第五章不定积分 第一节不定积分的概念与性质 思考思 L.在不定积分的性质」x)灿=k(x)灿r中，为何要求k≠0T 答：因为k=0时，∫x)=J0dr=C(任意常数)，而不是Q 2思考下列问题： )若f(x=2+smx+C,则fx)为何？ 爷：fx)=0fx灿y=2"h2+c0sx. 2》若（x)的一个原函数为x’,问f(x)为何？ :f八x)=(xy=3x 3》若f（x)的一个原函数的csx,则气x地为何？ 蓉：fx)=(cosx)'=-snx,Jf"(x灿r=f八x)+C=-snx+C. 习盟 1.已知曲线y=(x)过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为★=3x2+1,求 该曲线方程 解：依题意，y=k=3x2+1,故y=J3x2+1d=x3+x+C，又州0)=0，故 C=0,从周曲线方程为y=x+x. 2计算下列不定积分 (1)fx'dx,(2)2'dr,(3)Je""dx,(4)f(cosx-sin x)dx. 品，ol2,e+a, √1-x2 H+C-C. 解Dxdr-“, 6
第五章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 思考题 1. 在不定积分的性质 kf(x)dx = k f (x)dx 中，为何要求 k 0 ？ 答：因为 k = 0 时， kf(x)dx = 0dx = C （任意常数），而不是 0. 2. 思考下列问题： (1) 若 f x x x C x ( )d = 2 + sin + ，则 f (x) 为何？ 答： f x f x x x x ( ) = ( ( )d ) = 2 ln 2 + cos . (2) 若 f (x) 的一个原函数为 3 x ，问 f (x) 为何？ 答： 3 2 f (x) = (x ) = 3x (3)若 f (x) 的一个原函数的 cos x ，则 f (x)dx 为何？ 答： f (x) = (cos x) = −sin x, f (x)dx = f (x) +C = −sin x +C . 习题 1. 已知曲线 y = f (x) 过点（0，0）且在点（ x, y ）处的切线斜率为 3 1 2 k = x + ，求 该曲线方程. 解：依题意， 3 1 2 y = k = x + ，故 y = x + x = x + x +C 2 3 (3 1)d ，又 y(0) = 0 ，故 C = 0 ，从而曲线方程为 y = x + x 3 . 2. 计算下列不定积分： （1） x dx 5 ,（2） x x 2 d ,（3） e x x d +1 ,（4） (cos x − sin x)dx , （5） x x d 1 2 2 + ,（6） x x d 1 2 2 − − ,（7） e x x x ( )d 3 + ,（8） x x x )d cos 1 sin 1 ( 2 2 + . 解：（1） C x C x x x + = + + = + 1 5 6 d 1 5 6 5
+C. (2)j2dk=h2 (3)Jedx=eje'dx=ce'+C=e+C. (4)f(cosx-sin xdx Jcosxdx+(-sin x)dx sin x+cosx+C. )jd=2可，d=2em+C e+t=e+ride+ +C=e'+ 3 xi+C. 1*3 j地=x+x=-ar+m4C 第二、三节换元、分部积分法 思考通 【.第一换元法（即凑微分法》与第二换元法的区别是什么？ 容：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将核积函数 几例x小(x)中的中间变量(x)作为新的积分变量，而后者将原积分变量x替换成函数 (),以1作为新的积分变量 2应用分部积分公式了r=-的关键是什么？对于积分f代xgxr,一般 应按什么样的规律设和dy? 答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择和d血，对于积分(x)g(x灿x,一校应 按如下的规律去设髫和血： 《1)由dy易求得v:(2)Jdw应比Jr容号积出. 及第二换元法有何规律可寻？ 容：一殷地，若技积雨数中含有√士或√后2-x2,则可利用三角函数的平方关 系化单积分为三角函数的积分：若被积函数中含有x+b,则可令x+b=1,将原积 分化为有理橘数的积分
（2） x C x x = + ln 2 2 2 d . （3） x x C C x x x x = = + = + +1 +1 e d e e d ee e . （4） (cos x − sin x)dx = cos xdx + (−sin x)dx = sin x + cos x +C . （5） x x C x x x = + + = + d 2arctan 1 1 d 2 1 2 2 2 . （6） x x C x x x = − + − = − − − d 2arcsin 1 1 d ( 2) 1 2 2 2 . （7） C x C x x x x x x x x x x + = + + + + = + = + + 3 4 3 1 1 3 1 3 4 3 e 3 1 1 (e )d e d d e . （8） x x x x x x x C x x + = + = − + + )d csc d sec d cot tan cos 1 sin 1 ( 2 2 2 2 . 第二、三节换元、分部积分法 思考题 1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？ 答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数 f [(x)](x) 中的中间变量 (x) 作为新的积分变量，而后者将原积分变量 x 替换成函数 (t) ，以 t 作为新的积分变量. 2. 应用分部积分公式 udv = uv − vdu 的关键是什么？对于积分 f (x)g(x)dx ，一般 应按什么样的规律设 u 和 dv ？ 答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择 u 和 dv ，对于积分 f (x)g(x)dx ，一般应 按如下的规律去设 u 和 dv： （1）由 dv 易求得 v ；（2） vdu 应比 udv 容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有 2 2 x a 或 2 2 a − x ，则可利用三角函数的平方关 系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有 n ax + b ，则可令 n ax + b =t ，将原积 分化为有理函数的积分
习题 1.计算下列积分： (1)sn')(2)feos'xdr.(dr (10) c( (1+x)arctanx ,(12) 解：sa'xdsm=如+C 6 (2)fcos'x dx=(1-sn*x)cosx dx =(1-sn2 x)d(sin x) -Jd(sin x)-jsin'xd(sin x) snx-C. 3 (3)x+dr=fadx +2sm d 2 -2c0sx+C. Ise'a-ileec. oa血=--ya-=-小-F+c o告0rc 2s-22-h2h2-h2x+c
习题 1. 计算下列积分： （1） sin d(sin ) 5 x x ,（2） cos xdx 3 , （3） + x x x x )d sin ( , （4） xe x x d 2 , （5） − 2 1 d x x x , （6） − 4 1 d x x x , （7） x x x d ln 2 ,（8） (2x 3) dx 2 + ,（9） − dx x x 2 1 1 arcsin 1 , （10） + x x x d (1 ) arctan 1 2 ,（11） + 2 2 d x x , （12） − 2 4 d x x . 解：（1） C x x x = + 6 sin sin d(sin ) 6 5 . （2） cos x dx (1 sin x)cos x dx 3 2 = − = (1 sin )d(sin ) 2 − x x = d(sin ) sin d(sin ) 2 x − x x = C x x − + 3 sin sin 3 . （3） x x x x x x x x )d d 2 sin d sin ( + = + = x C x − 2cos + 2 2 . （4） x x x C x x x = = + 2 2 2 e 2 1 e d( ) 2 1 e d 2 . （5） x x x x C x x = − − − = − − + − − 2 2 2 1 2 2 (1 ) d(1 ) 1 2 1 d 1 . （6） x C x x x x x = + − = − 2 2 2 2 4 arcsin 2 1 1 ( ) d( ) 2 1 1 d . （7） x x x x C x x x x x = = = + ln 2 2 1 d(2 ) ln 2 d(ln 2 ) 2 ln 2 d ln 2 2
2x+3=2r+3d2x+=2x+y+C (9) 】-dk=∫Id或acsm)=arsn+C. arcsin xx arcsn x (10) (1+x)arctan x adk=∫Id(arctan x动=arctan+C. arctan x dx arctan- -x+C. 2 1+ 2 2 h+c 2 2计算下列积分： ()jh2xd,(2)∫arctan2xdr,()∫xe"d, (④∫e"sn4xd,(6)∫xsm100xdk,(6∫xarctan2xdr。 解：(1)jh2xd=xlh2x-Jxdh2x) 2x-小2 =xh2x-x+C. (2)[arctan 2xdx-xarctan 2x-fxd(arctar2x) -xarctan2x-jx·, 2 -dx 1+(2x) 2a-是 m2-4+4 -xarctan 2x-In(1+4x)+C. e“-e+C 1 16
（8） x + x = x + x + = x + + C 2 2 3 (2 3) 6 1 (2 3) d(2 3) 2 1 (2 3) d . （9） x x C x x x x = = + − d(arcsin ) ln | arcsin | arcsin 1 d 1 1 arcsin 1 2 . （10） x x C x x x x = = + + d(arctan ) ln | arctan | arctan 1 d (1 ) arctan 1 2 . （11） x C x x x x x x = + + = + = + 2 2 arctan 2 2 ) 2 d( ) 2 1 ( 1 2 1 ) 2 1 ( d 2 1 2 d 2 2 2 . （12） 2 4 - d x x = 2 ) 2 2 1-( d x x = ) 2 d( ) 2 1-( 1 2 x x = C x + 2 arcsin . 2. 计算下列积分： (1) ln 2xdx , (2) arctan 2xdx ,(3) x x x e d 4 , (4) x x x e sin 4 d 5 ,(5) x sin 100xdx , (6) x arctan 2xdx . 解：（1） ln 2xdx = x ln 2x − xd(ln 2x) = x x x x x d 2 2 ln 2 − = xln 2x − x +C. （2） arctan 2xdx = x arctan 2x − xd(arctan2 x) = x x x x x d 1 (2 ) 2 arctan 2 2 + − = + − 2 2 1 4 d( ) arctan 2 x x x x = d(1 4 ) 1 4 1 4 1 arctan 2 2 2 x x x x + + − = x x − ln(1+ 4x ) + C 4 1 arctan 2 2 . （3） x x x x x x x x x e d 4 1 e 4 1 de 4 1 e d 4 4 4 4 = = − = x C x x − + 4 4 e 16 1 e 4 1
4ad=mta宁-st-后m4n =e"sm4x-e”cos4x e"sim nd 5 5L5 16 e sn 4xdr. 25 移项合并，得e产h4=e5sm4红-4o4)+C （5)fkm100adk=nd-os105)=-ces100x-jL-os160h 100 100 100 sin 100x xcos100x +C. 10000 100 《6)fxarctan2xdr-farctan2d号) arctan 2x-d(arctsan 2r) 2 m2x-片1 2一d 2 2 号actn2x-舌+.arctan2x+C. 48 3计算下列不定积分： 1)j16-xdk,(2) (4+x 解（D令-4h-受<1<孕，则i6-子-4os1,d=40s. 于是∫V16-x2dr=j4cosr-4cosd=8j1+eos24)d -8&+4sm2+C 16-
（4） 5 5 5 5 e 1 e e sin 4 d sin 4 d( ) e sin 4 d(sin 4 ) 5 5 5 x x x x = = − x x x x x = x x x x x e cos 4 d 5 4 e sin 4 5 1 5 5 − = 5 e cos 4 d 5 4 e sin 4 5 1 5 5 x x x − x = − − d(cos 4 ) 5 e cos 4 5 e 5 4 e sin 4 5 1 5 5 5 x x x x x x = x x x x x x x e sin 4 d 25 16 e cos 4 25 4 e sin 4 5 1 5 5 5 − − , 移项合并，得 x x x x C x x = e (5sin 4 − 4cos 4 ) + 41 1 e sin 4 d 5 5 . （5） = − = − − − x x x x x x x x x )d 100 cos100 ( 100 cos100 ) 100 cos100 sin 100 d d( = C x x x − + 100 cos100 10000 sin 100 . （6） x arctan 2xdx = ) 2 arctan 2 d( 2 x x = − d(arctan 2 ) 2 arctan 2 2 2 2 x x x x = x x x x x d 1 (2 ) 2 2 arctan 2 2 2 2 2 + − = x x x x )d 1 4 1 (1 4 1 arctan 2 2 2 2 + − − = x C x x x − + arctan 2 + 8 1 4 arctan 2 2 2 . 3. 计算下列不定积分： （1） 16 x dx 2 − ,（2） + 2 3 2 (4 ) d x x . 解：（1）令 ) 2 π 2 π x = 4sin t(− t ，则 16 x 4cost 2 − = ，dx = 4costdt ， 于是 16 x dx 4cost 4costdt 8 (1 cos 2t)dt 2 − = = + = 8t + 4sin 2t +C. t 4 x 16 2 − x
由右图所示的直角三角形，得 m2-2sn1esf=2..16-x.x16-7 44 8 故 16-xdr -8.arcsin6 +C 4 2 2令x=2m-受<1孕.则a+r=8aecd=2ec. 于是∫d血 2 (4+x2)月 由右图所示的直角三角形，得 sn/- 4+x d山 ++C
由右图所示的直角三角形，得 8 16 4 16 4 sin 2 2sin cos 2 2 2 x x x x t t t − = − = = , 故 C x x x x dx + − − = + 2 16 4 16 8 arcsin 2 2 . （2）令 ) 2 π 2 π x = 2 tan t(− t ，则 (4 x ) 8sec t,dx 2sec tdt 2 3 2 3 2 + = = , 于是 C t t t t t t x x = = = + + 2 sin d 2 cos 2sec d 4sec 1 (4 ) d 2 3 2 3 2 . 由右图所示的直角三角形，得 2 4 sin x x t + = 故 C x x x x + + = + 2 2 3 2 (4 ) 2 4 d . t x 4 2 + x 2