第六章定积分 第一节定积分的概念和性质 思考题 1,如何表述定积分的几何意复？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： 1)∫xd,(2)jR-,(3)∫cosx山，40j恤 解：若xc,小时f)之0则fx)灿在几何上表示由曲线y=f),直线 x=a,x=b及x轴所围成平面图形的面积。若x∈a,小时，x)≤0，则x灿在几何 上表示由曲线y=(x),直线x=a,x=b及x轴所围平面图形面积的负值. (1)由下图(1)所示，儿山=(-A)+A=0 (3) (4) 2)上图(2)所示，AVR产-r=4=R 2 (3)由上图(3)所示，c0sxdr=4+(-A)+4=4+A+(-A-A)=0. 4)由上图(40所示，地=24，=211=1 2若当a≤x≤b,有f(x)Sg(x),下面两个式子是否均成立，为什么？ (I)f(x)drsg(xdr,(2)Jfx灿rsg(x灿r 答：由定积分的比较性质知(1)式域立，面不定积分的结果表示一族函数，丁(x灿山
第六章 定积分 第一节 定积分的概念和性质 思考题 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1） − xdx 1 1 , （2） − − R x x R R d 2 2 , （3） cos xdx 0 2 , （4） − x dx 1 1 . 解：若 x a b f x f x x a b , 时, ( ) 0,则 ( )d 在几何上表示 由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 xa,b 时， f x f x x a b ( ) 0,则 ( )d 在几何 上表示由曲线 y = f (x) ，直线 x = a, x = b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示， d ( 1 ) 1 0 1 −1 x x = −A + A = . （2）由上图（2）所示， 2 π d 2 2 2 2 R R x x A R −R − = = . （3）由上图（3）所示， cos d 3 ( 4 ) 5 3 5 ( 3 5 ) 0 2π 0 x x = A + −A + A = A + A + −A − A = . （4）由上图（4）所示， 1 1 1 2 1 d 2 6 2 1 −1 x x = A = = . 2. 若当 a x b ，有 f (x) g(x) ，下面两个式子是否均成立，为什么？ （1） f x x g x x b a b a ( )d ( )d , （2） f (x)dx g(x)dx . 答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数， f (x)dx R − R O R x y 2 A (2) -1 -1 1 1 1 A 1 A O x y (1) O x y 1 -1 3 A 4 A 5 A 2π π (3) −1 −1 1 O 1 x y A6 A6 (4)
与gx)dx不能比较大小，故(2)式不成立 3H个数的算术平均值与连线函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但”个数的算术平均值是 有限个数的平均植，而连续函数在阅区间上的平均值反陕的是无限个数的平均值，前者计算 公式是立a,后者计算会式是，L广fx出 h-0 习题 上用定积分的定义计算定积分∫广d,其中c为一定常数 解：任取分点a=6<无<<<黑=b,把[口，创分成开个小区间 xx】0=12…)。小区同长度记为△r=无-0-12…，在每个小区间 x】上任取一点气作乘积f八后)Ax,的和式： 2/6a=2c-6-=ab-a 记=g,.则ad=典立/G,)ag=n4b-a)=ab-a 2利用定积分的估值公式，估计定积分∫(4x-2x+5)d止的植. 解先求)=4x-2x心+5在【1上的最值，由 f)=16r-6r2=0.得x=0或x=3 8 收-=0=5/八原=品用=7的大水知 人品人n 由定积分的估值公式得fa-(←-川s∫4x-2x+5≤1-(-， 甲品r-2+咖sn 及求函数fx)--x不 在闭区间〔-1,1】上的平均值
与 g(x)dx 不能比较大小，故（2）式不成立. 3. n 个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？ 答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但 n 个数的算术平均值是 有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算 公式是 = n i ai n 1 1 ,后者计算公式是 − b a f x x b a ( )d 1 . 习题 1. 用定积分的定义计算定积分 b a cdx ,其中 c 为一定常数. 解 ： 任 取 分 点 a = x0 x1 x2 xn = b , 把 [a ,b] 分 成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1 ,2n) ，小区间长度记为 x i = i x - i−1 x (i = 1 ,2n) ,在每个小区间 i i x , x −1 上任取一点 i 作乘积 i i f ( )x 的和式： = = = − − = − n i n i f i xi c xi xi c b a 1 1 1 ( ) ( ) ( ) , 记 max{ } 1 i i n = x , 则 d lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 c x f x c b a c b a n i i i b a = = − = − = → → . 2. 利用定积分的估值公式，估计定积分 − − + 1 1 4 3 (4x 2x 5) dx 的值. 解：先求 ( ) 4 2 5 4 3 f x = x − x + 在 −1,1 上的最值，由 ( ) 16 6 0 3 2 f x = x − x = ,得 x = 0 或 8 3 x = . 比较 , (1) 7 1024 27 ) 8 3 f (−1) = 11, f (0) = 5, f ( = − f = 的大小，知 , 11 1024 27 f min = − f max = ， 由定积分的估值公式，得 [1 ( 1)] (4 2 5)d 1 ( 1) max 1 1 4 3 min − − − + − − − f x x x f , 即 (4 2 5)d 22 512 27 1 1 4 3 − − + − x x x . 3. 求函数 2 f (x) = 1− x 在闭区间[-1，1]上的平均值. 解：平均值 − = − = − − = 1 1 2 2 4 π 2 π 1 2 1 1 d 1 ( 1) 1 x x
4利用定积分的定义证明心d=b-a。 证明：令心)=l,则广dr=fx灿，任取分点a=<x<x,=b,把a,分 成n个小区间4，】并记小区间长度为△红，=名-x《=L,2),在每个小区间 k刻小上任取一点，作梁积的和武空》线一空市-a,起 =a.则广=2G=回-=b-a 第二节微积分基本公式 思考题 .sn n 养因为列由是以为拍变量的函数，放广血他心 2(foxd)-? 答：因为f灿是常数。故可fx灿旷=0. a品eh, 备因为广e:的猫果中不有，放盘广出=0 co' 答：由变上限定积分求导公式。知 答： a-)- d 6若f)=∫sm,则f=2 答：了(x)=(x2ysmx22-snx2=2xsnx-sx2. 7.当f(x)为积分区间[a,b]上的分段函数时，问如何计算定积分 fx灿？试举例 说明 答：分段函数的定积分应采用定积分关干积分区间的分制性质， 将x灿分解为部
4. 利用定积分的定义证明 = − b a dx b a . 证明：令 f (x) = 1,则 = b a b a dx f (x)dx ，任取分点 0 1 a = x x … xn = b ,把 a,b 分 成 n 个小区间 i i x , x −1 ，并记小区间长度为 ( 1,2 , ) xi = xi − xi−1 i = n ，在每个小区间 i i x , x −1 上任取一点 i ，作乘积 ( ) i f i x 的和式 f x x b a n i n i i i = i = − =1 =1 ( ) ,记 max{ } 1 i i n = x ,则 x f x b a b a x n i i i b a = = − = − → = d lim → ( ) lim ( ) 0 1 0 . 第二节微积分基本公式 思考题 1. = ( sin d ) d d 1 x t t t ? 答：因为 x t t 1 sin d 是以 x 为自变量的函数，故 x t t t 1 sin d d d =0. 2. ( ( )d ) ? 2 1 = f x x 答：因为 2 1 f (x)dx 是常数，故 ( ( )d ) 0 2 1 = f x x . 3. = b a f x x x ( )d d d ？ 答：因为 b a f (x)dx 的结果中不含 x ，故 = b a f x x x ( )d d d 0. 4. = x a t x x cos d d d 2 ？ 答：由变上限定积分求导公式，知 = x a t x x cos d d d 2 2 cos x . 5. = 1 e d d d 2 x t t x ？ 答： = 1 e d d d 2 x t t x 2 2 ( e d ) e d d 1 x x t t x − = − . 6. 若 = 2 ( ) sin d 2 x x f x t t ，则 f (x) =？ 答： f (x) = 2 2 2 2 4 2 (x )sin( x ) − sin x = 2xsin x − sin x . 7. 当 f (x) 为积分区间 [a,b] 上的分段函数时，问如何计算定积分 b a f (x)dx ？试举例 说明. 答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将 b a f (x)dx 分解为部
分区何上的定积分米计算.侧如：若八x)=。 x2.0sx≤1.则 x,-1sx<0 os恤引引- &对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？ 容：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作 变量置换 习题 1。计算下列定积分 )j1-xl,2∫八x2x,3)1sxd 解：Dj1-xds=-x灿x-u 2)产x=r+xd (3)fIsin xdr=fsin xdr+."(-sn x)dr -(-cosx0+c0s2+2-4 ∫广sn1d 2求极限n 1+c0 解此极限是“9”型未定型。由洛必达法则。得 0 'snx rdr (['snz rdry sn元x一=m( 1 lm -"lm "lm 1+COS (1+cosx)' -黑5nπX-不 及计算下列各题： a)jm,2)广Vd,(3)je山.4610rd. (5)月smd,(6)月ed,()月s2x+
分区间上的定积分来计算.例如：若 − = , 1 0, , 0 1, ( ) 2 x x x x f x 则 f (x)dx 1 −1 = xdx 0 −1 + f (x)dx 1 −1 = 1 0 3 0 1 2 2 3 x x + − = 6 1 − . 8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？ 答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作 变量置换. 习题 1. 计算下列定积分 （1） − 2 0 |1 x | dx , （2） − 1 2 2 x | x | dx ,（3） 2π 0 | sin x | dx . 解：（1） − 2 0 |1 x | dx = − 1 0 (1 x)dx + − 2 1 (x 1)dx = 2 1 2 1 0 2 2 ( 1) 2 (1 ) − + − − x x = 2 1 2 1 + =1. （2） − 1 2 2 x | x | dx = − − 0 2 3 ( x )dx + 1 0 3 x dx = 1 0 4 0 2 4 4 4 x x − + − =4+ 4 17 4 1 = . （3） 2π 0 | sin x | dx = π 0 sin xdx + − 2π π ( sin x)dx = 2π π π 0 (−cos x) + cos x =2+2=4. 2. 求极限 x t t x x 1 cosπ sin π d lim 1 1 + → . 解：此极限是“ 0 0 ”型未定型，由洛必达法则，得 x t t x x 1 cosπ sin π d lim 1 1 + → = (1 cosπ ) ( sin π d ) lim 1 1 + → x t t x x = π 1 ) π 1 lim ( π sin π sin π lim 1 1 = − − = x→ − x x→ x 3. 计算下列各题： （1） 1 0 100 x dx ， （2） 4 1 xdx ， （3） 1 0 e dx x ,（4） x x 100 d 1 0 , （5） sin xdx 2 π 0 ,（6） x x x e d 2 1 0 ,（7） sin( 2x π )dx 2 π 0 +
品“ arf号 (3)foe'dr=e*o-e-1. (4)f6100'dx= 100' 99 h100 h100 (5)月snd=-0sx厚=1 a月s2x+x地2x+怀2+a)-m2x+月 )eo+4o+好+-4sm+4-25 1*10 101 dchl-1. 2 第三节定积分的计算
（8） x x )d 4 π 4 cos( π 0 + , （9） x x x d 2 e ln 1 ,（10） + 1 0 2 100 d x x , （11） 4 π 0 2 d cos tan x x x ,（12） 1 0 shxdx ,（13） 1 0 chxdx . 解：（1） 1 0 100 x dx = 101 1 101 1 0 101 = x . （2） 4 1 xdx = 3 14 3 2 4 1 2 3 x = . （3） e d e e 1 1 0 1 0 = = − x x x . （4） x x 100 d 1 0 = ln 100 99 ln 100 100 1 0 = x . （5） sin d cos 2 1 π 0 2 π 0 x x = − x = . （6） 2 e 1 2 e e d( ) 2 1 e d 1 0 1 2 0 1 0 2 2 2 − = = = x x x x x x . （7） sin( 2x π )dx 2 π 0 + = sin( 2 π )d(2 π ) 2 1 2 π 0 + + x x = 2 π 0 cos(2 π ) 2 1 − x + =−1. （8） x x )d 4 π 4 cos( π 0 + = ) 4 π 4 )d( 4 π 4 4 cos( π 0 + + x x = π 0 ) 4 π 4 4sin( + x = 4 − 2 2 . (9) x x x d 2 e ln 1 = ln d(ln ) 2 1 e 1 x x = 4 1 ln 4 1 e 1 2 x = . (10) + 1 0 2 100 d x x = + 1 0 2 ) 10 1 ( d 100 1 x x = 1 10 0 arctan 10 1 x = 10 1 arctan 10 1 . （11） 4 π 0 2 d cos tan x x x = 4 π 0 tan xd(tan x) = 4 π 0 2 2 (tan x) = 2 1 . （12） − − = 1 0 1 0 d 2 e e shxdx x x x = 1 0 2 e e x −x + = 1 ch1 1 2 e e 1 − = − + − . （13） 1 0 chxdx = − 1 + 0 d 2 e e x x x = 1 0 2 e e x −x − = sh1 2 e e 1 = − − . 第三节定积分的计算
思考题 1,下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： 2)上-x=v1-ms) =cos1:cosd cdr(cosdr g2=u+2啡-1+2. 容：(1)不正疏。应该为如 信osx-eomt=2faos (2)不正确，应该为： i-s=值-(mm=值(eosa 2定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？ 爷：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量日代，定积 分在换元时要同时变换积分限，面不用作变量日代.联系在于：二者均要求置换的变元 x=)单调可导，且选择变元x=试)的规律相同. 3利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律
思考题 1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果： （1） cos x cos xdx 2 π 2 π 3 − − = (cos x) sin xdx 2 π 2 π 2 1 − = (cos ) d(cos ) 2 π 2 π 2 1 x x − − = cos 0 3 2 2 π 2 π 2 3 = − − x . （2） − − − = − 1 1 1 1 2 2 1 x dx 1 (sin t) d(sin t) = − 1 1 cost costdt = − 1 1 2 (cost) dt =2 1 0 2 (cost) dt =2 sin 2 2 1 sin 2 ) 1 2 1 d ( 2 1 cos 2 1 0 1 0 = + = + + t t t t . 答：（1）不正确，应该为： cos x cos xdx 2 (cos x) sin xdx 2 1 2 π 2 π 2 π 0 3 − − = = 3 4 cos 3 4 2 (cos ) d(cos ) 2 π 0 2 3 2 π 0 2 1 − = − = x x x . （2）不正确，应该为： − − − − = − = 1 1 2 π 2 π 2 π 2 π 2 2 2 1 x dx 1 (sin t) d(sin t) (cost) dt =2 = + = + = 2 π 0 2 π 0 2 π 0 2 sin 2 ) 2 1 d ( 2 1 cos 2 (cos ) d 2 t t t t t t 2 π . 2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？ 答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积 分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元 x = (t) 单调可导，且选择变元 x = (t) 的规律相同. 3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律
答：如图，设f(在.d上满足fx)0.则f(x)表示由曲线y-f),直 线x=0,x=及x轴所围图形的面积，不妨记为A,则当f(x)为属函数时， x灿=24=2灿〔如下图)所示)，当f)为奇通数时， 二f灿=（←0+A=0(知下图②所示 习题 1.计算下列定积分： oi6-d,ai 解：(1)令x=4sn1,则V16-x2=4c0sl,dr=4cos山， 当x=0时，0：当x=4时，1-受手是 i6--f月4cos14eos1d山=l+cs2地=图+4sm2g=c. 2) 2 2计算下列定积分： )J5x+e“ds.2)M2x+1。 (3)fe"cos ()++e"udr ka+e-6r+号-号6x-写48r+0
答：如图, 设 f (x) 在 0,a 上满足 f (x) ≥0，则 a f x x 0 ( )d 表示由曲线 y = f (x) ，直 线 x = 0 ， x = a 及 x 轴所围图形的 面积，不妨记 为 A ，则当 f (x) 为偶函数时， = = − a a a f x x A f x x 0 ( )d 2 2 ( )d ( 如下图 (1) 所 示 ) ， 当 f (x) 为 奇 函 数 时 ， ( )d = (− ) + = 0 − f x x A A a a (如下图(2)所示). （1） （2） 习题 1. 计算下列定积分: (1) 16 x dx 4 0 2 − ,(2) + 1 0 2 d 4 1 x x . 解：（1）令 x = 4sin t ,则 16 x 4cost,dx 4costdt 2 − = = , 当 x = 0 时， t = 0 ; 当 x = 4 时， 2 π t = ， 于是 16 x dx 4 0 2 − = 4cos 4cos d 8(1 cos2 )d (8 4sin 2 ) 2 4π π 0 2 π 0 2 0 = + = + = t t t t t t t . （2） + 1 0 2 d 4 1 x x = + 1 0 2 ) 2 d( ) 2 1 ( 1 2 1 x x = 2 1 arctan 2 1 2 arctan 2 1 1 0 = x . 2. 计算下列定积分： （1） x x x (5 1)e d 4 0 5 + ,（2） ln( 2x 1)dx 2e 1 + , （3） x x x e cosπ d 1 0 π , （4） x x x x x ( 3 e ) d 1 0 3 3 + + . 解：（1） x x x (5 1)e d 4 0 5 + = 5 e (5 1)d 5 4 0 x x + = + − + 1 0 5 1 0 5 d(5 1) 5 e (5 1) 5 e x x x x x y a -a y = f (x) A A O x y -a O a A A y = f (x)
②广2红+l-xh2x+-dhx+功 -2e4e+0-h3-广24 =2e+-h3-广-2地 =2e4e+)-h3-x-hx+明 =+宁he+小-h3-2e+1. e"cossdre"dn 6- 0-e"mt-e4-a5 一e+-eo 移项合并相小e"”coa山一名 (e+D). wje++e=后盖 =4+n3 20h239 45 第四节广义积分 思考通 1.下列解法是香正确？为什么？ 以=可=h2-h1=h2 答：不正确.因为二在-1,2]上存在无穷间断点x=0。 不能直接应用 Newion-Leh公式计算，事实上
= 5 1 0 5 5 e 5 e 5 6e 1 − = − x . (2) ln( 2x 1)dx 2e 1 + = ln(2 1) d(ln(2 1)) 2e 1 2e + 1 − + x x x x x x x d 2 1 2 2e ln( 4e 1) ln 3 2e 1 + = + − − = 2e ln( 4e +1) − ln 3 − x x )d 2 1 1 (1 2e 1 + − = 2e ln( 4e +1) − ln 3 − ( ) 2e 1 ln 2 1 ) 2 1 (x − x + ( ) ln 3 2e 1 2 3 )ln 4e 1 2 1 = (2e + + − − + . (3) x x x e cosπ d 1 0 π = π sin π e d 1 0 π x x x x x x de π sin π e sin π π 1 1 0 1 0 π = − =0 x x x e sin π d 1 0 π − = ) π cosπ e d( 1 0 π x x − − x x x x de π cosπ e cosπ π 1 1 0 1 0 π = − = − (e +1) − π 1 π x x x e cosπ d 1 0 π 移项合并得 x x x e cosπ d 1 0 π (e 1) 2π 1 π = − + . （4） x x x x x ( 3 e ) d 1 0 3 3 + + e ) 3 1 ln 3 3 4 d( 3 1 0 4 x x x = x + + = + + − + + 1 0 3 4 1 0 3 4 e )d 3 1 ln 3 3 4 e ) ( 3 1 ln 3 3 4 ( x x x x x x x x = 45 14 e 9 2 ln 3 3ln 3 2 e ) 9 1 ln 3 3 20 e ( 3 1 ln 3 3 4 1 3 2 1 0 3 2 5 3 + + − + + − + + = x x x . 第四节 广义积分 思考题 1. 下列解法是否正确？为什么？ d ln| | ln 2 ln1 ln 2 1 2 1 2 1 = = − = − − x x x . 答：不正确.因为 x 1 在[ −1， 2 ]上存在无穷间断点 x = 0 ， − 2 1 d 1 x x 不能直接应用 Newton −Leibniz 公式计算，事实上
广 “-l+mh或 =即h由2-不存在 华发数 2指出下面广义积分的计算错误： e'dr=im fedr=-me"=m(-e*)=1-0=1. 答本愿计算结误在于e-0.因为口e心-0，而me心■-0，故血e 不存在。从而∫©'d女发股 习思 上所广义积分。子血的放敏性 2计第广义积分-d. 解，x-45=x-45drJx-4id -fa--3a-00-wa-05.0 及计算广义积分∫“ed。 棉广emdr-e =0-1_e-11=1e-w 1001 -1001100 r义分广车
− 2 1 d 1 x x = − 0 1 d 1 x x + 2 0 d 1 x x = − → − + 1 1 0 1 d 1 lim x x + → + 2 2 0 2 d 1 lim x x = 1 1 1 0 lim ln( ) − − → − + x + 2 0 2 2 lim ln x → + = 1 0 lim ln 1 → + + ln 2 − 2 0 2 lim → + 不存在, 故 − 2 1 d 1 x x 发散. 2. 指出下面广义积分的计算错误: e d lim e d lim e lim (1 e ) 1 0 1 0 0 0 = = − = − = − = − → − → − → b b b x b b x b x x x . 答：本题计算错误在于 lim e = 0 − → b b ，因为 lim e = 0 − →+ b b ，而 = − − →− b b lim e ，故 b b − → lim e 不存在，从而 0 e dx x 发散. 习题 1. 研究广义积分 + 0 2 d 1 x x 的敛散性. 解： + 0 2 d 1 x x = − = − = + → →+ + + x x x x x 1 lim 1 ) lim 1 ( 0 0 , + 0 2 d 1 x x 发散. 2. 计算广义积分 (x 4) dx 6 0 3 2 − − . 解： (x 4) dx 6 0 3 2 − − = (x 4) dx 6 4 3 2 − − + (x 4) dx 4 0 3 2 − − = 3( 4) 3( 4) 3 2 0 0 3 4 3( 2 4) 3 3 3 3 4 0 3 1 6 4 3 1 x − + x − = − + − − = + . 3. 计算广义积分 x x e d 1 100 + − . 解： x x e d 1 100 + − = 100 100 1 100 e 100 1 ) 100 e 0 ( 100 e − − + − − = − − = x . 4. 计算广义积分 + 0 + 2 100 d x x . 解： + 0 + 2 100 d x x = 20 π 10 arctan 10 1 0 = + x