麻省理工学院 物理系 课程8.09经典力学 学期2006秋季 测验2 2006.11.15 须知： 一宣布答题开始后，方可答题 解决所有问题 -在你所使用的记事本的封面上都些上你的名字 -在白皮书上书写清楚，标好避号 一在最后结果上划线 -书和笔记木不可以使用，但你可以使用计算器 有用的公式： 牛顿运动学公式 f=市=ma for v家C t'et =场+da ++信 dt"F(")/m 万有引力定律 = Gm2712 品 拉格朗日，哈酱顿原理 L(q,）=T-U 89-1 H(p,q)=T+U=P 哈密顿正则方程
麻省理工学院 物理系 课程 8.09 经典力学 学期 2006 秋季 测验2 2006.11.15 须知: -宣布答题开始后,方可答题 -解决所有问题 -在你所使用的记事本的封面上都些上你的名字 -在白皮书上书写清楚,标好题号 -在最后结果上划线 -书和笔记本不可以使用,但你可以使用计算器 有用的公式: 牛顿运动学公式 万有引力定律 拉格朗日,哈密顿原理 哈密顿正则方程
8H 8西 。-成 8旺=4 B 广义坐标 aF(Q.9)-p: 8F(Q4=-P 两 Q 泊松括号 [9,f1= 8g 8f 8g8f 8g Op Op 0q 拉格朗日方程（完整系统与非完整系统） OL d oL Ox dt Bi =0: aL d oL 0证dt8 +A g-0 O 极坐标 =rsin 6 cos;y=r sin6sin z=r cos 轨道方程 u"+u= F(u) 2u2 with u=1 有效势 2 V(r)=U(r)+ 2ur2 开普勒轨道方程 Um)=- =ccos8+1 2E2 0= =1+ Ak2i rn=a1-=1+e romt =a(l+c)=1-8 球坐标 x=rsin cos女；y=r sinsin;z=rcos0 恢复系数
广义坐标 泊松括号 拉格朗日方程(完整系统与非完整系统) 极坐标 轨道方程 有效势 开普勒轨道方程 球坐标 恢复系数
f= 2- 2一1 散射 (0-b de bdb 0 dosin 0do= sin d sin tan砂= c0w8+(m1/m2 6=2-2 同定坐标系下的速度和与之固连的转动坐标系速度的关系 +@× 同定坐标系下的加速度和与之固连的转动坐标系加速度的关系 =日--（位×月-2@×的-(@×(@×） 有用的三角变换 sin(A+B)sin Acos B+co AsinB; c08(A B)cos Aoos B-sin Asin B; 问题1正则变换(35') 考虑相空间中的谐振子问愿H。卫，m旷过 2m2 引入从g)和)到Q)-t+)和P)-t+t)的变换，r是常量.试找出这 个正则变换的生成函数F(Q,), 1.写出哈密顿运动方程和任意初始条作下的g()和风) 2.将P和D写成只含有q,Q.m,,T的函数.你可以先将P和Q表示成为p和g的函 数，然后做适当的形式变换，注意所有这些表述都是不含时间的， 3.将D表示为q的积分，得到含q的F.注意结果中应当包含积分常数(g)C(Q) 4.用PQ,)的方程找到C(Q),然后写出F(Q,g) 5.验证F(Q,)是正确的生成函数
散射 固定坐标系下的速度和与之固连的转动坐标系速度的关系 固定坐标系下的加速度和与之固连的转动坐标系加速度的关系 有用的三角变换 问题1 正则变换 (35’) 考虑相空间中的谐振子问题 € H = p2 2m + mw2 q2 2 引入从 € q(t)和 € p(t)到 € Q(t) = q(t + τ)和 € P(t) = p(t + τ)的变换, € τ 是常量. 试找出这 个正则变换的生成函数 € F(Q, q). 1.写出哈密顿运动方程和任意初始条件下的 € q(t)和 € p(t) 2.将P和p写成只含有q,Q,m, € w, € τ 的函数.你可以先将P和Q表示成为p和q的函 数，然后做适当的形式变换.注意所有这些表述都是不含时间t的. 3.将p表示为q的积分,得到含q的F.注意结果中应当包含积分常数(q) C(Q) 4.用 € P(Q, q)的方程找到C(Q),然后写出 € F(Q, q) 5.验证 € F(Q, q)是正确的生成函数
问题2从旋转对称的表面散射(30”) 考虑一群以速度平行于z轴运动的粒子.粒子是从理想的弹性无摩擦的表面散射 出来的.表面关于z轴旋转对称，方程为风(z)-z(z>0)计算微分散射截面σ风) 1.找出散射角8和碰撞参量的关系.注意碰境点的表面可认为是正切于那一点所 在曲线的理想的弹性壁 2.选取风)，算出微分散射截面 3.简述在表面无摩擦但完全非弹性碰撞的情况下一些特殊点(：)的散射角 4.简述在表面摩擦很大但完全弹性碰撞的情况下一些特殊点()的散射角 问题3(35)旋转坐标系下的运动 假设在北纬45的地方有一门加农炮.加农炮能任意间东南西北方向开火.炮弹都 有一样的初速度，=200a/5,与水平面的夹角都是45.在计算炮击轨道过程中忽 略地球的曲率和空气阻力 假设地球半径R=6000血，自转角速度2-7×10/5.重力加速度g=10m/s2.在如 下的坐标系中进行计算：z轴垂直于地面，零点在地球中心：x轴向北：y轴向西 1.假设地球不白转.写出炮弹轨迹方程和总的射程，离地的最大高度（单位为） 和炮弹飞行的时间（单位为秒）， 2假设地球以正常的角速度2自转.计算高-(a,4,)用豆，F-(红，y,)和可米表 示，忽略高阶小量x,y,用代替红最终答案因为代数表达式且用以代特 cos45和sin45 注意：下面的问感将花费限多时间，稀保你完成成面的题日后再做下面的愿目 3。加表炮向地理的东南西北四个方向射击.分别写出这四个方向的加速度，每种 情况都忽略高阶小量并抵消大致相等的项.调整你的选择.注意某些项是可以相 消的因为炮弹的速度正好和地球在事一纬度自转的线速度相等。 4.基于你在3中计算出的数值和ā的形式所表现出的透象，估计在四种情况下地 球白转在炮弹出射点的影响.在图1中画出新的着弹点并与地球没有白转时的着 弹点做比较.图1的原点对应于地球没有自转时的着弹点.不需要做精确计算，贝 需估计方位和相对偏差的数值.四个图都要按上北下南，左西右东来画
问题2 从旋转对称的表面散射 (30’) 考虑一群以速度v平行于z轴运动的粒子.粒子是从理想的弹性无摩擦的表面散射 出来的.表面关于z轴旋转对称,方程为 € ρ(z) = z3 (z > 0) 计算微分散射截面 € σ(θ). 1.找出散射角 € θ和碰撞参量的关系.注意碰撞点的表面可认为是正切于那一点所 在曲线的理想的弹性壁 2.选取 € b(θ),算出微分散射截面 3.简述在表面无摩擦但完全非弹性碰撞的情况下一些特殊点 € ρ(z)的散射角 4.简述在表面摩擦很大但完全弹性碰撞的情况下一些特殊点 € ρ(z)的散射角 问题3 (35’) 旋转坐标系下的运动 假设在北纬45°的地方有一门加农炮.加农炮能任意向东南西北方向开火.炮弹都 有一样的初速度 € v0 =200m/s,与水平面的夹角都是45°.在计算炮击轨道过程中忽 略地球的曲率和空气阻力. 假设地球半径R=6000m,自转角速度 € Ω = 7 × 10−5 /s.重力加速度 € g = 10m/s 2 .在如 下的坐标系中进行计算:z轴垂直于地面,零点在地球中心;x轴向北;y轴向西 1.假设地球不自转. 写出炮弹轨迹方程和总的射程,离地的最大高度(单位为m) 和炮弹飞行的时间(单位为秒). 2. 假设地球以正常的角速度 € Ω自转.计算 € a i = (ax , ay , az )用 € Ω, r = (x,y, z)和 € v 来表 示,忽略高阶小量 € Ω2 x,Ω2 y,用R代替z.最终答案因为代数表达式且用 € 2 2 代替 € cos45°和 € sin 45° 注意:下面的问题将花费很多时间,确保你完成前面的题目后再做下面的题目 3.加农炮向地理的东南西北四个方向射击.分别写出这四个方向的加速度. 每种 情况都忽略高阶小量并抵消大致相等的项. 调整你的选择. 注意某些项是可以相 消的因为炮弹的速度正好和地球在那一纬度自转的线速度相等. 4.基于你在3中计算出的数值和 € a 的形式所表现出的迹象,估计在四种情况下地 球自转在炮弹出射点的影响.在图1中画出新的着弹点并与地球没有自转时的着 弹点做比较.图1的原点对应于地球没有自转时的着弹点.不需要做精确计算,只 需估计方位和相对偏差的数值.四个图都要按上北下南,左西右东来画
个N W E s 图1（着弹点）
图1(着弹点)