dy 8． 曲线 x y 1 = 在点（1，1）的切线方程为 9． 函数 ( ) ln(1 ) 2 f x = x − + x 在[-1，2]上的最大值为 10． 曲线 2 3 y = 6x − x 的拐点为 11． = − xe dx x 2 2 12． 由向量 a = (2,2,1),b = (4,5,3) 为邻边构成的平行四边形面积为 13． 设 ln( ) 2 2 z = x + y ，则 dx 14． 若 ( , ) , 1 ln 0 = e x I dx f x y dy 则交换积分顺序后 I =
15, 微分方程y”=24x的通解为 三、 计算题（每小题5分，共40分》 1.m1 r e) 2求函数y=(x了的导数少 1+x 3计算∫1 (0+x2)3 4.计算∫nr 5.设：=f2-y,e)且z=f4,)可微，求g 和 6,计算∬OSY,共中D是庙y=x和y=x所假皮的区城. 7。将函数f)=,1展开为x-1的幂级数并写出其收筑城。 3-X 第6页（共7页）
第 6 页 （共 7 页） 15． 微分方程 y = 24x 的通解为 三、 计算题（每小题 5 分，共 40 分） 1． ) 1 1 1 lim( 0 − − → x x x e 2．求函数 x x x y ) 1 ( + = 的导数 dx dy 3．计算 dx x + 3 2 2 (1 ) 1 4．计算 xdx ln 5．设 ( , ) 2 2 y x z = f x − y e 且 z = f (u,v) 可微，求 x z 和 y z 6．计算 dxdy y y D cos ，其中 D 是由 y = x 和 y = x 2 所围成的区域。 7．将函数 x f x − = 3 1 ( ) 展开为 x −1 的幂级数并写出其收敛域
8.求版分方程e2少+2e2=x的通解 dx 四、 应用题（每小题7分，共14分） 1.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价为10元和9元。生产甲产品x件 与生产乙产品y件的总费用是400+2x+3y+0.01(3x2+y+3y2)元，间 两种产品的产量各多少件时，能够取得最大利洞？ 2.平面图形D由曲线y=√X,直线y=x一2及x轴所田成。 (1)求此平面图形的面积： (2)求比平面图形绕轴皮转而成的旋转体体积。 五.证明愿 证明：当0<r<2时.cosx< +1 62 第7页（共7到）
第 7 页 （共 7 页） 8．求微分方程 xye x dx dy e x x + = 2 2 2 的通解 四、 应用题（每小题 7 分，共 14 分） 1． 某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价为 10 元和 9 元。生产甲产品 x 件 与生产乙产品 y 件的总费用是 400 2 3 0.01(3 3 ) 2 2 + x + y + x + xy + y 元，问 两种产品的产量各多少件时，能够取得最大利润？ 2． 平面图形 D 由曲线 y = x ，直线 y = x − 2 及 x 轴所围成。 （1）求此平面图形的面积； （2）求此平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积。 五．证明题 证明：当 2 0 x 时， 1 6 2 cos 2 2 − + x x x