麻省汪工学院 比气工程与机料学乘 8.977半导体光电子学-2002年秋 习题1一半与沐电了学 刊题1此警的旦的推导半导体》米积分的叙竹。做没Gx(出度300g时，品，-10的的 兰上沫度为I0>-1cm', ▣利用波尔兹曼统计，计算并耳出以施主沫度为函数变量的费米後级。 在扁淡杂沫发时，半学体中的电了占有几华按近于金城，受紧能级位丁安布中，费米-我拉 克数正似为T-0。对此约束一效称为常术菲《Scmerfeld)近似，证明线流千密度变化正比 e.数值估算费米-张拉克积分于ermi-Dirac imegral。利用数值积分，雅定我兼营国桂费米使级的 计屏在被尔蕊父〔H1mm)近似下精角到1%，以及指欢范州使费紧能极本家木f (Somnerfeld)近似下精作到I%. d.当华导体中的费米能领位干号替或价带中时，都将会简并。当擦杂浓度为多少时在型村网 中发生简并： e.隆定G1As酸修来受主，向不是储主时的贵米能馒。包括光与重空穴之间价市简并的影响， 但不是包括分离能带的影响。当渗煮浓度为多少时G道As发生同并？
麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6.977 半导体光电子学 – 2002年秋 习题 1 – 半导体电子学 问题 #1 此问题的目的是推导半导体费米积分的近似值。假设GaAs(温度300K时，Ni = 106 ) 的 施主浓度为1015～1019cm-3。 a. 利用波尔兹曼统计，计算并画出以施主浓度为函数变量的费米能级。 b. 在高掺杂浓度时，半导体中的电子占有几率接近于金属, 费米能级位于导带中，费米-狄拉 克函数近似为T=0。对此约束—被称为索末菲（Sommerfeld）近似,证明载流子密度变化正比 于 ( ) 3 / 2 ~ ú û ù ê ë é - kT E E N F C c. 数值估算费米-狄拉克积分Fermi-Dirac integral。利用数值积分，确定掺杂范围使费米能级的 计算在波尔兹曼（Boltzmann）近似下精确到1%，以及掺杂范围使费米能级在索末菲 （Sommerfeld）近似下精确到1%。 d. 当半导体中的费米能级位于导带或价带中时，都将会简并。当掺杂浓度为多少时在n-型材料 中发生简并？ e. 确定当GaAs被掺杂受主，而不是施主时的费米能级。包括光与重空穴之间价带简并的影响， 但不是包括分离能带的影响。当掺杂浓度为多少时GaAs发生简并？
问题2此问想的日的在于使你然悉在来平衡状态下的载流子浓度计草.用波长519m的光束题 射一片状GaAs,在此被长下，GaAs的吸收系数a■l0em',多子载流子寿命(The excess carrier 1 ifetines》为，ts:并且GaAs片的厚度运大于/a. ↓0↓0000 L a角定多子电子分布(excess electron distribution)2N,入射光功率分别为P-l,10.和 100mW,入射完面积为50u2。忽略载流子扩散。只需函出样品在0-5m深度的分布情况。 b.找出多子电子分布与准费米能级E)之间的关系，西出当入射光功率不同时0-5m深度处的 Exx). 。因为G向As片的厚度远大于/a,所以能计算总的光生载流子沫度。假设在长度)方向加上直 流电场，确定由蓝加的电场和入射光引起的光生电流。 4此种光电展测落被称为光电导探测墨。从（中可以看出总电流大于P%》,当每一个光子 均懂发一个电子时得到的电流大小。由于存在额外的光电流，必然有电增益。这一增益的物 理来潭是什么？
问题 #2 此问题的目的在于使你熟悉在非平衡状态下的载流子浓度计算。用波长519nm的光束照 射一片状GaAs。 在此波长下，GaAs的吸收系数a=104 cm-1，多子载流子寿命（The excess carrier lifetimes）为 t p=t n=1 ns，并且GaAs片的厚度远大于1/a。 a. 确定多子电子分布（excess electron distribution） ?N(x)，入射光功率分别为P=1, 10, 和 100 mW，入射光面积为50µm 2。 忽略载流子扩散，只需画出样品在0-5µm深度的分布情况。 b. 找出多子电子分布与准费米能级Efc(x)之间的关系。画出当入射光功率不同时0-5µm深度处的 Efc(x)。 c. 因为GaAs片的厚度远大于1/a，所以能计算总的光生载流子浓度。假设在长度(L)方向加上直 流电场，确定由施加的电场和入射光引起的光生电流。 d. 此种光电探测器被称为光电导探测器。从(c)中可以看出总电流大于qP/h? ， 当每一个光子 均激发一个电子时得到的电流大小。由于存在额外的光电流，必然有电增益。这一增益的物 理来源是什么？
问题#3此阿愿的目的是使你热悉5iws,若一PI结型完电二极管由厚度为1m的两层害 桑山。Ga,As,和一厚度为05um的本狂Ga4s层（未携条）成。假设每一AG4As区域施主/ 受主的携柔浓度为5x10”c3,利用5 iatindows得到此习题的所有数据。 AleGaoAs GaAs AlGaoAs 1 Hm 0.5m1m a写出操述此器件的器件说明书， b以位置变化为变量，函出能带结构，电子等效质量(eeee始effective mass)。和介电常数。 e分别通出当外加偏置V0.V=0.5优特和V一2伏特时随位置变化的便警图和准费米能级， d.采用对数警标，面出当外如偏置V-0,V=+05伏特和V=2伏特时随位置变化的电子、空六密 度。 《.函出此二极管的1-V曲线。最大正向偏压采用当电流密度为IkAm时的电压，最大反向偏压 V-5线精. ￡当正向偏置电流密度为IkA/cm时，有多少从区注入G地As的电子电流在GaAs中复合？
问题 #3 此问题的目的是使你熟悉SimWindows。若一PIN结型光电二极管由厚度为1µm的两层掺 杂Al0.2Ga0.8As，和一厚度为0.5µm的本征GaAs层（未掺杂）组成。假设每一Al0.2Ga0.8As区域施主/ 受主的掺杂浓度为5x1017 cm-3。 利用SimWindows得到此习题的所有数据。 a. 写出描述此器件的器件说明书。 b. 以位置变化为变量，画出能带结构，电子等效质量（electron effective mass），和介电常数。 c. 分别画出当外加偏置V=0, V=+0.5伏特和V=-2伏特时随位置变化的能带图和准费米能级。 d. 采用对数坐标，画出当外加偏置V=0, V=+0.5伏特和V=-2伏特时随位置变化的电子、空穴密 度。 e. 画出此二极管的I-V曲线。最大正向偏压采用当电流密度为1kA/cm2时的电压，最大反向偏压 V=-5伏特。 f. 当正向偏置电流密度为1kA/cm2时，有多少从n区注入GaAs的电子电流在GaAs中复合？
麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6977半导体光电子学-2002年秋 ATAB,习题1补充材料 本文档旨在作为MATLAB初学者的使用指南。及有ATAB使用经验者的相关案例， 以下是ATLAB在费米-我数克积分及其反函数中的应用范例。费米-迫拉克积分采用'ud8 两数来进行数值计算。对贵米-迪拉克积分的反函数的估计有一定的技巧性。此算法是披素与一 定的积分值相对应的费米能级。 function fd=fermi(y.v) fd=fermi(y,v) This is the integrand of the Fermi-Dirac integral from $p.416 of C&C, see also FERMIDIRACINT.M This is a simple example of a function in MATLAB.In the first line, function is the key word that lets matlab know that you are writing s function.The fd on the left hand side of the equal sign is the output argument.what is returned by the function.on the right hand side of the equal sign is the function name,fermi,with s the input arguments in parameters.Note how fd.y.and v are used in the function below. To call this function.type: >blah fermi(1.3) blah will be equal to sqrt(1).1+exp(1-3)). fd sqrt(y)./(1+exp(y-v)): note the dot preceeding the divide.This indicates an s element by element division for the vectors y and v. In general,a dot before an operator modifies it from a s matrix operation to an element by element operation. .The MathWorks Inc.MATLAB,Simulink.Stateflow.Handle Graphics,and Real-Time Workshop are registered trademarks.and TargetBox is a trademark of The MathWorks. Ine
麻省理工学院 电气工程与计算机科学系 6.977 半导体光电子学 – 2002年秋 MATLAB® * 习题1补充材料 本文档旨在作为 MATLAB® 初学者的使用指南，及有 MATLAB® 使用经验者的相关案例。 以下是 MATLAB® 在费米-狄拉克积分及其反函数中的应用范例。费米-迪拉克积分采用‘quad8’ 函数来进行数值计算。对费米-迪拉克积分的反函数的估计有一定的技巧性。此算法是搜索与一 定的积分值相对应的费米能级。 function fd = fermi(y,v) % fd = fermi(y,v); % % This is the integrand of the Fermi-Dirac integral from % p. 416 of C&C. % % see also FERMIDIRACINT.M % This is a simple example of a function in MATLAB. In the first line, % function is the key word that lets matlab know that you are writing % a function. The fd on the left hand side of the equal sign is % the output argument, what is returned by the function. on the % right hand side of the equal sign is the function name, fermi, with % the input arguments in parameters. Note how fd, y, and v are used % in the function below. % % To call this function, type: % >> blah = fermi(1,3) % blah will be equal to sqrt(1)./(1+exp(1-3)). fd = sqrt(y)./(1+exp(y-v)); % note the dot preceeding the divide. This indicates an % element by element division for the vectors y and v. % % In general, a dot before an operator modifies it from a % matrix operation to an element by element operation. * The MathWorks Inc. MATLAB, Simulink, Stateflow, Handle Graphics, and Real- Time Workshop are registered trademarks, and TargetBox is a trademark of The MathWorks, Inc
function fdi fermidiracintv) fdi fermidiracint(v) This function returns the Fermi-Dirac integral of order 1/2 givein in p.416 of C&C see also FERMI.M relative and absolute tolerance tol [1e-3.1e-4]:pass [to use defaults “444“““444““““44“““““4“““444““““44““““444““444““““444出““44出“““ quads is some kind of numerical quadrature to approximate s the integral.>>help quad8 OR >>type quad8 for more details 多 help is the most valuable matlab command. type lets you see what the toolbox is doing.another way to leam matlab tricks. 线生出”生生生生生里生生” warning off;turns off the warings fdi zeros(size(v)):initializes fdi to a vector of geros the same size as v s step through each v and numerically integrate using a numerical quadrature.The first argument is the name of the function that returns the integrand.The second and third are the limits of s integration.The third and fourth are the tolerance and the number s of points for graphical output,the last is a parameter that is passed to fermi(integration_variable.parameter): for I=1:length(v) fdi(I)=quadB('fermi'.0.max(40.v(D)*2).[].[].v(D): index vectors and matricies with parentheses. end warning on；等turn on warnings. you will get warnings about reaching the recursion level limit s if you leave warnings on.This is due to the sharp slope of the Fermi-Dirae integrand near y=0.compare the result with trapz. s To check that it is correct
function fdi = fermidiracint(v) % fdi = fermidiracint(v); % % This function returns the Fermi-Dirac integral of order % 1/2 givein in p. 416 of C&C % % see also FERMI.M % relative and absolute tolerance tol = [1e-3, 1e-4]; % pass [] to use defaults % % quad8 is some kind of numerical quadrature to approximate % the integral. >>help quad8 OR >>type quad8 for more details % % help is the most valuable matlab command. % type lets you see what the toolbox is doing, another way to % learn matlab tricks. % warning off; % turns off the warnings fdi = zeros(size(v)); % initializes fdi to a vector of zeros % the same size as v % step through each v and numerically integrate using a numerical % quadrature. The first argument is the name of the function that % returns the integrand. The second and third are the limits of % integration. The third and fourth are the tolerance and the number % of points for graphical output, the last is a parameter that is % passed to fermi(integration_variable,parameter); for I = 1:length(v) fdi(I) = quad8('fermi',0,max(40,v(I)*2),[],[],v(I)); % index vectors and matricies with parentheses. end warning on; % turn on warnings. % you will get warnings about reaching the recursion level limit % if you leave warnings on. This is due to the sharp slope of the % Fermi-Dirac integrand near y=0. compare the result with trapz. % To check that it is correct