2001年河言省普通高等学校 进载专科优秀毕业生升入木科学校学习考试 高等数学试卷 恩号 四 五 总分 得分 考生注意：极据因乐要求，试卷中正切函数，余切函数、反正切函数、 反会切函量分别用 anx、colx、arctan x、arc col x表示. 、选择题〔每小题1分，共0分每小题进项中只有·个是正纯的， 请将正前容案的序号填在括号内】 1、函数y=二时3-)的定义域为0 (4)[D,3),《B)(D,3),(C)(0,3J(D)[0,3: 2、已知x+=x2+1 ,则/)等于O (4》x2+2,(B)(x+2)2,(C)x2-2,(D)(x-2)2: 3、设f(x)=1-c0s2x,g(x)=x2,则当X→0f(x)是(x)的() (A》高阶无穷小，(B)低阶无穷小， (C)等价无穷小，(D)可阶但不等价无穷小 4对于函数y= x2-4 下列结论中正确的是() x-2) (A》X=0是弟一类间断点，￥=2是典二类向断点， (B》x=0是第二类阿断点，￥=2是算一类何断点， (C》x=0足第类问断点，x=2是第·类问惭点， (D》X=0是第二类间断点，￥=2是第二类间断点：
2001 年河南省普通高等学校 选拔专科优秀毕业生升入本科学校学习考试 高等数学试卷 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 考生注意：根据国际要求，试卷中正切函数、余切函数、反正切函数、 反余切函数分别用 tan x 、 cot x、 arctan x 、 arc cot x 表示。 一、选择题（每小题 1 分，共 30 分每小题选项中只有一个是正确的， 请将正确答案的序号填在括号内） 1、 函数 ln(3 ) 1 x x y = − 的定义域为（） （A）［0，3），（B）（0，3），（C）（0，3］，（D）［0，3］； 2、 已知 2 2 1 ) 1 ( x x x f x + = + ，则 f (x) 等于（） （A） 2 2 x + ，（B） 2 (x + 2) ，（C） 2 2 x − ，（D） 2 (x − 2) ； 3、 设 f (x) = 1− cos 2x， 2 g(x) = x ，则当 x →0 f (x) 是 g(x) 的（） （A）高阶无穷小，（B）低阶无穷小， （C）等价无穷小，（D）同阶但不等价无穷小； 4、 对于函数 ( 2) 4 2 − − = x x x y ，下列结论中正确的是（） （A） x = 0 是第一类间断点， x = 2 是第二类间断点， （B） x = 0 是第二类间断点， x = 2 是第一类间断点， （C） x = 0 是第一类间断点， x = 2 是第一类间断点， （D） x = 0 是第二类间断点， x = 2 是第二类间断点；
5、设(x)=2,则m f)-f八-拉的值为() h (A)1,(B)2,(C)0,(D)4: 6、设y=cose,则等于() (A)-e*sin e,(B)-e*sin e", (C)e'sne'dx,(D)-sine'dx: x=acosf 7、己知梢圆的参数方程为 (a>0,b>0),则椭圆在 y=bsni 【=对应点处的切线斜幸为 A,B)g,(C)-,D)- a 8、函数y=f(x)在点x处可导是它在x。处连续的() (A)充分必要条件，(B)必要条件，(C)充分条件，(D)以上都不对： 9、曲线y=x2-3x的拐点为() (A)(1,-2,(B)1,(C)(0,0),(D)(2,-4): 10、下列函数中在[一1,1]上满足罗尔定理条件的是() 0y围y=@y== 11、设F(x)是f(x)的一个原函数，则f八2x)等于() CF2CC. F(2x)+C: 10、下列式子巾正确的是() (A)[dF(x)=F(x),(B)d[dF(x)=F(x)+C. Je本=a,①jh=xh: c)
5、 设 f (x) = 2 ，则 h f h f h h ( ) ( ) lim 0 − − → 的值为（） （A）1，（B）2，（C）0，（D）4； 6、 设 x y = cos e ，则 dy 等于（） （A） e e dx x x − sin ，（B） x x − e sin e ， （C） e e dx x x sin ，（D） e dx x − sin ； 7、 已知椭圆的参数方程为 = = y b t x a t sin cos (a 0,b 0) ，则椭圆在 4 t = 对应点处的切线斜率为 （A） a b ，（B） b a ，（C）— a b ，（D）— b a ； 8、 函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导是它在 0 x 处连续的（） （A）充分必要条件，（B）必要条件，（C）充分条件，（D）以上都不对； 9、 曲线 3 2 y = x − 3x 的拐点为（） （A）（1，—2），（B）1，（C）（0，0），（D）（2，—4）； 10、 下列函数中在［—1，1］上满足罗尔定理条件的是（） （A） y = x ，（B） 3 y = x ，（C） 2 y = x ，（D） x y 1 = ； 11、 设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (2x)dx 等于（） （A） F(x) + C 2 1 ，（B） F(2x) + C 2 1 ，3），（C） F(x) + C ，（D） F(2x) + C ； 10、 下列式子中正确的是（） （A） dF(x) = F(x) ，（B） d dF x = F x + C ( ) ( ) ， （C） f x dx f x dx dx d ( ) = ( ) ，（D） d f (x)dx = f (x)dx ；
10、设1，=x冰，2=ek。则它们的大小关系是0 (A)1>12,(B)1=12·(C)L,<2,(D)1,212: ["tan'tdt 11、 等于() (A)+D,(B) 6 12、 下列广义积分中收效的是() w广，r o广，o: 13、 y+1-1 m 等于() 4 XY 八+0 (A)0,(B 2,D)+0: 14、 设：=y+x,则止等于0 (A)在+4，(B)d+少，(C)4d+,(D)3d+dy: 15、 函数fx,y)=x2+y2-2x-2y+1的驻点是() (A)(0.0),(B)(0,1),(C)(1,0.(D)(1,1) 16、 平面3x+2y-:+5=0与x-2y-g-4=0的位置关系是 () (A)平行，(B)垂直，(C)重合，(D)斜交： 17、没D=(x,y妆？+y2≤R,y之0则在极坐标系中， ∬fx+ydd可表示为(
10、 设 = 1 0 2 I1 x dx ， = 1 0 I 2 e dx t x 。则它们的大小关系是（） （A） 1 2 I I ，（B） 1 2 I = I ，（C） 1 2 I I ，（D） 1 2 I I ； 11、 3 0 2 0 tan lim x tdt x x → 等于（） （A） + ，（B） 6 1 ，（C）0，（D） 3 1 ； 12、 下列广义积分中收敛的是（） （A） + 1 1 dx x x ，（B） + 1 1 dx x ， （C） + 1 1 dx x ，（D） + 1 ln 1 dx x ； 13、 xy xy y x 1 1 lim 0 0 + − → → 等于（） （A）0，（B） 2 1 ，（C） 2 1 − ，（D） + ； 14、 设 3 z = xy + x ，则 1 1 = = x y dz 等于（） （A） dx + 4dy ，（B） dx + dy ，（C） 4dx + dy ，（D）3 dx + dy ； 15、 函数 ( , ) 2 2 1 2 2 f x y = x + y − x − y + 的驻点是（） （A）（0，0），（B）（0，1），（C）（1，0），（D）（1，1）； 16、 平面 3x + 2y − z + 5 = 0 与 x − 2y − z − 4 = 0 的位置关系是 （） （A）平行，（B）垂直，（C）重合，（D）斜交； 17、 设 {( , ) , 0} 2 2 2 D = x y x + y R y 则在极坐标系中， + D f (x y )dxdy 2 2 可表示为（）
dordr.dofnr dsfnr'ydr.(do(dr 18、 设级数∑0-“)收敛，则mu,等于() (A)1,(B)0,(C)+a0,(D)不确定： 19、 下列级数中，收敛的是〔) 石m器@2器o2 20、 设正项级数】 “，收敛，则下列级数巾一定收数的是。 21、 下列级数中，条件收敛的是(》 22、 若帮级数∑a,”在x=2处收效，则该级数在x=-1处0 (A)发散，〔B)条件收敏，(C)绝对收敛，(D)效散性无法判定： 23、 某二阶常藏分方程的下列解中为通解的是() (A)y-Csn x.(B)y=C sinx+C.cosx. (c)y=sin x+cosx,(D)y=(C+C2)cosx 24、 下列常微分方程中为线性方程的是() (A)y'e,(B)yy+y=sinx
（A） R d f r dr 0 2 0 ( ) ，（B） − R d f r rdr 0 2 2 2 ( ) （C） R d f r rdr 0 2 0 ( ) ，（D） R d f r dr 0 2 2 0 ( ) ； 18、 设级数 + = − 1 (1 ) n un 收敛，则 n n u → lim 等于（） （A）1，（B）0，（C） + ，（D）不确定； 19、 下列级数中，收敛的是（） （A） + =1 1 n n ，（B） + =1 3 2 n n n ，（C） + =1 2 n n n ，（D） + = + 1 2 ) ] 3 4 ( 1 [ n n n ； 20、 设正项级数 + n=1 n u 收敛，则下列级数中一定收敛的是（） （A） + n=1 nun ，（B） + n=1 un ，（C） + =1 1 n un ，（D） + =1 2 n n u ； 21、 下列级数中，条件收敛的是（） （A） + =1 2 1 sin n n ，（B） + = − 1 2 1 ( 1) n n n ，（C） + = − 1 1 ( 1) n n n ，（D） + = − 1 2 1 ( 1) n n n ； 22、 若幂级数 + n=0 n n a x 在 x = 2 处收敛，则该级数在 x = −1 处（） （A）发散，（B）条件收敛，（C）绝对收敛，（D）敛散性无法判定； 23、 某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（） （A） y = Csin x ，（B） y C sin x C cos x = 1 + 2 ， （C） y = sin x + cos x ，（D） y (C C )cos x = 1 + 2 ； 24、 下列常微分方程中为线性方程的是（） （A） x y y e − = ，（B） yy + y = sin x
(C)x2在=(y'+2x,(D)+y-e2=0: 25、 微分方程y”=x的通解为() (A)y=x+Cx+Cx+C3.() 24 ++Cx+C 1 CC+CCC+C 25微分方程y”-4y=0的通解为() (A)y=Ce+Ce (B)y=(C+Cx)e. (C)y=C+Ce2,(D)y=C cos2x+C2sn2x: 26、 对于微分方程y”-2y=x2利用待定系数法求特解y*时，下 列特解设法正确的是() (A)y*=2+br+c,(B)y*=x2(a2+br+c, (C)y*=x(ar+b),(D))=x+b+c): 一，填空题〔每小题2分，共20分) 1、im1+sinx)r=: 2、设(x)=x3+3,则"(0)=： 3、曲线y■ctan2x在(0,0)点的法线方程为： 4、je'sne= 5、由曲线y=x2,y■0，x=1所田成的平面图形挑x轴旋转一周所 称的旋转体的体积是：
（C） x dx (y 2xy)dy 2 = + ，（D） 0 2 + − = x xy y e ； 25、 微分方程 y = x 的通解为（） （A） 2 3 2 1 4 24 1 y = x + C x + C x + C ，（B） 2 3 2 1 3 12 1 y = x + C x + C x + C ， （C） 2 3 2 1 4 12 1 y = x + C x + C x + C ，（D） 2 3 2 1 3 18 1 y = x + C x + C x + C ； 26 微分方程 y − 4y = 0 的通解为（） （A） x x y C e C e 2 2 2 1 − = + ，（B） x y C C x e 2 1 2 = ( + ) ， （C） x y C C e 2 = 1 + 2 ，（D） y C cos2x C sin 2x = 1 + 2 ； 26、 对于微分方程 2 y − 2y = x 利用待定系数法求特解 y * 时，下 列特解设法正确的是（） （A） y = ax + bx + c 2 * ，（B） * ( ) 2 2 y = x ax + bx + c ， （C） y* = x(ax + b) ，（D） * ( ) 2 y = x ax + bx + c 。 一、填空题（每小题 2 分，共 20 分） 1、 x x x 1 0 lim (1+ sin ) → ＝； 2、设 x f (x) x 3 3 = + ，则 (0) (4) f ＝； 3、曲线 y = arctan 2x 在（0，0）点的法线方程为； 4、 e e dx x x sin ＝； 5、由曲线 2 y = x ， y = 0， x =1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所 称的旋转体的体积是；
6、设：=”+y严，则- 0x 7交换积分1=〔fx的积分次序，则1=： 8、幂级数】 《任一5的收敛半径为 √n 、幕级数觉2”工 的和函数S(x)=: 10.方程sec2 x tan yl+sec2 ytan.xd=0的通解为： 一、 计算题（每小题4分，共36分） I cotx 1、im Inx 2、求函数y=(1+2x)+2的导数. 3、已知：-fx+)且可微，求色，色 4、计算∫xn1+x
6、设 y x z = x + y ，则 x z ＝； 7、交换积分 = 1 1 0 ( , ) x I dx f x y dy 的积分次序，则 I = ； 8、幂级数 + = − 1 ( 5) n n n x 的收敛半径为； 9、幂级数 + =0 ! 2 n n n n x 的和函数 S(x) = ； 10、方程 sec tan sec tan 0 2 2 x ydx + y xdy = 的通解为； 一、 计算题（每小题 4 分，共 36 分） 1、 x x x ln ln cot lim 0 → + . 2、求函数 x y x 1 2 (1 2 ) + = + 的导数. 3、已知 z = f (xy, x + y) 且 f 可微，求 x z ， y z . 4、计算 x ln(1+ x )dx 2
6、计算1=川y本，其中D为x+少=4，x=0所田的右半圆. 7、计算积分厂(x-y迹-(x+sm,其中L是曲线y=2上从 点(0,0)到点〔1,1)之问的一段有向
5、 + 2 1 2 2 1 1 dx x x . 6、计算 = D I xy dxdy 2 ，其中 D 为 4, 0 2 2 x + y = x = 所围的右半圆. 7、计算积分 − − + L (x y)dx (x sin y)dy 3 ，其中 L 是曲线 2 y = x 上从 点（0，0）到点（1，1）之间的一段有向弧
8、求过点P1,1,1)且平行于平面元，：2x-3y+2-4=0与 开，：x+y-:-6=0的直线方程. 1 9、将高数代)2一3江十子是开皮卖克劳林级数。并写出收致区间。 二、应用题（每小圈5分，共10分） 上、某工厂生产装产品需两种原料4、B,且产品的产量：与所需A原 科数x及B原料数y的关系式为：=x2+8x+7)y2.已知A眼料数 的单价为1万元/电，B原料数的单价为2万元/吨，现有10万元 如何购置原料，才能使该产品的产量最大？
8、求过点 P(1,1,1)且平行于平面 1 : 2x −3y + z − 4 = 0 与 2 : x + y − z − 6 = 0 的直线方程. 9、将函数 2 2 3 1 ( ) x x f x − + = 展开成麦克劳林级数，并写出收敛区间. 二、应用题（每小题 5 分，共 10 分） 1、某工厂生产某产品需两种原料 A、B，且产品的产量 z 与所需 A 原 料数 x 及 B 原料数 y 的关系式为 2 2 z = x + 8xy + 7y 。已知 A 原料数 的单价为 1 万元／吨，B 原料数的单价为 2 万元／吨，现有 100 万元， 如何购置原料，才能使该产品的产量最大？
、已知位于一象限的凸曲线经过原点0(0,0)和点A1,1)且对于 该尚线上的任一点P(x,,曲线弧0与直线段O所压的平面图形面积为 x,求曲线的方程。 四、正明避(4分) 运明方冠产-子-，杂=0在区间0,1)内有裤一的实银
三、已知位于第一象限的凸曲线经过原点 O（0，0）和点 A(1,1)且对于 该曲线上的任一点 P (x, y) ，曲线弧 OP 与直线段 OP 所围的平面图形面积为 3 x ，求曲线弧的方程。 四、证明题（4 分） 证明方程 = + − − x x t dt e 0 2 0 2 1 3 在区间（0，1）内有唯一的实根