期中考试 15.084J/6.252:非线性规划 1998-3-19 姓名： 这是一次闭卷测试. 泸将你的答案写在所提供的试卷空白处。请写清楚，你的成锁将有一部分 取决于你所写答案的清晰度. 每邀的分值在问邀后面已标出
emdg 15.084J/6.252J: `klb 1998-3-19 ;{ P&_ U,( 8L %<,_e$8", LUI8 `J 8( ,00 x&,8WL.&EyA!
问题1：(10分) 在课堂中，已经花费了大量时间来扩展和讨论有关牛镇法和最速下降法的 两种无约束优化方法： (@)和牛顿法相比，列出儿条最速下降法的代点。请对每一条优点做简要说 明 (似)和最速下降法相比，列出几条牛顿法的优点。请对每一条优点做简要说 明
ji 1 10 a Ld!YA[F7p)oRhgNC"tI>24C^ 1V4, nZ/KHH54 (a) C243q!P'^ 1V4,H-1x'H-_S? z (b) C^ 1V43q!P'24,H-1x'H-_S? z 2
问题2：(15分灣 规虑f红)是上的划微凸已数.试证下于任何玉，衫∈，无有 (f)-7f0eje-之0 成线 3
ji 2 15 a bs f(x) ℜ n Æ, +*AT1J D x, y ∈ ℜn /I (∇f(x) − ∇f(y))(x − y) ≥ 0 k 3
问题3任(15分) 考志问题(P: (): -1- -2+6号-91+x-10 ≤0 -2+14≤0 -5 ≤0 (@点(,),1④满足Karush--K-Tucker于者rit的关于局数极小 点的试要条证吗？为什么？ ()考虑一胶规知P: (F):minminze f(x) st.g)≤0，i=1,,m ￥∈ 肴z是满足问题(P)的Karush-Kuhn--Tckg条证的唯一点，下是间题(P)的最 优解吗？证明你的答案
ji 3 15 a bs.& (P): (P) : minimize −x1 − x2 s.t. −x 3 1 + 6x 2 1 − 9x1 + x2 − 10 ≤ 0 − x2 + 14 ≤ 0 x1 − 5 ≤ 0 (a) - (x1, x2) (1, 14) v℄ Karush-Kuhn-Tucker JO Fritz John ,>J℄M6 -,?'Tu -w (b) bs?G (P): (P) : minminze f(x) s.t. gi(x) ≤ 0, i = 1, . . ., m x ∈ ℜn x v℄.& (P) , Karush-Kuhn-Tucker 'T,,- x .& (P) ,^ HZu Tz,( 4
问题4：(15分) 考虑问次： AX- (中f倒)连续可微，令云满足上述化优问次中唯条证，：-方.了f国点回 绩=卫为唯处度. 回绩最阵Q=「唯，况对，分出最速对降大花成法缴=T为唯方方搜索问 次 )考虑有以对唯政几题器大花问次： (-d) s.t. 4d-0 大花问次Po可唯Karushr-Kur-Tucker条证闭什么？儿费条证闭充要条证吗？ 点什么？ 心令a点最速对降大花方方，且令i点大花同次P)唯解，说明几两个方 方闭相答唯（相差一个常部唯倍部
ji 4 15 a bs.& minimize f(x) s.t. Ax=b x ∈ ℜn Y f(x) l= +r x v℄ÆHH.&Y,'T Ax = b ∇f(x) - f(x) L x = x -,$0 (a) L^Q Q = I ,f18!^ 1V)F 4L x = x -,55 . & (b) bsIB1,Pi+)F.& Proj(x): minimized 1 2 (k −∇f(x) − d k) 2 s.t. Ad=0 )F.& Proj(x) , Karush-Kuhn-Tucker 'Tw P7'T ?'Tu -w (c) r d -^ 1V)F55r ˜d -)F.& Proj(x) ,ZzPn;5 53(,3; , 5
问题5：(15分) 考虑将最速下降算法应用到如下问题： 其中Q为一对称正定矩阵， (a)假定y=Mr为变量r的一个线性变换，其中M是一个可逆的nxn矩阵. 写出关于变量g上的最小值问题(P),称此转换后的向题称为(B).(Pw)的 二次日标函数的矩阵是什么？ )在最速下降算法的执行过程中，收敛速度容易受矩阵Q的特征值结构的 彩响。假定这一特征值的结构已知，即存在一标准正交矩阵R和一对角矩阵 D,满足 试在R和D的基础上枸造矩阵M使转换向题(B)有一个“好”的实特征值 结构，并能使最速下降算只要一步就收数 6
ji 5 15 a bsU^ 1V 4EG* 1.& (P) : minimizex 1 2 x TQx + cT x (1) Y Q -1 S.^Q (a) Q. y = Mx -o x ,;2:IY M ; , n×n ^Q 8!>Jo y Æ,^6W.& (P) %[IE,.& - (PM) (PM) , 3&|A,^Qw (b) L^ 1V 4,V9 Ym 0 C^Q Q ,#RWY=, F4Q.P#RW,Y=AUO'L\SW^Q R C1X^Q D v℄ Q = RDRT L R C D ,K#Æ=M^Q M [I.& (PM) I;B,#RW Y=}^ 1V X<?\m 6
问题6：(15分) 令X为”上一开集，假定对任意￥∈X,(x)是一个非负凸函数，并且 对任意xX(x)是一正的严格凹雨数。明函数： f(r)=e) g(z) 2☒ 在X上是一个拟凸函数 提示：利用函数)的水平集 7
ji 6 15 a r X - ℜ n ÆaNQ.1 D x ∈ X h(x) ;69*A 1 D x ∈ X g(x) S,>:ÆATzA f(x) = h(x) g(x) (2) L X Æ;~*A hf: jGA f(x) ,N 7