第十章多元函数嫩分 第一节多元函数的极限及连续 【.将二元函数与一元函数的极限。连续概之相比较，说明二者之间的区别 答：二元函数与一元函数的极限都是表示某动点P以任意方式无限靠近定点Q时，与 之相关的一变量无限接近于一个确定的常数，不同的是后者对应P,Q点是数轴上的点， 前者对应的P，Q是平面上的点 一元函数y=八☒)在处连续是表示x无限靠近x。时，fx)无限靠近fx),二元 函数：=x在(。，。)处连铁是表示(x,y)以任意方式无限常近(x。,只)时，八x, 无限靠近八x,） 2若二元函数三=x,y)在区域D内分别对x,y都连铁。试问：=x,y小在区城 D上是否必定连续： 答：不一定，因为红列-f)中在川→)是表示(.月以 任意方式趋于)而a回心化川=/化)和a巴川小=心】 中区，)→x),)→%).只代表k,）→为)的方式中的一部分 而不是全部部分成立。全部不一定成立 3比题二元函数的定义，写出三元函数的定义， 容：设有四个变量工，x2,x,和y,若当x,x2,x,在其变化范围D内任意取定一组值时， 变量y按照一定的对应规律有惟一确定的值与它们对应，则称y是变量名，2，x的三元函 数，记为y=f,无，x） 4.比醒一元基本初等两数的定义，试述二元基木初等函数的定文 容：一元基本初等函数包括常函数，琴函数、指数函数、对数函数，三角函数、反三角 函数六类。二元基本初等函数也包括以上六类，但其凡体形式比一元基本初等函量更广泛， 如(x,y)=x“和(x,y)=y“均是二元基本初等函数中的琴函数
第十章 多元函数微分 第一节 多元函数的极限及连续 1. 将二元函数与一元函数的极限、连续概念相比较，说明二者之间的区别. 答：二元函数与一元函数的极限都是表示某动点 P 以任意方式无限靠近定点 Q 时，与 之相关的一变量无限接近于一个确定的常数，不同的是后者对应 P ，Q 点是数轴上的点， 前者对应的 P ，Q 是平面上的点. 一元函数 y = f (x) 在 0 x 处连续是表示 x 无限靠近 0 x 时， f (x) 无限靠近 ( ) 0 f x ，二元 函数 z = f (x, y) 在 ( ) 0 0 x , y 处连续是表示（ x ，y ）以任意方式无限靠近 ( ) 0 0 x , y 时， f (x, y) 无限靠近 ( ) 0 0 f x , y . 2. 若二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 内分别对 x ， y 都连续，试问 z = f (x, y) 在区域 D 上是否必定连续？ 答：不一定，因为 ( ) 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) , 0 0 f x y f x y x y x y = → 中 ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y 是表示 (x, y) 以 任意方式趋于 ( , ) 0 0 x y 而 ( ) 0 0 ( , ) ( , ) lim ( , ) , 0 0 0 f x y f x y x y x y = → 和 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , , lim , , 0 0 0 f x y f x y x y x y = → 中 ( ) ( ) 0 0 0 x, y → x , y ， ( ) ( ) 0 0 0 x , y → x , y ，只代表 ( ) ( ) 0 0 x, y → x , y 的方式中的一部分， 而不是全部.部分成立，全部不一定成立. 3. 比照二元函数的定义，写出三元函数的定义. 答：设有四个变量 1 2 3 x , x , x 和 y ,若当 1 2 3 x , x , x 在其变化范围 D 内任意取定一组值时， 变量 y 按照一定的对应规律有惟一确定的值与它们对应，则称 y 是变量 1 2 3 x , x , x 的三元函 数，记为 ( ) 1 2 3 y = f x , x , x . 4. 比照一元基本初等函数的定义，试述二元基本初等函数的定义. 答：一元基本初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数六类. 二元基本初等函数也包括以上六类, 但其具体形式比一元基本初等函数更广泛, 如 a f (x, y) = x 和 a f (x, y) = y 均是二元基本初等函数中的幂函数
5表达式织小-职化川成立喝？ 有 习题： 1.设八x,y)=x2+y+y2,求L,2). 解：f(12)=12+1×2+22=7. 2已知fxy)=3r+2y,求几fx,y月 解：f几xgf(x,y-3川+2f八xy小3+23x+2y)=3y+6r+4y. 及求m组型 解：m如型=n动义y=mn”四y-2 4求函数：=√4-x2-y2风x2+y2-1)的定义域。并画出定义域的图形 解：由 4--少≥0，得10 D=《x川1<x2+y2≤4 如下图 第二节 偏导数 思考题：
5. 表达式 ( ) ( ) = → → → → f x y f x y x x y y y y x x lim , lim lim , 0 0 0 0 成立吗？ 答：不一定. 例如： 2 2 0 0 lim x y xy y x + → → 不存在，而 lim lim 0 2 2 0 0 = → → x + y xy x y . 习题： 1. 设 ( ) 2 2 f x, y = x + xy + y ，求 f (1,2) . 解： f (1,2) =1 1 2 2 7 2 2 + + = . 2. 已知 f (x, y) = 3x + 2y ，求 f [xy, f (x, y)]. 解： f [xy, f (x, y)]= 3(xy) + 2 f (x, y)= 3(xy) + 2(3x + 2y) = 3xy + 6x + 4y . 3. 求 x xy y x sin lim 2 0 → → . 解： x xy y x sin lim 2 0 → → = y xy xy y x → → sin lim 2 0 = lim 2 sin lim 0 2 = → → y u u u y . 4. 求函数 4 ln( 1) 2 2 2 2 z = − x − y x + y − 的定义域, 并画出定义域的图形. 解：由 + − − − 1 0, 4 0, 2 2 2 2 x y x y 得 1 4 2 2 x + y ，故定义域为 ( , ) |1 4 2 2 D = x y x + y . 如下图： x y O 1 2 第二节 偏导数 思考题:
1,与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之同的关系 答：一元函数在可导点处您连续，但二元函数在偏导数存在处不一定连续，因为 ,(x)只反应「(x,o)在（为）处连续，，(xJ)只反应八x)在 (x,》处连续，即曲面：=f八x,y)关于平面x=x和y=另的截线在(x。,片》处连续不 能代表曲而：=八x,y)在(x。,)处连续.反之，二元橘数在连续点处也不一定存在偏导 数 2若：=2+入，试球到 且说明其几何意义。 解：因为史=2x,故到 2 dx 上式在几何上表示曲线 -产十广，在1,1，)处沿x轴方向的切线解率为2 y=1 3举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍然有效， 解：例如：=e可看成是由：=e',斯=aCtn男，y=二复合而成，按一元函数复合 函数求导法则有： :=(e"F(arctan vy(y,=e.I x+y 把y看作常数，直接求导数得： e时.y x+y 二者是一样的
1. 与一元函数比较，说明二元函数连续、偏导之间的关系. 答：一元函数在可导点处必连续, 但二元函数在偏导数存在处不一定连续. 因为 ' ( , ) 0 0 f x y x 只反应 ( , ) x y0 f 在 ( , ) 0 0 x y 处连续， ' ( , ) 0 0 f x y y 只反应 ( , ) 0 f x y 在 ( , ) 0 0 x y 处连续，即曲面 z = f (x, y) 关于平面 0 x = x 和 0 y = y 的截线在 ( , ) 0 0 x y 处连续不 能代表曲面 z = f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续.反之，二元函数在连续点处也不一定存在偏导 数. 2. 若 2 2 z = x + y ，试求 1 1 = = y x x z 且说明其几何意义. 解：因为 x x z = 2 , 故 1 1 = = y x x z =2. 上式在几何上表示曲线 = = + 1 , 2 2 y z x y 在（1，1，1）处沿 x 轴方向的切线斜率为 2. 3. 举例说明一元函数的复合函数求导法则在求二元函数的偏导数时仍然有效. 解：例如 x y z arctan = e 可看成是由 x y z u v v u = e , = arctan , = 复合而成，按一元函数复合 函数求导法则有： 2 2 arctan 2 2 ( ) e 1 1 (e )' (arctan )' ( )' e x y y x y x v y v x z x y u x u + − − = + = = 把 y 看作常数，直接求导数得： x x y x y x z e (arctan )' arctan = ( )' 1 ( ) 1 e 2 arctan x y x y x y + = e ( ) 2 2 2 2 arctan x y x y x x y − + = 2 2 arctan e x y y x y + − = 二者是一样的
习题： 1.fx.y)=2x+3y,求厂1,0) 解：f(x,y)■2，故厂L,0)=2 2x,y)=xy,求f0.0).f,00 解：（红，y)=3x2y, f》=8x3y 故 厂(L,0)=3×2×03=0. f(L)=8×x1'=8. 3M=esny,求 Bu 解，因0则-esy+e'cosxy-y-cmw+y0sx0, au=ecosxyx. y du =e(sn0+c0s0)=1. Bu =ec0s0×l)=e. 4=',求应， d 解： =x。 证 =xhx ay 反：=hy,求 正品 ：空，=y= 江y 正.上(%，="y 列步 6:=x'c',求 0': ax'ax'dy
习题: 1. f (x, y) = 2x + 3y, 求 (1,0) x f . 解： f x (x, y) = 2 , 故 (1,0) x f =2. 2. 3 8 f (x, y) = x y ，求 (1,0) x f ， (1,1) y f . 解： 2 8 f (x, y) 3x y x = , 3 7 f (x, y) 8x y y = , 故 (1,0) 3 1 0 0 2 8 f x = = , (1,1) 8 1 1 8 2 7 f y = = . 3. u xy x = e sin , 求 (1,0) (0,1) , y u x u . 解：因 e sin x y e cos x y y e (sin x y y cos x y) x u x x x = + = + , xy x y u x = e cos , e (sin 0 cos0) 1 0 (0,1) = + = x u , e(cos 0 1) e (1,0) = = y u . 4. y z = x ，求 x z ， y z . 解： x z = y−1 yx , y z = x x y ln . 5. z = ln xy ，求 x z ， y z . 解： x z = x y xy xy xy x 1 1 ( )' 1 = = , y z = y x xy xy xy y 1 1 ( )' 1 = = . 6. y z x e 8 = ，求 x z ， 2 2 x z ， y z
解： 在8x'e, 8: 8r'e'y.-56re', B-Y'e'. 7,:=sim2x+3y),求，·8，·5a·5y·Fw 解：：，=c02x+3y小(2x+3yy.=2c02x+3y): ,=002x+3小-(2x+3yW,=3c02x+3y), n-2c02x+3y列.=-4sm2x+3y0). =B3cos(2x+3y)=-9sid 2x+3y) :w-2c02x+3y,=-6sm2x+3y). 8若：1+x,零. 证'y 解：取对数得h:=yH1+x) 丙边对求华，得上产-少1++中 dx =1+（理，1+）=0+”1+ 8y 9.若fx,y)=x+y-1)hsn 求(x,) 解：(x)-[fx =(x =1, 0e“cm,小会等 解： 会-kj.esy+eosj.=e”os-血l. 在=kj,csy+e"(eosx列j,="eosy-sn列
解： x z =8 y x e 7 , 2 2 x z = y x y (8x e )' 56x e 7 6 = , y z = y x e 8 . 7. z = sin( 2x + 3y) ，求 x z ， y z ， xx z ， yy z ， xy z . 解： x z = cos(2x 3y) (2x 3y)' 2cos(2x 3y) + + x = + , y z = cos(2x 3y) (2x 3y)' 3cos(2x 3y) + + y = + , xx z = 2cos(2x 3y) x = −4sin( 2x + 3y) + , yy z = 3cos(2x 3y) 9sin( 2x 3y) y = − + + , xy z = 2cos(2x 3y) y = −6sin( 2x + 3y) + . 8. 若 xy z = (1+ x) ，求 x z ， y z . 解：取对数得 ln z = xyln(1+ x) , 两边对 x 求导，得 x y x xy x z z + = + + 1 1 ln(1 ) 1 , + = + + + x x y x y x x z xy 1 (1 ) ln(1 ) , (1 x) (x y)' ln(1 x) x(1 x) ln(1 x) y z xy y xy = + + = + + . 9. 若 y x f (x, y) = x + ( y −1)ln sin ，求 f (x,1) x . 解： f (x,1) x = x [ f (x,1)] = x (x) =1. 10. z e xy xy = cos ，求 y z x z , . 解: ( ) x y ( x y) y ( x y x y) x z xy x xy x xy e cos e cos = e cos − sin + = , ( ) x y ( x y) x ( x y x y) y z xy y xy y xy e cos e cos = e cos − sin + =
1.4=6+2y+3,求 G''正 解： 器-26+2y+6+2y+刘.-2冰+2y+刘 0=2+2y+3-6+2y+3j,=46+2y+3. -2收+2y+3)k+2y+3:-6+2y+3) R 第三节 全微分 思考题： 1.偏导数、全微分与连线偏导数三者之间关系如何？ 容：三者关系如下图。 偏导数 偏导数 存在 连续 全微分 存在 2一阶微分形式不变性能否推广到二元函数的全微分？ 答：能 3。利用全微分进行近似计算的主要理论依据是什么？ 答：主要理论依那是函数的全增量与全微分之差是一个比P高阶的无穷小，从而各自 变量的改变量都较小时，全增量可近似地用全微分代替 4。利用全微分选行近似计算的主要步骤有愿些？ 容：主要步骤有：建立函数慎型，求函数的微分，代入各白变量的值及其改变量的值， 所得微分的值即为近似值， 习题： 1.设：=y的y,试用两件方法求止 解法一：…色」 二=yh头， =xhy+y=y+)
11. ( ) 2 u = x + 2y + 3z ，求 z u y u x u , , . 解： (x y z) (x y z) (x y z) x u 2 2 3 2 3 x = 2 + 2 + 3 = + + + + , (x y z) (x y z) (x y z) y u 2 2 3 2 3 y = 4 + 2 + 3 = + + + + , (x y z) (x y z) (x y z) z u 2 2 3 2 3 z = 6 + 2 + 3 = + + + + . 第三节 全微分 思考题 : 1. 偏导数、全微分与连续偏导数三者之间关系如何？ 答：三者关系如下图. 偏导数 存在 偏导数 连续 全微分 存在 2. 一阶微分形式不变性能否推广到二元函数的全微分？ 答：能. ３. 利用全微分进行近似计算的主要理论依据是什么？ 答：主要理论依据是函数的全增量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小，从而各自 变量的改变量都较小时，全增量可近似地用全微分代替. 4. 利用全微分进行近似计算的主要步骤有哪些？ 答：主要步骤有：建立函数模型，求函数的微分，代入各自变量的值及其改变量的值, 所得微分的值即为近似值. 习题: 1．设 z = xy ln y ，试用两种方法求 dz . 解法一： (ln 1) 1 ln , = ln + = + = x y y x y x y y z y y x z
d=产dr+空dy=yy-dx+xy+l 解法=正=dyh) =yhd应+dyhy) yhy-dr+x(ny-dy+y-dhy) yhn dr+x(n y+ldy. 2设：=之，当x-2y-1.△x-0.14y=02.求△及止 解： 1-021.-5 %0.119 mx+△xx m2+0.1242 1 止=-yd山+'y. d27x0.1+2 02小-0125. 及=e"+xy,求止。 解，止=de")+dry) =e"d(xy)+xude+y'dx+x'dy' e(1+xyxy+3y'x'dx+4x'y'dy =e"(1+xXxdy+)+3x'y'dr+4x'y'dy =Bx'y+(v+xyk"r+r'y'++xy"Hy 4.求n=hx+3y+4:）的全微分. kd加=dhb:+3+4e2at34ger+3y+e) 2 3 8 2x+3y+4Fd+2x+3+4F+2x+3y+4g, 2 利用全微分求中.01”的近似值. 解：令f红=x',则化，y川=x,可，红=xnx
y y y x x( y ) y y z x x z dz d d = ln d + ln +1 d + = . 解法二： dz = d(xyln y) = y ln ydx + xd(y ln y) = y ln y dx + x(ln y dy + y dln y) = yln ydx + x(ln y +1)dy . 2. 设 , x y z = 当 x = 2, y = 1,x = 0.1,y = −0.2 , 求 z 及 dz . 解： 0.119 42 5 2 1 2 0.1 1 0 2 0.1 0.2 2 1 0.1 0.2 2 1 − = − − + − = − + + = = =− = = = =− = = x y x y x y x y x y x x y y z . y x x x y z d 1 d d2 = − + , ( 0.2) 0.125 2 1 0.1 2 1 d 2 2, 1 0.1, 0.2 = = = − + − = − = =− x y x y z . 3. 3 4 z xye x y xy = + ，求 dz . 解： ( ) ( ) 3 4 dz d xye d x y xy = + ( ) 4 3 3 4 e d xy xyde y dx x dy xy xy = + + + ( xy) xy y x x x y y xy e 1 d 3 d 4 d 4 2 3 3 = + + + ( x y)(x y y x) x y x x y y xy e 1 d d 3 d 4 d 2 4 3 3 = + + + + x y (y x y ) x x y (x x y) y xy xy 3 e d 4 e d 2 4 2 3 3 2 = + + + + + . 4. 求 ( ) 2 u = ln 2x + 3y + 4z 的全微分. 解: ( ) 2 du = dln 2x + 3y + 4z = ( ) 2 2 d 2 3 4 2 3 4 1 x y z x y z + + + + = z x y z z y x y z x x y z d 2 3 4 8 d 2 3 4 3 d 2 3 4 2 2 2 2 + + + + + + + + . 2. 利用全微分求 ( ) 2.99 1.01 的近似值. 解：令 ( ) y f x, y = x ，则 f (x y) yx f (x y) x x y y y x , , , ln 1 = = −
取x=14r=0.01,y=34y=0.01,则 101”=fx+Ax,y+Ay)f+001,3-001) =f13+13)001)+f,03)(-0.01 =1P+3x1×0.01)+1Ph1(-001=1.03, 第四节求导法则 思考题： 1.求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可微函数：■工，刊小，程=x川复 合而得的复合函数：=，（红，y刃的偏导数。并说明其符号的含义 容：在求复合函数的偏导数时，要注意复合函数变量间的依赖关系及函数结构， 函数：=工，（工y)中变量间的依赖关系如图 从面 在_位u adw欧 .在.0u ay au ay 其中亡，在表示复合雨数：=水，化，羽类于x,y的偏导数， 表示函数 :=八，四关于x的偏导数， 空表示：-化，小关于的偏导数。必产分别表示函数 B ax'ay “=(x关于x,y的偏导数 2求隐函数偏导数常用方法有几种？举例说明 答：求隐函数偏导数常用方法有三种，例：设方程©'=归确定函数：=怎，y),求
取 x = 1,x = 0.01, y = 3,y = −0.01, 则 (1.01) ( , ) (1 0.01,3 0.01) 2.9 9 = f x + x y + y f + − (1,3)+ (1,3)(0.01)+ (1,3)(− 0.01) x y f f f =1 3 1 (0.01) 1 ln1 ( 0.01) 3 3 1 3 + + − − =1.003. 第四节 求导法则 思考题: 1. 求复合函数的偏导数时，需要注意什么？求由可微函数 z = f (x,u)，u =(x, y) 复 合而得的复合函数 z = fx,(x, y) 的偏导数，并说明其符号的含义. 答：在求复合函数的偏导数时，要注意复合函数变量间的依赖关系及函数结构. 函数 z = fx,(x, y) 中变量间的依赖关系如图: z x u x y 从而 x u u z x f x z + = , y u u z y z = , 其中 y z x z , 表示复合函数 z = fx,(x, y) 关于 x ， y 的偏导数， x f 表示函数 z = f (x,u) 关于 x 的偏导数， u z 表示 z = f (x,u) 关于 u 的偏导数， y u x u , 分别表示函数 u =(x, y) 关于 x ， y 的偏导数. 2. 求隐函数偏导数常用方法有几种？举例说明. 答：求隐函数偏导数常用方法有三种，例： 设方程 xyz z e = 确定函数 z = z(x, y) ，求
在证 旗'y 解法一《公式法)：令Fx,八)=e-,则 F=-J5,F=-5F=e-y. 在-E d F.e-xy 动Fc-y 解法二《求导法)： 方程两边对x求导得： =上+ 正 所以 &x ei-xy 方程两边对y求导得 by xXY- y 所以 在 dy ei-xy 解法三（全微分）：方程两边求全微分，得 ed正=+xdy+x止， 从而 d:=+x dy. e-xy e-xy 所以 dx e:-xy dy e:-xy 及在对什么样的函数求偏导时，必领用“二元复合杨数求导法则”才旋有效进行？ 答：在对抽象函数，即未给出具体解析式的函数构成的复合函数求偏导时，必须用“二 元复合函数求导法期”才能有效进行， 4.如何求空间曲而上某点的切平面方程，主要步露与关键点是什么T 答：求空阿曲面上某点的切平面方程的关键点是求切点坐标，主要步骤是：(1)将曲面 方程写为x儿，)=0的形式，(2)求F,F,F,(3》取切平面的法向量为
y z x z , . 解法一（公式法）: 令 F(x y z) xyz z , , = e − , 则 F yz F xz F xy z x = − , y = − , z = e − , xy yz F F x z z z x − = − = e , xy xz F F y z z z y − = − = e . 解法二（求导法）： 方程两边对 x 求导得： x z yz xy x z z = + e 所以 xy yz x z z − = e . 方程两边对 y 求导得 y z xz xy y z z = + e , 所以 xy xz y z z − = e . 解法三（全微分）: 方程两边求全微分，得 z yz x xz y xy z z e d = d + d + d , 从而 y xy x z x xy yz z z z d e d e d − + − = , 所以 xy yz x z z − = e , xy xz y z z − = e . 3. 在对什么样的函数求偏导时，必须用“二元复合函数求导法则”才能有效进行？ 答：在对抽象函数, 即未给出具体解析式的函数构成的复合函数求偏导时，必须用“二 元复合函数求导法则”才能有效进行. 4. 如何求空间曲面上某点的切平面方程，主要步骤与关键点是什么？ 答：求空间曲面上某点的切平面方程的关键点是求切点坐标，主要步骤是：（1）将曲面 方程写为 F(x, y,z) = 0 的 形 式 ，（ 2 ） 求 Fx Fy F z , , , （ 3 ）取切平面的法向量为
n={F,(区o为，以F(红Foo,}(其中(o0)为切点)，写出切平面 方程， 习题： 若：“水+y-小.求色 dx'dy 解：设Fx,儿)=八x+y-- 则F-f(x+y-以.F=收+y-,F=x+y-)小-l, =-=，+y- 色.-5.，心+y- F1+w+y-) dy F 1+f(x+y-:) 2求由面：=)的平行于平面x+3y+:+9=0的切平面方程. 解：设.Fx,）=xy-:则F=头F,=玉，F=-1 设韧点坐标为（低。另。，无乃），则切平面法向量，={。玉一 依题意m,平行于属=直，3,1. 从学 ,解得x。=-3=-1,则50=x火=3， 所以切平面方程为-(x+3)-3y+)-(e-3)=0. 即x+3y+:+3=0. Xm【, 3。求空同曲线 y=2,1≤1≤2)在点.1山)处的切线方程与法平面方程， = 解：切点对应的参变量，=1， =l业=2生= d”d dt 所以切向量T=2或千是切线方程为产只生号 法平面方程为 (x-1)+2y-0+3e-)=0. 即 x+2y+3红-6=0
n = Fx (x0 , y0 ,z0 ), Fy (x0 , y0 ,z0 ), Fz (x0 , y0 ,z0 ) （其中 ( ) 0 0 0 x , y ,z 为切点），写出切平面 方程. 习题: 1. 若 z = f (x + y − z) ，求 y z x z , . 解：设 F(x, y,z) = f (x + y − z)− z , 则 F f (x y z) x = + − , F f (x y z) y = + − , F z = f (x + y − z)(−1)−1, ( ) f (x y z) f x y z F F x z z x + + − + − = − = 1 , ( ) f (x y z) f x y z F F y z z y + + − + − = − = 1 . 2. 求曲面 z = xy 的平行于平面 x + 3y + z + 9 = 0 的切平面方程. 解：设, F(x, y,z) = xy− z 则 Fx = y, Fy = x, Fz = −1, 设切点坐标为 ( ) 0 0 0 0 x , y , x y , 则切平面法向量 n1 = y0 , x0 ,−1, 依题意 n1 平行于 n2 = 1,3,1, 从而 1 1 1 3 0 0 − = = y x , 解得 x0 = −3, y0 = −1, 则 z0 = x0 y0 = 3, 所以切平面方程为 − (x + 3)− 3(y +1)− (z − 3) = 0 , 即 x + 3y + z + 3 = 0. ３. 求空间曲线 , (1 2) , 3 2 = = = t z t y t x t 在点 (1,1,1) 处的切线方程与法平面方程. 解：切点对应的参变量 t 0 = 1, 又 2 3 d d 2 , d d 1, d d t t z t t y t x = = = , 所以切向量 T = 1,2,3, 于是切线方程为 3 1 2 1 1 1 − = − = x − y z , 法平面方程为 (x −1)+ 2(y −1)+3(z −1) = 0 , 即 x + 2y + 3z − 6 = 0