2002年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学试卷 湿号 三 四 五 六 合计 得分 单项选择要（每小题2分，共50分，每小题选项中只有·个答案是正确的，请 将正确的序号填在题后的括号内》 1.函数y=V16-x2+acsn 2x-1 的定义域为()。 7 (A)2,33,40【3,4) (D)(3,4) 2. 函数y=xlx+Vx2+I)(-0<x<+o)是(0。 (A)偶函数)奇函数(C)奇非偶函数(D)不能断定 3. 点x=0是函数y=e的(). 《A)连续点)可去间断点()跃间断点 D)第二类断点 4. 当x→0时，an2x是()。 (A)比sn5x高阶无穷小B)比sin5x低阶无穷小 (C)与sin5x同阶无穷小D)与sn5x等价无穷小 5, m(,)产的值()，( x-1 A)e (C)e (D)0 6, 函数f(x)在x=xn处的导数f(x。)可定义为(). (A) f()f(o)(B)lim f(x+Ax)-f(x) x-Xo 3+1g Ax (C)lim ()f(o)im f,+△-fs-Ax -0 3n-制 2△x 若m f-f0-,则f0)等于0. 2 (试卷共×页，第×页)
（试卷共×页，第×页） 2002 年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 高等数学试卷 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、单项选择题（每小题 2 分，共 50 分，每小题选项中只有一个答案是正确的，请 将正确的序号填在题后的括号内） １．函数 7 2 1 16 arcsin 2 − = − + x y x 的定义域为（）。 （A） 2,3 (B) −3,4 (C) −3,4) (D) (−3,4) ２． 函数 ln( 1) 2 y = x x + x + (− x +) 是(）。 （A）偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数 (D)不能断定 ３． 点 x = 0 是函数 x y e 1 = 的（）。 （A）连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)第二类间断点 ４． 当 x →0 时， tan 2x 是（）。 （A）比 sin 5x 高阶无穷小(B)比 sin 5x 低阶无穷小 (C)与 sin 5x 同阶无穷小(D)与 sin 5x 等价无穷小 ５． x x x x 2 ) 1 lim ( → − 的值（）．（ A）e (B) e 1 (C) 2 e (D)0 ６． 函数 f(x)在 x= 0 x 处的导数 ( ) 0 ' f x 可定义为（）． （A） 0 0 ( ) ( ) x x f x f x − − (B) x f x x f x x x + − → ( ) ( ) lim 0 (C) ( ) ( ) x f x f x − → 0 lim 0 (D) ( ) ( ) x f x x f x x x + − − → 2 lim 0 0 0 ７． 若 ( ) ( ) 2 2 0 1 lim 0 = − → x f x f x ，则 f (0)等于（）
(A)4)2C) 8, 过曲线y=x+e的点0，)处的切线方程为()， (A)y+1=2(x-0)y=2x+1(©y-2x-3(o)y-1=x 9. 若在区问(a,b)内，导数f(x)>0,二阶导数f“(x)>0,则函数fx)在区 间内是()。 (A)单调减少，曲线是凹的B)单调减少，曲线是凸的 (C)单调增加，曲线是凹的①》单调增加，曲线是凸的 10.西数/)=写之-3x+9x在区间包4止的最大值点为 (A)4(B)0(C2D)3 1山.函数y=f八)由参数方程 定，则少=( y=3e' dx (A) a-o. 12. (a)2x1+周-2xw1+0V1+rm-+x 3.若f6)=(x>0,则f)=(0. 》2x+chx+cg2G+c01 4.设函数f)在(e,+o)上连线，且f)=x2-x厂，则/)为() w-+号@-m+ 15.定积分e的值是( (A)e 、d)eim2 (试卷共×页，第×页)
（试卷共×页，第×页） （A）4(B)2(C) 2 1 (D) 4 1 ８． 过曲线 x y = x + e 的点 (0,1) 处的切线方程为（）。 （A） y +1= 2(x − 0) (B) y = 2x +1 (C) y = 2x − 3 (D) y −1 = x ９． 若在区间 (a,b) 内，导数 f (x) 0 ，二阶导数 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在区 间内是（）。 （A）单调减少，曲线是凹的(B)单调减少，曲线是凸的 (C)单调增加，曲线是凹的(D)单调增加，曲线是凸的 10．函数 f (x) x 3x 9x 3 1 3 2 = − + 在区间 0,4 上的最大值点为（）。 （A）4(B)0(C)2(D)3 11．函数 y = f (x) 由参数方程 = = − t t y e x e 3 5 确定，则 = dx dy （）。 （A） t e 2 5 3 (B) t e 5 3 (C) t e − − 5 3 (D) t e 2 5 3 − 12． + = t dt dx d x 1 3 2 1 （）。 （A） 6 2x 1+ x (B) 6 − 2x 1+ x (C) 6 1+ x (D) 6 − 1+ x 13．若 ( ) ( 0) 2 1 = x x f x ，则 f (x) = （）。 （A） 2x + c (B) ln x + c (C) 2 x + c (D) c x + 1 14．设函数 f (x) 在 (− ,+) 上连续，且 ( ) ( ) = − 1 0 2 f x x x f x dx ，则 f (x) 为（） （A） x x 9 2 2 − (B) x x 9 2 2 + (C) x x 9 2 1 − (D) x x 9 2 1 + 15．定积分 e dx x 1 0 的值是（）。 （A） e (B) 2 1 (C) 2 1 e (D)2
16.若积分 本 一收敛，则k满足() x仙hx (A)>1(B)0),取顺时针方向，则[达-x的俏为 (). (A)0a(C)xa .数项级 1- (其中a为常数)是()。 (A)绝对收敛的B)条件收敛的(C)发散(D)敛散性根据（确定 (试卷共×页，第×页)
（试卷共×页，第×页） 16．若积分 ( ) + 2 ln k x x dx 收敛，则 k 满足（）。 （A） k 1 (B) k 1 (C) k = 0 (D) k = e 17．直线 4 1 1 2 3 2 : − = − + = x − y z L 与平面 : 6x − 2y + 8z − 7 = 0 的位置关系为（）。 （A）直线 L 与平面 平行但不共面(B)直线 L 与平面 垂直 (C)直线 L 在平面 上(D)直线 L 与平面 斜交 18．设 2 2 x y z e + = ，则 dz = （）。 （A） ( ) 2 2 e xdx ydy x y + + (B) 2 ( ) 2 2 e xdx ydy x y + + (C) 2 ( ) 2 2 e ydx xdy x y + + (D) 2 ( ) 2 2 2 2 e dx dy x y + + 19．函数 2 2 z = 1− x + y 的极值点是函数的（）。 （A）可微点(B)不可微点(C)驻点(D)间断点 20． = 1 0 2 0 cos dx x ydy （）。 （A） 3 1 (B) 3 2 (C) 1 (D) 3 2 − 21．设 I dy f (x y)dx y y = 2 0 2 2 , ，更换积分次序后， I = （）。 （A） dx f (x y)dy x x 2 0 2 2 , (B) dx f (x y)dy x x 4 0 2 , (C) dx f (x y)dy x x 2 0 2 2 , (D) dx f (x y)dy x x 4 0 2 , 22．若曲线 L 是上半圆 2 2 2 x + y = a (y 0) ，取顺时针方向，则 − L ydx xdy 的值为 （）。 （A） 0 (B) 2 2 a (C) 2 a (D) 2 2 a − 23．数项级数 ( ) − − = n a n n 1 1 cos 1 （其中 a 为常数）是（）。 （A）绝对收敛的(B)条件收敛的(C)发散(D)敛散性根据 a 确定
24.函数y=csnx(其中C为任意常数)是微分方程y+y-0的(). (A)通解B)特解(C)解(D)不是解 25.微分方程y+2y+y=0的通解为()(A)C,e+C2ee (B)C+Ce (C)Ce-+Ce*(D)(C+C2x)e 二、填空题（每小题2分，共30分） l.设fe）=xx>0),则fx)= 2.设f(x)= x≤0 在x=0处连续，则b=, ax2+b x>0 3.lim 近-.4.设y=h2则少= x-1 2 5.设y=x2以f为可导数.则血=。6.若x+y=a,则中= 的水平浦近线是。 8.若fx)的一个原函数是e+simx,则f"(x)=. 1.若直领L:-1.牛3_-5与平面石x-2y+:-1=0平行 m2-1 则m=。 12.设fx只)=n(y+,则f(1,20)= 18.若函数：=(，)由方程e-=0确定，则二= x 14,设区域D:0sx≤L.0≤y≤l,则积分ek= 15.微分方程y'+y=n(其中m,n为常数，且m≠0)，则满足条件0)=0的特 (试卷共×页，第×页)
（试卷共×页，第×页） 24．函数 y = c sin x （其中 C 为任意常数）是微分方程 y + y = 0 的（）。 （A）通解 (B)特解(C)解(D)不是解 25．微分方程 y + 2y + y = 0 的通解为（）（A） x x C e C e 1 + 2 − e (B) x C C e − 1 + 2 (C) x x C e C e − − 1 + 2 (D) x C C x e − ( + ) 1 2 二、填空题（每小题 2 分，共 30 分） 1．设 f (e ) = x(x 0) x ，则 f (x) =。 ２．设 ( ) 2 0 0 x e x f x ax b x = + 在 x = 0 处连续，则 b =。 ３． = − − → 1 1 lim 3 1 x x x 。４．设 ln(ln ), 2 y = x 则 dy = 。 5．设 ( ) 2 y = f sin x ， f 为可导数，则 = dx dy 。6．若 3 2 3 2 3 2 x + y = a ，则 = dx dy 。 7．曲线 y = x − arctan x 2 的水平渐近线是。 8．若 f (x) 的一个原函数是 e x x + sin ，则 f (x) =。 9． ( ) = + x x dx 1 。10． = 0 2 2 sin dx x 11．若直线 1 5 2 1 3 : − − = + = − y z m x L 与平面 : x − 2y + z −1 = 0 平行， 则 m =。 12．设 f (x, y,z) = ln(xy+ z) ，则 ( ) = f x 1,2,0 。 13．若函数 z = z(x, y) 由方程 e − xyz = 0 z 确定，则 = x z 。 14．设区域 D : 0 x 1, 0 y 1,则积分 = + e dxdy D x y 。 15．微分方程 y + my = n （其中 m, n 为常数，且 m 0 ），则满足条件 y(0) = 0 的特
解为」 三、判断是非题（每小题2分，共10分，判断下述结论是否正确，若正确的请划“√”， 否则请划“x 1,定义在关于原点对称的区间上的任何函效(x》均可表示为一个偶函数和一个奇函 数之和。() 2。设函数f(x)在x=x。处的导数不存在，则曲线yf(x)在(x》处无切线。 3.若f(x)与g(x)均在x■x。处取得极大值，则f(x)g(x》在x■x。处也取得极大值。 4.若川f(x,yHo≥0，则k,≥20，k,eD.0 5.若正项级数∑a,收敛，则级数∑a,2收效。(O 四.计算题（每小题5分，共40分） 设y=3,求 在 3.计算 4.计算 arctan xdx x+1 5.设：=y+八x,y),其中fxy)为可微函数，求止。 6.设D是由直线x=Ly=2,y=x-1所出成区域，求川cosyd. 7.将腰数八x)=h(0+x)展开x-1的幂级数，并写出收敛区间。 8.求微分方程0-xsnx处+x小=0的通解. 五.应用趣（每小题7分，共14分） 1求锅数付-+右的单服御、侵价、巴6区间及得点。 2.设过画线y=x2(之0)上的点Px。,)作一切线，使得曲线、切线及x轴所国图 (试卷共×页，第×页)
（试卷共×页，第×页） 解为 。 三、判断是非题（每小题２分，共 1０分，判断下述结论是否正确，若正确的请划“√”， 否则请划“X”） １．定义在关于原点对称的区间上的任何函数 f(x)均可表示为一个偶函数和一个奇函 数之和。(） ２．设函数 f(x)在 0 x = x 处的导数不存在，则曲线 y=f(x)在 ( ( )) 0 0 x , f x 处无切线。 （ ） ３．若 f(x)与 g(x)均在 0 x = x 处取得极大值，则 f(x)g(x)在 0 x = x 处也取得极大值。 ( ） ４．若 ( , 0 ) D f x y d ，则 f (x, y) 0,(x, y)D 。（） ５．若正项级数 n=1 n a 收敛，则级数 =1 2 n an 收敛。（） 四．计算题（每小题 5 分，共 4０分） 1.求 3 1 3 1 lim x→− x x 1 1 − + + 2．设 x x y 1 tan 3 + = ，求 dx dy 。 3．计算 +1 2 2 x x dx 4．计算 3 0 arctan xdx 5．设 z y xf(x, y) 3 = + ，其中 f (x, y) 为可微函数，求 dz 。 6．设Ｄ是由直线 x = 1, y = 2, y = x −1 所围成区域，求 D y dxdy 2 cos 。 7．将函数 f (x) = ln(1+ x) 展开 x −1 的幂级数，并写出收敛区间。 8．求微分方程 (y − xsin x)dx + xdy = 0 的通解。 五．应用题（每小题 7 分，共 14 分） 1．求函数 ( ) 1 1 + = + x f x x 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点。 2．设过曲线 ( 0) 2 y = x x 上的点 ( ) 0 0 P x , y 作一切线，使得曲线、切线及 x 轴所围图
形的面积为、1)求切点P的坐标(】 (2)求切线方程。 六.证明题(6分) 试证：对任意自然数n>1,方程x”+x+十x=1在（行）内有唯一实数根。 (试卷共×页，第×页)
（试卷共×页，第×页） 形的面积为 12 1 。（1）求切点Ｐ的坐标 ( ) 0 0 x , y (2)求切线方程。 六．证明题（6 分） 试证：对任意自然数 n 1 ，方程 1 1 + + + = − x x x n n 在 1 ( ,1) 2 内有唯一实数根