第七章定积分的应用 第一、二节微元法、平而图形的面积、体积 思考愿 1.什么叫微元法？用微元法解决实际间愿的思路及步爱如阿： 答：微元法就是运用“无限细分”和“无限累积”两个步豫解决实际问题的一种方法， 具体说来，即是对在区间[，b】上分布不均匀的量F,先将其无限细分，得其微元 dF=f(x)ir然后将微元dF在[a.b]上无限求和（累积），即得所求量 F=∫广dF=fx),求微元时，一般是对a,b的子区间x,x+dr]对应的部分量， 采用以“常代变”，“均匀代替不均匀”，“直代由”的思路 2求平面图形的面积一般分为儿步？ 答：一般分为(1)画图，(2)选定凯分变量并给出积分区间，(3)确定被积函数并写 出积分表达式，(4》计算定积分求得面积四个步骤， 习题 1.求由线y=x,y=(x一2)与x轴围成的平面图形的面积 解：如图， y=x2, 得两由线交点(1,1)。 y=(x-2)2 y=(x-2) 取x为积分变量，x∈0,2] 所求南积 4海-引 2用定积分求底圆半径为F,高为h的圆锥体的体积 解：建立如右图坐标系，则圆维体可看成是由直线 y=二xx=h及x轴所围成三角形饶x轴旋转一 周面成，故圆锥体体积 r=听=g
第七章 定积分的应用 第一、二节 微元法、平面图形的面积、体积 思考题 1. 什么叫微元法？用微元法解决实际问题的思路及步骤如何？ 答：微元法就是运用“无限细分”和“无限累积”两个步骤解决实际问题的一种方法， 具体说来，即是对在区间 [a ,b] 上分布不均匀的量 F ，先将其无限细分，得其微元 dF = f (x)dx 然后将微元 dF 在 [a ,b] 上无限求和（累积）,即得所求量 = = b a b a F dF f (x)dx ，求微元时，一般是对 [a ,b] 的子区间 [x , x + dx] 对应的部分量， 采用以“常代变”，“均匀代替不均匀”，“直代曲”的思路. 2. 求平面图形的面积一般分为几步？ 答：一般分为（1）画图,（2）选定积分变量并给出积分区间,（3）确定被积函数并写 出积分表达式,（4）计算定积分求得面积四个步骤. 习题 1. 求曲线 2 2 y = x , y = (x − 2) 与 x 轴围成的平面图形的面积. 解：如图，由 = − = ( 2) , , 2 2 y x y x 得两曲线交点（1，1）. 取 x 为积分变量， x [0,2] , 所求面积 3 2 3 ( 2) 3 d ( 2) d 2 1 3 1 0 3 2 1 2 1 0 2 = − = + − = + x x A x x x x . 2. 用定积分求底圆半径为 r ，高为 h 的圆锥体的体积. 解：建立如右图坐标系，则圆锥体可看成是由直线 x, h r y = x = h 及 x 轴所围成三角形绕 x 轴旋转一 周而成，故圆锥体体积 r h x h r x x h r V h h 2 0 0 3 2 2 2 π 3 1 3 π = π ( ) d = = . O x y 2 2 y = (x − 2) 2 y = x x y O (h, r)
3用定积分求由y=x2+1,y=0x=1,x=0所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转 体的体积 解：如右图，所求体积 V-fr(x+lds =x∫x+2x2+0 28 第四、五节定积分的物理位用与经济应用举例 思考愿 1,设一物体受连线的变力F(x)作用，沿力的方向作直线运动，则物体从x■a运动到 x=b,变力所做的功为F=-·其中_为变力F(x)使物体由[a,b]内的任一闭区间 x,x+山的左端点x到右端点x+山所酸功的近拟值。也称其为 答：广Fx,F(出功的微元 2如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力？ 答：以液体深度h作为积分变量，利用同一深度处压强相等这一物理学知识，考虑深度 层[h,h+d所对应的一层薄版所受压力的近似值，即得压力微元dF,将dF在曲边棉形 薄板所处深度区间[a,】上积分，即得薄板所受侧压力： 3如何求一个密度不均匀分布的直杆的质量，试举例说明 答知右图，设直杆位于x轴上的区间@、小，x0刀y十 对应的密度为叫x)(不为常数)，取x为积分变量，任取子国 同[x,x+d)C0.门，对应直杆段的质量近椒为 dm=p(xx. 于是所求直杆质最m=∫)d。 习题 1.一个底半径为m,高为Hm的圆柱形水桶装满了水。要把桶内的水全部吸出，需
3. 用定积分求由 1, 0, 1, 0 2 y = x + y = x = x = 所围平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转 体的体积. 解：如右图，所求体积 = + 1 0 2 2 V π (x 1) dx = + + 1 0 4 2 π (x 2x 1)dx = 1 0 5 3 ) 3 2 5 π ( x x x + + = π 15 28 . 第四、五节定积分的物理应用与经济应用举例 思考题 1. 设一物体受连续的变力 F(x) 作用, 沿力的方向作直线运动，则物体从 x = a 运动到 x = b, 变力所做的功为 W = ， 其中 为变力 F(x) 使物体由 [a,b] 内的任一闭区间 [x , x + dx] 的左端点 x 到右端点 x + dx 所做功的近似值，也称其为 . 答： b a F(x)dx;F(x)dx; 功的微元. 2. 如何计算铅直放置在液体中的曲边梯形薄板的侧压力？ 答：以液体深度 h 作为积分变量，利用同一深度处压强相等这一物理学知识，考虑深度 层 [h,h + dh] 所对应的一层薄板所受压力的近似值，即得压力微元 dF ，将 dF 在曲边梯形 薄板所处深度区间 [a,b] 上积分，即得薄板所受侧压力. 3. 如何求一个密度不均匀分布的直杆的质量，试举例说明. 答：如右图，设直杆位于 x 轴上的区间[0, l ]， x [0, l] 对应的密度为 (x) （不为常数），取 x 为积分变量，任取子区 间 [x, x + dx] [0,l] ，对应直杆段的质量近似为 dm = (x)dx , 于是所求直杆质量 = l x x 0 m ( )d . 习题 1. 一个底半径为 Rm ，高为 Hm 的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需 O l x y y O 1 x 1 1 2 y = x +
要做多少功《水的密度为10'kgm3,g取10m的2)？ 解：建立如图坐标系，取x为积分变量， xe0,H,任取子区间[x,x+dc0,H门 (H,) 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 dw=R'dxpagx, 于是，肥桶内的水全部吸出，需酸功 F-Rxd-P%g器R 1 2 “2P8xR产H2-500mR2H*0. 2一边长为的正方形薄版垂直放入水中，使该薄板的上边距水面1m,试求该源 板的一侧所受的水的压力《水的帝度为10km3,g取10ms2). 解：建立如图坐标系。取x为积分变量x∈几，a+月，任取子区间[x,x+dr]CL,+月 相应一薄层薄板一侧所受的水的压力近权为 dF =pagxa-dx, 于是，正方形薄板一侧所受的水的压力为 F-pd =5000a(a+2N)
要做多少功（水的密度为 3 3 2 10 kg/m , g取10m/s ）？ 解：建立如图坐标系. 取 x 为积分变量, x [0, H ], 任取子区间 [x, x + dx] [0, H] ， 相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 dW = π R dx 水 g x 2 , 于是，把桶内的水全部吸出，需做功 π 5000π (J) 2 1 2 π d π 2 2 2 2 0 2 2 0 2 g R H R H x W g R x x g R H H = = = = 水 水 水 . 2. 一边长为 am 的正方形薄板垂直放入水中，使该薄板的上边距水面 1 m ，试求该薄 板的一侧所受的水的压力（水的密度为 3 3 10 kg/m , g 取 2 10m/s ）. 解：建立如图坐标系，取 x 为积分变量 x [1, a +1] ,任取子区间 [x, x + dx] [1,a +1] 相应一薄层薄板一侧所受的水的压力近似为 dF = 水 gx a dx , 于是，正方形薄板一侧所受的水的压力为 + = 1 1 d a F 水 gax x = 1 1 2 2 a+ x 水 ga = 5000 ( 2)(N) 2 a a + . O x y x x + dx (H, R) O x y x x +d x a +1 1