第二章函戴的极限与连续 第一节极限的概念 思考题 1,在mf八x)的定义中，为何只要求f(x)在x的空心邻城N(.6)内有定义？ 答：因为x→表示x无限接近x。而不等于x,故mf八x)与f(x)在x点有无定 义无关 2.lim 理工是否存在。为什么1 答：存在且为0， 因为m上=0，且5n对s1,由无穷小的性质知m sn至=0， e黑 习思 1.设fx)= x2+1,x0, m(x)是否存在 解：(x)的图檬如下： -m(r+)-1, i (x)=imx-0. “mx)≠mx). 即f(x)不存在 2函数心)=在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？ x-1 容：(x)当x→1时是无穷大量。当x+-1时是无穷小量 0 &举例说明mf()=Amf(x)=Amf八x)=A的几何意文
第二章 函数的极限与连续 第一节极限的概念 思考题 1. 在 lim ( ) 0 f x x→x 的定义中，为何只要求 f (x) 在 0 x 的空心邻域 (ˆ , ) N x0 内有定义？ 答：因为 0 x → x 表示 x 无限接近 0 x 而不等于 0 x ，故 lim ( ) 0 f x x→x 与 f (x) 在 0 x 点有无定 义无关. 2. x x x sin lim →+ 是否存在，为什么？ 答：存在且为 0. 因为 0 1 lim = x→+ x ，且 sin x 1 ，由无穷小的性质知 0 sin lim = →+ x x x . 习题 1. 设 + = , 0 , 1, 0 , ( ) 2 x x x x f x 画出 f (x) 的图形，求 lim ( ) 0 f x x→ − 及 lim ( ) 0 f x x→ + 并问 lim ( ) 0 f x x→ 是否存在. 解： f (x) 的图像如下： lim ( ) 0 f x x→ − = lim ( 1) 2 0 + → − x x =1, lim ( ) 0 f x x→ + = x x→ + 0 lim =0, lim ( ) 0 f x x→ − lim ( ) 0 f x x→ + . lim ( ) 0 f x x→ 不存在. 2. 函数 1 1 ( ) − + = x x f x 在什么条件下是无穷大量，什么条件下是无穷小量？为什么？ 答： f (x) 当 x →1 时是无穷大量, 当 x → −1 时是无穷小量. 0 1 1 lim 1 = − + →− x x x , = − + → 1 1 lim 1 x x x . 3.举例说明 f x A f x A f x A x x x = = = →+ →− → lim ( ) , lim ( ) ,lim ( ) 的几何意义. O x y 1
解：例如：对y-,m上-0表示当x沿x轴的正向运离原点时，曲线y-上无限 中+规背 靠近直线y0:m-0表示当x沿x轴的负方响运离原点时，曲线y=无限靠近直 ◆=天 线y=0:m上一0表示当x沿x轴运离单点时，曲线y-无限靠无直线y=0. 1 4.举例说明mf八x)=+o,mf(x)=-o,m.f八x)=+o,im.f八x)=-o的 几何意义. 解：例如：对y= 上无风远商原点：对y“了，回子-0表示当x沿x鞋无限接近0时，曲线 y=二向下无限远离原点，对y=-上，m~马=切表示当x沿x轴负向无限接近0 -1 时，由线y■一一向上无限远离原点：m(一)。一0表示当x沿x抽正方向无限接近0 1 时，由线y=一一向下无限远离原点 第二、三，四节极限的运算 思考愿 1.下列运算错在何处？ (1)lim sin x cos!-m sin x.im cos0.lim cos0. 0 x 答：im sin x cos--≠m sin x-lm cos-(1 lm cos-不存). m x2 (2)m 2 +22-x1 =0, m(2-x) lm x? 答：2- 3+2 m(2-x) m(2-x)=0). -4} 2两个无穷大的和仍为无穷大马？试举例说明. 容：不一定 如：上是x→0°时的无穷大量，1-也是x→0°时的无穷大量，但其和为1，不是 x→0时的无穷大量. 习题 1.求下列极限：
解：例如：对 x y 1 = , 0 1 lim = x→+ x 表示当 x 沿 x 轴的正向远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限 靠近直线 y =0; 0 1 lim = x→− x 表示当 x 沿 x 轴的负方向远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限靠近直 线 y = 0 ; 0 1 lim = x→ x 表示当 x 沿 x 轴远离原点时, 曲线 x y 1 = 无限靠近直线 y = 0 . 4. 举例说明 = + → lim ( ) 0 f x x x ， = − → lim ( ) 0 f x x x ， = + → − lim ( ) 0 f x x x , = − → + lim ( ) 0 f x x x 的 几何意义. 解：例如：对 2 1 x y = , = + → 2 0 1 lim x x 表示当 x 沿 x 轴无限接近 0 时，曲线 2 1 x y = 向 上无限远离原点; 对 2 1 x y = − , = − − → 2 0 1 lim x x 表示当 x 沿 x 轴无限接近 0 时， 曲线 2 1 x y − = 向下无限远离原点，对 x y 1 = − , − = + → − ) 1 lim ( x 0 x 表示当 x 沿 x 轴负向无限接近 0 时，曲线 x y 1 = − 向上无限远离原点; − = − → + ) 1 lim ( x 0 x 表示当 x 沿 x 轴正方向无限接近 0 时，曲线 x y 1 = − 向下无限远离原点. 第二、三、四节极限的运算 思考题 1.下列运算错在何处? （1） 0 1 0 lim cos 1 lim sin lim cos 1 lim sin cos 0 0 0 0 = = = → → → x → x x x x x x x x . 答： x x x x x x x 1 lim sin lim cos 1 lim sin cos →0 →0 →0 ( x x 1 lim cos →0 不存在). （2） = − = − → → → lim (2 ) lim 2 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x x . 答： lim (2 ) lim 2 lim 2 2 2 2 2 x x x x x x x − − → → → ( lim (2 x) 0 x 2 − = → ). 2. 两个无穷大的和仍为无穷大吗？试举例说明. 答：不一定. 如： x 1 是 → + x 0 时的无穷大量, x 1 1− 也是 → + x 0 时的无穷大量, 但其和为 1，不是 → + x 0 时的无穷大量. 习题 1. 求下列极限：
x2-3x+2 1)如x-1 4x4-3x3+1 2)m2x+5x-6 解，原式m (x-2Xx-1) 4-3+ x-1 解：原式太已 2+1 56 =m(x-2)=2. =-1 (3)m 2-Vg+2 (4)m tanx ★2 2-x sinx 解：原式m (2-√R+22+V+2) 解：x→0时nx”一x' -】 (2-x2+√X+2) =lim- snx'~x', 2+VX+2 分眼式马号回 《5)m1+xy.(6)m+10. 解：令n=x2,解，原式=m和x+m100 知当x→0时4→0，=0◆100 原式=im(0+)P=e,=100, (7)lim -tan 2x 解，当x→0时n2x~2x 11 。原式m王=m} 即2x四2五 2试证x→0时，snx2是比anx高阶的无穷小 证明：y当x+0时snx3、x2,axX, snx2 .x m ·imx0
（1） 1 3 2 lim 2 1 − − + → x x x x , （2） 2 5 6 4 3 1 lim 4 2 4 3 + − − + → x x x x x , 解：原式= 1 ( 2)( 1) lim 1 − − − → x x x x 解: 原式= 2 4 4 5 6 2 3 1 4 lim x x x x x + − − + → = lim ( 2) 1 − → x x =2. = − 1. （3） x x x − − + → 2 2 2 lim 2 , （4） 3 3 0 sin tan lim x x x→ , 解：原式= (2 )(2 2) (2 2)(2 2) lim 2 − + + − + + + → x x x x x 解： x → 0 时 3 3 tan x ~ x , = 2 2 1 lim x→2 + x + 3 3 sin x ~ x , = 4 1 . 原式= 3 3 0 lim x x x→ = lim 1 x→0 =1 . （5） 2 lim (1 ) 2 0 − + → x x x ,（6） 100) sin lim ( + → x x x , 解：令 u = 2 x ,解：原式= lim 100 sin lim → → + x x x x 则当 x →0 时 u →0,=0 + 100 原式= u u u 1 0 lim (1+ ) → = e .= 100. (7) x x x tan 2 lim →0 . 解： 当 x →0 时 tan 2x ~ 2x , 原式= x x x 2 lim →0 = 2 1 lim x→0 = 2 1 . 2.试证 x →0 时， 2 sin x 是比 tan x 高阶的无穷小. 证明： 当 x →0 时 2 sin x ~ 2 x ， tan x ~ x , x x x tan sin lim 2 →0 = x x x 2 0 lim → = x x 0 lim → =0
“x→0时，sinx2是比anx高阶的无穷小 &试证x→0时，©-1与x是等价无穷小 证明：令e-I=u。则x=hw+1), 于是有：n I.lim #lim- e-I 1 40X o程+)0 In(w+1)he 放x→0时，c-1与x是等价无穷小 第五节函数的连铁性 思考题 1.如果f(x)在x。处连续，问引（x)川在x处是否连续？ 容：若f八x)在x。处连续，则川f八x)川在x。处连续. 2区间(.b]上的连续橘数一定存在最大值与最小值码？举例说明？ 容：区阿(a,b们上的连续函数不一定存在最大值与最小值 如：y=x在(0，门上连续，但不存在最小值：y=一在(0，门上连续，但不存在最 大值 习思 1.求下列极限： (1)lim sn 3x,(2)lim cos3x. 解：imsn3x解：lim cos3x a4带 =sm33)=0.=c0s3(3x)=-1 (3)im(3x'-2r2+x-0,(4)m(e2+2+0, 0 解：1m(3x3-2x2+x-)解：m(e+2”+1) =3.2-2.22+2-1=e°+2°+1 =17.=3. Inx (5)lim (6)lim arctan x. 校X 3+1
x →0 时, 2 sin x 是比 tan x 高阶的无穷小. 3. 试证 x →0 时， e −1 x 与 x 是等价无穷小. 证明：令 e −1 x = u , 则 x = ln( u +1) , 于是有： x x x e 1 lim 0 − → = ln( 1) lim →0 u + u u = 1 0 1 lim ln( 1) u u u → + = ln e 1 =1 , 故 x →0 时, e −1 x 与 x 是等价无穷小. 第五节函数的连续性 思考题 1.如果 f (x) 在 0 x 处连续，问| f (x) |在 0 x 处是否连续？ 答：若 f (x) 在 0 x 处连续，则| f (x) |在 0 x 处连续. 2.区间 (a,b] 上的连续函数一定存在最大值与最小值吗？举例说明？ 答：区间 (a,b] 上的连续函数不一定存在最大值与最小值. 如： y = ln x 在 (0,1] 上连续，但不存在最小值； x y 1 = 在 (0,1] 上连续，但不存在最 大值. 习题 1. 求下列极限: （1） x x lim sin 3 →3π , （2） x x lim cos3 →3π , 解： x x lim sin 3 →3π 解： x x lim cos3 →3π = sin 3(3π ) = 0. = cos3(3π ) = − 1. （3） lim(3 2 1) 3 2 2 − + − → x x x x , （4） lim(e 2 1) 2 0 + + → x x x , 解 ： lim(3 2 1) 3 2 2 − + − → x x x x 解： lim(e 2 1) 2 0 + + → x x x = 3 2 2 2 2 1 3 2 − + − = e 2 1 0 0 + + =17. = 3. （5） x x x ln lim →e ,（6） x x lim arctan →1
解：hx解：lim arctan x 城 e=arctan 1 e =1 e 4 2求函数)一广-的间断点。并判断其类型 (r=1x 解：由初等函数在其定义区间上连续知八x)的间断点为x=0,x=1. 口-口士。2面f)在x=1处无定义，放x=1为芙可去间断点 x+1 又x)=m 一=0x=0为(x)的无穷间断点 综上得x=1为八x)的可去间断点，x=0为(x)的无穷间断点
解： x x x ln lim →e 解： x x lim arctan →1 = e ln e = arctan 1 = e 1 .= 4 π . 2. 求函数 x x x f x ( 1) 1 ( ) 2 − − = 的间断点，并判断其类型： 解：由初等函数在其定义区间上连续知 f (x) 的间断点为 x = 0, x = 1. 2 1 lim ( ) lim 1 1 = + = → → x x f x x x 而 f (x) 在 x =1 处无定义，故 x =1 为其可去间断点. 又 = + = → x x f x x 1 ( ) lim 0 x = 0 为 f (x) 的无穷间断点. 综上得 x =1 为 f (x) 的可去间断点, x = 0 为 f (x) 的无穷间断点