麻省理工学院 物理学系 课程：8.09经典力学 学期：2006年秋季 测验1 2006年10月4日 说明 ·不要在被允许前开始答题。 ·解决所有的问题。 ·在所有你用到的笔记本的封面上写上你的名字。 ·将所有的答案都整洁的书写在蓝皮书上，并且标明各题的题 号。 ·在最终结果上标注记号。 ·不要使用书本和笔记。计算器也并非必要
1 麻省理工学院 物理学系 课程：8.09 经典力学 学期：2006 年秋季 测验 1 2006 年 10 月 4 日 说明 ● 不要在被允许前开始答题。 ● 解决所有的问题。 ● 在所有你用到的笔记本的封面上写上你的名字。 ● 将所有的答案都整洁的书写在蓝皮书上，并且标明各题的题 号。 ● 在最终结果上标注记号。 ● 不要使用书本和笔记。计算器也并非必要
有用的公式 牛顿力学和基木运动学： P=户=ma for v<c r=民+「da F-元+v+了ar了F/nm 0 拉格阴日和哈密顿函数： Ug.g)=T-U:H(p.g)=T+U=pq-L 款拉控格朗日方程： aL daL=0: adh就 张尝0 血业试 球坐标 x=rsindcosd:y=rsinosin::=reos0 柱坐标： x=rc0s◆1y=rsin:■： 可能用到的积分公式： 1+x2 arctan(x); =arctanh(x）
2 有用的公式 牛顿力学和基本运动学： F p ma = = G G G for v c << 0 0 0 0 0 0 ( )/ t t t tt tt t t v v dt a r r v t dt dt F t m ′= ′= ′ ′′ = = ′ ′′ = = = + ′ =+ + ′ ′′ ′′ ∫ ∫ ∫ GG G G GGG 拉格朗日和哈密顿函数： Lqq T U (,) = − ； H p q T U pq L (,) = += − 欧拉-拉格朗日方程： 0 L dL x dt x ∂ ∂ − = ∂ ∂ ； 0 a a a L dL g x dt x x λ ∂ ∂ ∂ − + = ∂∂ ∂ ∑ 球坐标： x r = sin cos θ φ ； y r = sin sin θ φ ； z r = cosθ 柱坐标： x r = cosφ ； y r = sinφ ； z = z 可能用到的积分公式： 2 arctan( ) 1 dx x x = + ∫ ； 2 arctanh( ) 1 dx x x = − ∫
问题一：变摆长单摆问题(35分) 考必一个由一原长为L的绳和系在其上的质量为m的重物构成的单摆。在单摆被释放、 开始运动后（当：=0时），绳长开始以恒定的速率 d业 =区■COn5W 山 增长。摆的悬点保持图定。 a》此系笼有儿个自由度？ 6)写出此摆的拉格朗日函数并计算 ,它是香为0？ d ©》写出觉摆的运动微分方程，但不需要求解，证明当《=0时摆的运动方程即为恒是理长 的单摆的运动方程。 d)写出此系统的哈密领函数。 ©》计算系饶的总机械能并将其与系烧的哈密领函数比较。 )此系统的机械能并不守恒，其变化率是多少？给出修量变化米源的物理解释并计算流入 (流出)系统的能流的大小。 问题二：旋转丝上的质点(35分) 一个质量为用的质点技的束在一根光滑的直的细從上运动。如图1所示，细候在垂直 平面内以恒定角速度Ω威转。整个系统处在重力如速皮为8、方向竖直向下的重力场中。 当：=0时质点相对干细丝静止。并且质点距转轴的距离为R。· 》在极坐标系中写出一个重力场中钓束在重直平面上的自由质点的拉格期日角数。 b)写出使质点保持在旋转的细能上的的束方程。 ©》引入拉格朗日乘子，写出各个坐标分量上的运动方程
3 问题一：变摆长单摆问题（35 分） 考虑一个由一原长为 的绳和系在其上的质量为 m 的重物构成的单摆。在单摆被释放、 开始运动后（当 时），绳长开始以恒定的速率 L t = 0 dL constant dt = = α 增长。摆的悬点保持固定。 a） 此系统有几个自由度？ b） 写出此摆的拉格朗日函数并计算 L t ∂ ∂ ，它是否为 0？ c） 写出此摆的运动微分方程，但不需要求解。证明当α = 0 时摆的运动方程即为恒定摆长 的单摆的运动方程。 d） 写出此系统的哈密顿函数。 e） 计算系统的总机械能并将其与系统的哈密顿函数比较。 f） 此系统的机械能并不守恒，其变化率是多少？给出能量变化来源的物理解释并计算流入 （流出）系统的能流的大小。 问题二：旋转丝上的质点（35 分） 一个质量为 的质点被约束在一根光滑的直的细丝上运动。如图 1 所示，细丝在垂直 平面内以恒定角速度Ω 旋转。整个系统处在重力加速度为 、方向竖直向下的重力场中。 当 时质点相对于细丝静止，并且质点距转轴的距离为 m g 0 t = 0 R 。 a） 在极坐标系中写出一个重力场中约束在垂直平面上的自由质点的拉格朗日函数。 b） 写出使质点保持在旋转的细丝上的约束方程。 c） 引入拉格朗日乘子，写出各个坐标分量上的运动方程
4 (图一：旋转收上的质点) )得到各的束力的表达式，并给出这些力的物理解释。 》如果角速度卫充分大，则质点可以从转轴处运动到旋转丝的各处。为了保证上述情况， 角速度的最小值是多少？ 问题三：双摆(30分) 考虑一个由两个质量分别是刷和刷的重物以及用于连接它们的长度分别是和L 的刚性轻杆所组成的系统（如图二所示）。在双摆运动的过程中两重物均保持在垂直平面内。 ●m (图二：双摆) a)此系统有儿个日由度？ b)写出此系统的拉格铜日函数。 ©》写出此系统的运动微分方程。不看要求解
4 （图一：旋转丝上的质点） d） 得到各约束力的表达式，并给出这些力的物理解释。 e） 如果角速度Ω 充分大，则质点可以从转轴处运动到旋转丝的各处。为了保证上述情况， 角速度的最小值是多少？ 问题三：双摆（30 分） 考虑一个由两个质量分别是 和 的重物以及用于连接它们的长度分别是 和 的刚性轻杆所组成的系统（如图二所示）。在双摆运动的过程中两重物均保持在垂直平面内。 m1 m2 L1 L2 （图二：双摆） a） 此系统有几个自由度？ b） 写出此系统的拉格朗日函数。 c） 写出此系统的运动微分方程。不需要求解