第四章中值定理及导数的应用 第一、二节中值定理、罗必达法则 思考题 1用洛达法测求极限时应注意什么？ 容：应注意洛必达法测的三个条件必须同时满足， 2把刺西中值定理中的“fx)与Fx)在阳间区ab上连续”换成“f(x)与F(x)在 开区何(，b)内连续”后。柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需面出函数图象） 说明 答：不成立 图像如下： X 习题 1.用洛必达法测求下列极限： (1)m x-1 (2)lm snx x (3)lim sn(x-) 4)m ”-3n3+2x-snx 发一若 x-x 解：(1)m x2-1 X-】 =m(x+)2 0玉=m cosx=l, (3)lim sin(x-π) -lm cos()=1. 有再 X一元 】 (4)n -3x+2x-mx.m4-6+2-cosx=2-l x-x 4x3-1 0-1 2用洛必达法测求下列极限： (1)m,(2)m0+x
第四章 中值定理及导数的应用 第一、二节 中值定理、罗必达法则 思考题 1.用洛必达法则求极限时应注意什么？ 答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足. 2.把柯西中值定理中的“ f (x) 与 F(x) 在闭间区 a,b 上连续”换成“ f (x) 与 F(x) 在 开区间 (a,b) 内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象） 说明. 答：不成立. 图像如下： 习题 1.用洛必达法则求下列极限： （1） 1 1 lim 2 1 − − → x x x ， （2） x x x sin lim →1 ， （3） ( ) − − → x x x sin lim ，（4） x x x x x x x − − + − → 4 4 2 0 3 2 sin lim . 解：(1) 1 1 lim 2 1 − − → x x x = lim ( 1) 1 + → x x =2, (2) x x x sin lim →0 = x x lim cos →0 =1, (3) ( ) π sin π lim π − − → x x x = ( ) 1 cos π lim π − → x x =1, (4) x x x x x x x − − + − → 4 4 2 0 3 2 sin lim = 4 1 4 6 2 cos lim 3 3 0 − − + − → x x x x x = 0 1 2 1 − − =−1. 2.用洛必达法则求下列极限： （1） x x x → + 0 lim ,（2） ( )x x x 1 0 lim 1+ → . y A B O x
解。mx-meP。cTe9”, 3-+ (2)im(1+x)=lim eoi 及设f八x)=x2-x,直接用柯西中值定理求极限m w 0sn I 解：f0)=0,sn0=0. m 305nx = )-o 05nX-5m0 -lim （任在0与x之即 sin'() =m25--1 400s5 第三节函数的单调性与极值 思考题 L.西图说明闭区间上造续函数(x)的极大植与最值之间的关系 爷：图像如下 由图可知，函数八)的极值续的为利)的极为可能为最值，最值在极 值点及边界点上的函数值中取得， 2可陵极植点有哪几种？如何判定呵能极值点是否为极值点？ 答：对违续函数米说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种。利 用极值的第一充分条件或第二充分条件判定， 习题 1.求x)=x23+3江2在闭区同[55上的极大值与板小值，最大值与最小值 解：(x)=3x2+6x,令f"(x)=0,得x1=0:=-2
解 ：(1) x x x → + 0 lim = x x x ln 0 lim e → + = x x x 1 0 ln lim e → + = x x − → + 0 lim e =1, (2) ( )x x x 1 0 lim 1+ → = x x x 1 ln(1 ) 0 lim e + → = x x x ln(1 ) lim 0 e + → = 1 1 lim 0 e x→ x+ = e . 3.设 f (x) = x − x 2 ，直接用柯西中值定理求极限 ( ) x f x x sin lim →0 . 解： f (0) = 0, sin 0 = 0, ( ) x f x x sin lim →0 = ( ) ( ) sin sin 0 0 lim 0 − − → x f x f x = ( ) ( ) sin lim 0 → f x ( 在 0 与 x 之间) = cos 2 1 lim 0 − → = −1. 第三节函数的单调性与极值 思考题 1. 画图说明闭区间上连续函数 f (x) 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下 由图可知, 函数 f (x) 的极值与最值的关系为： f (x) 的极值为可能为最值，最值在极 值点及边界点上的函数值中取得. 2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？ 答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利 用极值的第一充分条件或第二充分条件判定. 习题 1. 求 3 f (x) = x + 2 3x 在闭区间 − 5,5 上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解： f (x) 3x 6x 2 = + ,令 f (x) = 0 , 得 x1 = 0, x2 = −2, x a 1 x O 2 x 3 x b x y
(x)=6x+6,(0)=6>0,(-2)=60 (0,0)为x)的拐点且O)为x)的楼值 (2)气x)是否一定存在？为什么？图说明 V=Y 答：不一定.如y=x图像如右： Q.0)点为曲线y=x的拐点，但 。不存在 2.根据下列条件，画曲线： (》画出一条由线，使得它的一阶和二阶导数处处为正， 解：如下图
f (x) = 6x + 6, f (0) = 6 0 , f (−2) = −6 0 , ∴ f (x) 的极大值为 f (−2) = 4，极小值为 f (0) = 0 . ∵ f (−5) = −50 , f (5) = 200 . ∴ 比较 f (−5), f (−2), f (0), f (5) 的大小可知： f (x) 最大值为 200， 最小值为 −50 . 2. 求函数 y = x + 1− x 在 [−5 ,1 ] 上的最大值. 解： x y − = − 2 1 1 1 ,令 y = 0 , 得 4 3 x = . ∵ 4 5 ) 4 3 y( = , y(− 5) = 6 − 5, y(1) =1, 比较可知 y = x + 1− x 在 [−5 ,1 ] 上最大值为 4 5 y = . 第四节 函数图形的描绘 思考题 1. 若 ( , ( )) 0 0 x f x 为连续曲线弧 y = f (x) 的拐点，问： （1） ( ) 0 f x 有无可能是 f (x) 的极值，为什么？ 答：可能. 如： ( ) = , 0, , 0, 2 x x x x y x (0,0) 为 y(x) 的拐点且 y(0) 为 y(x) 的极值. （2） ( ) 0 f x 是否一定存在？为什么？画图说明. 答：不一定.如 3 1 y = x 图像如右： (0,0) 点为曲线 3 1 y = x 的拐点，但 0 d d x= x y 不存在. 2. 根据下列条件，画曲线： (1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正. 解：如下图. 3 1 y = x x y O O x y
2)西出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正 解，如下图， 3)画出一条曲线，使得它的得数处处为正严但一阶导数处处为负 解：如下图. (4)画出一条曲线，使得它阶、二阶导数处逊为负。 解：如下图. 习题 0 1.设水以常速m'/s(a>0注入图4一19所示的容卷中，请作出水上升的高度关 于时何1的函数y=)的图像。阐明凹向，并指出拐点 解：函数图像如下： y=f(t) 在区阿包.小上数yf)的图囊上四。在区何k,]上函数y二的国像下四. 点化，化》为函嫩陶像的拐点 图4一19 2(1)了气x)的图像如图一20所示，试根据该图像指出橘数(x)本身拐点横坐标x 的值。 容：拐点横坐标为工=与x■x4
(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正. 解：如下图. (3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负. 解：如下图. （4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负. 解：如下图. 习题 1. 设水以常速 m /s 3 a （ a 0 ）注入图 4—19 所示的容器中，请作出水上升的高度关 于时间 t 的函数 y = f (t) 的图像，阐明凹向，并指出拐点. 解：函数图像如下： 在区间 1 0,t 上函数 y = f (t) 的图像上凹, 在区间 1 2 t ,t 上函数 y = f (t) 的图像下凹, 点 ( ( )) 1 1 t , f t 为函数图像的拐点. 2. （1） f (x) 的图像如图 4—20 所示，试根据该图像指出函数 f (x) 本身拐点横坐标 x 的值. 答：拐点横坐标为 3 x = x 与 4 x = x . 0 1 t 2 t t y = f (t) y 图 4—19 O x y x y O x y O
/x2 x;x b )在函4一21的二阶导数气x)的图像中，有出图轰八x)本身拐点横坐标x的值. 答：书图4一20 图4-21 黑和X=黑3 及求曲线y=10+5x2+号x2的四凸区间与拐点 解：函数的定复域为（一②，+∞）： y'=10x+10x2,y°=10+20x, 令y=0.得x=-2 1 用x-号把（西+）分成(-0宁（←）两部分 当xe(-国宁时，y0， 自线的区间为（兮e以A区阿为-国宁之锅点为一兮总
（2）在图 4—21 的二阶导数 f (x) 的图像中，指出函数 f (x) 本身拐点横坐标 x 的值. 答：拐点横坐标为 1 x = x 和 2 x = x . 3. 求曲线 2 3 3 10 y = 10 + 5x + x 的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为 (− ,+), 2 y =10x +10x , y = 10 + 20x , 令 y = 0 ,得 2 1 x = − , 用 2 1 x = − 把 (− ,+) 分成 ) 2 1 (−,− ， , ) 2 1 (− + 两部分. 当 x ) 2 1 (−,− 时， y 0 , 当 x , ) 2 1 (− + 时， y 0 , 曲线的凹区间为 , ), 2 1 (− + 凸区间为 ), 2 1 (−,− 拐点为 ) 6 65 , 2 1 (− . f a O x1 b x f (x) 2 x 3 x 4 x 图 4—20 图 4—21 a b x f (x) f O 1 x 2 x 3 x 4 x