黄河水利职业技术学院 试卷习题 多元函数积分思考题、习题及答案_高等数学第六单元

第十一章多元函数积分 第一、二节二重积分的微念、计算 思考愿： 1把一元定积分的数学模型推广到二推空间，可以得到一个式子 ∬fio=即2飞nha 你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一 个完整的数学模型，被称为二重积分的定文，保将获得一次创造思隆的锻炼，对微元法模型 的理解会更深刻，不妨一试 备在试卧之/代作儿4o,中，加，表茶将平区线D任意分程成n的后所得第 1个小区域的面积。(5，几)是取白于第í个小区域内的任何一点的坐标，八5，几，)是二元 函数：=(x,》在点（侣，n)处的函数值，4如表示所有n个小区城的直径中的最大值。 上式即表示，当函数：=(x,y)在平面区域D内有定义时，可将平面区域D任意分 制成月个小区域。记4如，为第i个小区域的面积，然后在第i个小区线中任取一点(5，功，)， 作果积fG,m)4a,的和∑/代传，n4G,若此和式的极限，巴∑/店，n,4G,存 在，则称二元函数：=八x,y)在区域D上可积。并称上述极限值为二无函数：=(x,) 在区域D上的二重积分 2试述二重积分的几何意义 答：当x,)在区线D上满足fk,上0时，厂八x,HG代表以x面内的区域D 为底，以曲面：=八工，y)为项的曲项柱体的体积若f不，y)<0,则表示体积的负值 3直角坐标系下，计算二重积分的主要步聋有爆线，其关健点是什么？ 容：主要步骤包括：①通出积分区减D的图形，②选择积分次序并确定积分限。③计 算累次积分求得结黑。其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限， 4在极坐标系下，计算二重积分的主要步囊有娜些，其关健点是什么？

第十一章 多元函数积分 第一、二节 二重积分的概念、计算 思考题： 1. 把 一 元 定 积 分 的 数 学 模 型 推 广 到 二 维 空 间 ， 可 以 得 到 一 个 式 子 ( ) ( ) i n i i D f x y  f      = → = 1 i 0 , d lim , ， 你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一 个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型 的理解会更深刻，不妨一试. 答：在式 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 中，  i 表示将平面区域 D 任意分割成 n 份后所得第 i 个小区域的面积, ( , )  i i 是取自于第 i 个小区域内的任何一点的坐标, ( , ) i i f   是二元 函数 z = f (x, y) 在点 ( , )  i i 处的函数值,  表示所有 n 个小区域的直径中的最大值. 上式即表示, 当函数 z = f (x, y) 在平面区域 D 内有定义时, 可将平面区域 D 任意分 割成 n 个小区域, 记  i 为第 i 个小区域的面积, 然后在第 i 个小区域中任取一点 ( , )  i i , 作乘积 ( , ) i i f    i 的和 ( ) i n i i  f    =1 i , , 若此和式的极限 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 存 在, 则称二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 上可积, 并称上述极限值为二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 上的二重积分. 2. 试述二重积分的几何意义. 答：当 f (x, y) 在区域 D 上满足 f (x, y)  0 时， ( , )d  D f x y 代表以 xOy 面内的区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积. 若 f (x, y)  0 , 则表示体积的负值. 3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计 算累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限. 4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？

容：主要步骤包括：①画出积分区减D的图形，并用极坐标描述D,②确定积分限。③ 计算累次积分求得结果，其关健点是用极坐标正确描述积分区域D 5就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征到，选择在直角坐标系（或 极坐标系)下计算该二重积分： 答：当积分域为圆形域，扇形域域形域时，意择极坐标系下计算该二重积分，其它型的 积分域。一般均选择直角坐标系下计算该二重积分 6当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分 方便， 容：当被积函数中含有x2+y的项时。选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形， 一般选择直角坐标系下计算二重积分 习题： .计算∬00+x+yHa,其中D=x,y0≤x≤L-1sy≤ 解：如图。先对x后对y积分，则 ∬6o0+x+ig=时600+x+灿 -Lo.h. -【海+90+小=0+201=201 2.计算∬e"dG,其中D由xO面上的直线y=ly=2及x=-l,x=2所围 成 解：如图，D: 1≤x2先对x后对y积分，得 11≤ys2, edo-iee“s e e“--e+e

答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形，并用极坐标描述 D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域 D . 5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或 极坐标系）下计算该二重积分. 答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的 积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分. 6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分 方便. 答：当被积函数中含有 2 2 x + y 的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形， 一般选择直角坐标系下计算二重积分. 习题 ： 1. 计算 (100 )d  + + D x y , 其中 D = (x, y)0  x 1,−1 y 1. 解：如图，先对 x 后对 y 积分， 则 ( x y) y ( x y) x D 100 d d 100 d 1 0 1 1 + + = + +  −   = ( ) 1 0 2 1 1 2 d 100       + + − x y y x = − + 1 1 )d 2 201 ( y y = (1 1) 0 201 201 2 201 d 1 1 +  + = + = − y y . 2. 计算  + D x y e d 6 ，其中 D 由 xOy 面上的直线 y = 1, y = 2 及 x = −1, x = 2 所围 成. 解：如图, D ：   −     1 2, 1 2, x y 先对 x 后对 y 积分，得  + D x y e d 6 =   − 2 1 2 1 6 e dy e dx y x = ) 6 e (e )( 2 1 6 2 1 − x y = (e e e e ) 6 1 14 13 −4 −5 − − + . - O x y 2 2 1 1 O y 1 -1 1 x

在计算00+x2+yHo,其中D=kg2+y2s 解：令x=rcs0,y=rsmn0,则D可表为： f0sr≤1 1050s2 从面 ∬hto0+r2+yha-d0jn10o+r)d 2·000+r100+r)-r2 -001h101-100h100-1m. 4计算∬ydG,其中D是由圆周x+少2=1与x2+少2=纸2所围成的平面区线 解1令x=rcos0.y=Psn日，则D可表为如 1≤r≤2， l0≤0≤2， 从而 ∬do=d0r产sm0d jo听mo -10 〔-0-2 反画出二次积分∫时：层/作，：的积分区线D并交换 积分次序。 [0sys2. 解：D: 2-4-7sxs2+4-2 的图形右图，由图可知，D也可表为 05x54 0sysx-x

3. 计算 ln(100 )d 2 2  + + D x y ，其中 ( , ) 1 2 2 D = x y x + y  . 解：令 x = r cos , y = rsin  ，则 D 可表为：        0 1, 0 2π , r  从而 ln(100 )d 2 2  + + D x y =   +  1 0 2 2π 0 d ln(100 r ) rdr =2 1 0 2 2 2 [(100 )ln(100 ) ] 2 1 π  + r + r − r = (101ln 101−100ln 100 −1)π . 4. 计算 d 2  D y ，其中 D 是由圆周 1 2 2 x + y = 与 2 2 2 x + y = 4π 所围成的平面区域. 解：令 x = r cos , y = rsin  ，则 D 可表为：        1 2π , 0 2π , r  从而 y r r r D d d sin d 2π 1 2 2 2π 0 2 =        = 2π 1 2 4 2π 0 sin ) 4 d (  r   =  −       − 2π 0 4 d 2 1 cos 2 4 1 4π   = 2π 0 4 4 sin 2 2 1 4 1 4π        −      −   =4 4 π π 5 − . 5. 画出二次积分 y f (x y) x y y d , d 2 2 2 4 2 4 2  0  + − − − 的积分区域 D 并交换 积分次序. 解： D ：     − −   + −   2 2 4 2 2 4 0 2, y x y y 的图形如右图，由图可知， D 也可表为       −   0 4 , 0 4, 2 y x x x O x y 2 4

所以交换积分次序后， 阁可=炒。 6利用二重积分求下列几何体的体机： 《1)平面x=0,y=0.:=0,x+y+:=1所围成的几何体. 解：如图，该几何体可看成是以xOy面的区域D: 0≤xs1 0sy≤1- 为底。以平面：一1一x一y为项的柱体，放体积 r---a=。-x-海 可a-咖-5 = (2)平面：=0及抛物面x2+y2=6-:所围成的儿何体。 解：如图，几何体可看成是以xO少面内的区城D:x2+y2≤6为底，以曲面 :=6-x2-y2为顶的曲顶柱体 故体积=厂(6-x之-ydo 令x=rc0s0,y=rsn0, 则D: osrs6. 0s0s2 从 -do 4 =1数 第三节三重积分 思考题： 1,试述计算三重积分的步骤

所以交换积分次序后，得 x f (x y) y x x d , d 2 4 0 4  0  − . 6. 利用二重积分求下列几何体的体积： （1）平面 x = 0, y = 0,z = 0, x + y + z = 1 所围成的几何体. 解 ： 如图，该几何体可看成是以 xOy 面的区域 D ：      −   y x x 0 1 0 1, 为底，以平面 z = 1− x − y 为顶的柱体，故体积 V =    − − − = − − D x x y x x y y 1 0 1 0 (1 )d d (1 )d = y x x x y − − −  1 0 2 1 0 ] 2 d [(1 )  − = 1 0 2 d 2 (1 ) x x 6 1 6 ( 1) 1 0 3 = − = x . （2）平面 z = 0 及抛物面 x + y = 6 − z 2 2 所围成的几何体. 解：如图，几何体可看成是以 xOy 面内的区域 D ： 6 2 2 x + y  为底，以曲面 2 2 z = 6 − x − y 为顶的曲顶柱体. 故体积 V=  − − D (6 x y )d 2 2 令 x = r cos , y = rsin  , 则 D ：        0 2π, 0 6,  r 从 而 V = d (6 r )rdr 6 0 2 2π  0   − = 6 0 4 2 ) 4 2π (3 r r − =18π . 第三节 三重积分 思考题： 1. 试述计算三重积分的步骤. O x y z x O y z

容：(1)面出积分区域2的图形，《2)将2向某个坐标面投影确定积分次序和积分 限，(3)计算累次积分求得结果。 2总结出在不同的坐标系下，区域？的表达式和相应的积分表达式 容：(1》直角坐标下，常将方形减2表为 asxsb 2 (x)sys为(x 5(x)≤：≤2(x,y% 相应的积分表达式为： D (2)柱面坐标系下：常将柱形域表为 as=sb, a≤0sB r(8≤r≤5(0) 相应的积分表达式为 ∬x:ar=∬(rco0.rsn0.:NnNa些 o (rcosdr 《3)球面坐标系下：常将球形域表为 a1≤p≤a R≤BsB, A(0,p)sps月(0p) 相应的积分表达式为知 ∬fyr=∬p8.psns血&.pcse)p'sdpd8dp =套dnesm9eosapsmphapcsppap

答：（1）画出积分区域  的图形, （2）将  向某个坐标面投影确定积分次序和积分 限,（3）计算累次积分求得结果. 2. 总结出在不同的坐标系下，区域  的表达式和相应的积分表达式. 答：（1）直角坐标下，常将方形域  表为  ：            ( , ) ( , ), ( ) ( ), , 1 2 1 2 z x y z z x y y x y y x a x b 相应的积分表达式为：     =  b a z x y z x y y x y x f x y z V x y f x y z z ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 ( , , )d d d ( , , )d （2）柱面坐标系下：常将柱形域表为  ：            ( ) ( ). , , 1  2     r r r a z b 相应的积分表达式为   =   f (x, y,z)dV f (r cos,rsin ,z)rdrddz =    ( ) ( ) 2 1 d d ( cos , sin , ) d        r r b a z f r r z r r . （3）球面坐标系下：常将球形域表为  ：            ( , ) ( , ). , , 1 2 1 2 1 2              相应的积分表达式为：   =   ( , , )d ( sin  cos,  sin  sin ,  cos) sin  d d d 2 f x y z V f r              =              ( , ) ( , ) 2 2 1 2 1 2 1 d d f ( sin cos , sin sin , cos ) sin d . x D y z a O b 1 2 D x y a b   O z D x y z O 1 2 2 1

习题： .计算∬4x+5y+t,其中p由平面x+2y+:=1,x-0,y-0,: 0所围成的空间区域. 解：如图 0sxsl, 0sysl-x 2· 0≤2≤1-x-2y 所以」 4红+5y+tdt-(4x+5+壮 =可4+5n+n =jd+3x+3y-(4x+5y -心a+3x+3-4x+5 =6+3-0+3-倍r山 高5+3对r-0+3r-g =-3.57708 之遮适当的坐标系计算川xt,其中口是由柱面x产+y2-1及平面 三=1，x=0,y=0所围成且在第一井限内的区域 解：如图，进取柱面坐标系计算方便， 0≤：s1, 此时， Q:0sosT 0srsl 所似∬ddt=∫d可月df8:rsm8-d 月20d8r

习题： 1. 计算  + +  (4x 5y z)dxdydz, 其中  由平面 x + 2y + z = 1 , x = 0, y = 0, z = 0 所围成的空间区域. 解：如图  :        − − −     0 2 1 2 , , 2 1 0 0 1, x y x y x 所以     − − − + + = + +  1 0 0 1 2 0 2 1 (4 5 )d d d d (4 5 )d x x y x y z x y z x dy x y z z z x y x y x y z x 1 2 0 2 0 1 0 ] 2 d d [(4 5 ) 2 1 − − = + +   −   − = 2 + + − + 1 0 2 2 2 1 1 0 d [(1 3 3 ) (4 5 ) ]d x x x y x y y 2 1 0 3 3 1 0 (4 5 ) ] 15 1 (1 3 3 ) 9 1 [ 2 1 d x x x y x y − = + + − +  ( x) ( x) x ]dx 15 64 1 3 9 1 5 3 180 1 [ 1 0 3 3 3 2 1  = + − + − ( ) 1 0 4 4 4 ] 5 16 1 3 36 1 (5 3 ) 720 1 [ 6 1 = + x − + x − x = −3.57708. 2. 选适当的坐标系计算   xydxdydz ，其中  是由柱面 1 2 2 x + y = 及平面 z = 1, x = 0, y = 0 所围成且在第一卦限内的区域. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便, 此时，            0 1, , 2 π 0 0 1, : r z   所以     =    x ydxdydz dz d r cos rsin  rdr 0 1 0 2 π 0 1 =   sin 2 d r dr 2 1 3 0 1 0 2 π   = 8 1 4 ) 4 cos 2 ( 1 0 4 2 π 0 −  =  r . O x y z 1 1 2 1 O x y z 1 1

3利用三重积分计算由面x2+y2+:2=R2与自面x2+y2+:2=4R2所围成的立 体体机 解，取球面坐标系计算方梗， RS PS2R. 此时两由面所围区域Q: 0≤p≤x, 0≤8s2点， 所以体积 r=∬aw=后dodop'sno do 2 snodo∫pdp 器 第四节曲线积分 思考题1 1。对坐标的曲线积分∫ P出+Qdy如阿化为一元定积分来计算？ x=o1) 答：将曲线L的方程参数化，设为 并确定L的起点和终点对应的参变 ly=o(n. 量í的植，设为@，B,则曲线积分即可化为对参变量：的定积分，即 SPax+Qdy-)+o((id. 2为什么对坐标的由线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？ 答：因为对坐标的曲线积分的积分城是有向由线段，化为定积分时，积分变量的变化是 有方向的，即从起点到悴点，故下限对应起点，上限对应终点。 习思 1,计算曲线积分 +,L是曲线x-Rcos0,y=rsh0上0由0至号 的一段 解： 山+

3. 利用三重积分计算曲面 2 2 2 2 x + y + z = R 与曲面 2 2 2 2 x + y + z = 4R 所围成的立 体体积. 解：取球面坐标系计算方便. 此时两曲面所围区域            0 2π , 0 π , 2 , :     R R 所以体积     = = R R V dV d d d 2 2 0 2 0    sin      = 2π sin  d  d 2 2 π 0    R R = R R 2 3 0 3 2π ( cos )     −  = 3 π 3 28 R . 第四节 曲线积分 思考题： 1. 对坐标的曲线积分  + L Pdx Qdy 如何化为一元定积分来计算？ 答：将曲线 L 的方程参数化，设为    = = ( ), ( ), y t x t   并确定 L 的起点和终点对应的参变 量 t 的值，设为 ,  ，则曲线积分即可化为对参变量 t 的定积分，即 P x Q y P t t t Q t t t t L d d { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d   + =  +    . 2. 为什么对坐标的曲线积分化为定积分计算时，下限对应起点，上限对应终点？ 答：因为对坐标的曲线积分的积分域是有向曲线段，化为定积分时，积分变量的变化是 有方向的，即从起点到终点，故下限对应起点，上限对应终点. 习题： 1. 计算曲线积分  + L ydx xdy , L 是曲线 x = Rcos , y = rsin  上  由 0 至 4  的一段. 解：  + L ydx xdy O x y 4 π

f店Rs0-(←Rsm)+Rcos0:Reos0u0 2 I. 计算曲线积分，其中L为抛物线 B d.D y=x 上从点1，-)到点倒1，)的一段 4-D 解：以y为参变量，则y从一1变到1，从而 咖y==-号

=   − +  4 π 0 [Rsin  ( Rsin ) Rcos Rcos]d = 2 sin 2 2 cos 2 d 2 4 π 0 4 π 0 2 2 R R R = =     . 1. 计算曲线积分 L xydx ， 其中 L 为抛物线 y = x 2 上从点 A(1,−1) 到点 B(1,1) 的一段弧. 解：以 y 为参变量，则 y 从 − 1 变到 1 ，从而 L xydx = 5 4 5 2 d 2 d 1 1 1 1 4 5 1 1 2 2   = = = − − − y y y y y y . O x y B A （1，−1） （1，1）