第三章导数与徽分 第一节导数的概念 思考愿 1.思考下列命愿是否正确：如不正确举出反例 (1)若函数y=()在点x。处不可导，则(x)在点x处一定不连铁 答：命题错说.如y=工在=0处不可导，但在此点连续， (2)若由线y=八x)处处有切线。则y=f(x)必处处可导. 答：命题错误.如：y2=2x处处有切线，但在x=0处不可导 2若m)-@。A(A为常数.试判断下列命思是否正疏 《1)f(x)在点x=a处可导. (2)f(x)在点x=a处连续， (3)f(x)-f(a)=x-a)+x-a) 答：命题(1)，22（围全正确. 及试举出至少5个能用导数描述变化率的有实际意义的变量《写成小短文》， 容：导数(x)表示橘数y=(x)的因变量y在无处相对于自变量x的变化率.在实 际生活中，如 (》物体的密度是物体的质量对体积的变化率： 2)电流强度是单位时间内流过电路某一截面的电量，即电量对时间的变化率： (3》边际成本是产品的总成本对产量的变化单： ()在化学反应中某物质的反应速度是其浓度对时间的变化率： ⑤加速度是速度对时间的变化率， 习圈 1.利用冪稀数的求导公式(x“了=一分别求出下列函数的导数： )xm,2)8r 解：(1)(x0y=100x
第三章 导数与微分 第一节导数的概念 思考题 1.思考下列命题是否正确？如不正确举出反例. （1）若函数 y = f (x) 在点 0 x 处不可导，则 f (x) 在点 0 x 处一定不连续. 答：命题错误.如 y = x 在 x0 = 0 处不可导，但在此点连续. （2）若曲线 y = f (x) 处处有切线，则 y = f (x) 必处处可导. 答：命题错误.如： y 2x 2 = 处处有切线，但在 x = 0 处不可导. 2.若 A x a f x f a x a = − − → ( ) ( ) lim （ A 为常数），试判断下列命题是否正确. （1） f (x) 在点 x = a 处可导, （2） f (x) 在点 x = a 处连续, （3） f (x) − f (a)= A(x − a) + o(x − a) . 答：命题⑴,⑵,⑶全正确. 3.试举出至少 5 个能用导数描述变化率的有实际意义的变量（写成小短文）. 答:导数 0 f x ( ) 表示函数 y f x = ( ) 的因变量 y 在 0 x 处相对于自变量 x 的变化率.在实 际生活中,如: (1)物体的密度是物体的质量对体积的变化率; (2)电流强度是单位时间内流过电路某一截面的电量,即电量对时间的变化率; (3)边际成本是产品的总成本对产量的变化率; (4)在化学反应中某物质的反应速度是其浓度对时间的变化率; (5)加速度是速度对时间的变化率. 习题 1.利用幂函数的求导公式 1 ( )' − = x x 分别求出下列函数的导数: （1） 100 x ,（2） 8 3 x ,（3） x x 3 . 解：(1) ( )' 100 x =100 99 x
auiji =ry=2r 2 2若曲线y=x在(x,)处切线斜率等于3，求点（属，%）的坐标 解：由愿意得：(x3儿3， 即3红，2=3.解之得x=±1. 把x=1代入y=x2,得y=1, 把x-1代入y=x'’,得y=-1, 综上得：点(x,)的坐标为(1,1)和(-1，-1》 怎抛物线y=x2在何处切线与众轴正向夹角为二，并且果该处切线的方程 解：由题意得：（公儿-t子，即21，解之得x,乞 4 把2代入y中，得y产4 4 :=产在《行子点处切战与0尔轴正向夹角为 11 4 1 六此处切线为y一年一2即y=一子 m+)- 4已知(snxy=c0sx,利用导数定文求极限m +- 解：m -+0 .lim 普+刘-如立 =(shx川.=cos" 第二、三节求导法则 思考愿 1.思考下列命题是否成立T
(2) ( )' 8 3 x = 5 8 3 8 x − , (3) ( )' 3 x x = ( )' 2 7 x = 2 5 2 7 x . 2.若曲线 y = 3 x 在 ( , ) 0 0 x y 处切线斜率等于 3，求点 ( , ) 0 0 x y 的坐标. 解：由题意得： 0 ( )'| 3 x x x = =3, 即 3 3 2 x0 = ,解之得 x = 1. 把 x =1 代入 y = 3 x ,得 y =1. 把 x = − 1 代入 y = 3 x ,得 y = − 1, 综上得：点 ( , ) 0 0 x y 的坐标为（1，1）和（ − 1， − 1 ）. 3.抛物线 y = 2 x 在何处切线与 Ox 轴正向夹角为 4 π ，并且求该处切线的方程. 解:由题意得： 0 ( )' | 2 x x x = =tan 4 π ,即 2 0 x =1,解之得 0 x = 2 1 . 把 0 x = 2 1 代入 y = 2 x ,得 y = 4 1 , y = 2 x 在（ 2 1 ， 4 1 ）点处切线与 Ox 轴正向夹角为 4 π , 此处切线为 2 1 4 1 y − = x − ,即 4 1 y = x − . 4.已知 (sin x)'= cos x ，利用导数定义求极限 x x x ) 1 2 π sin( lim 0 + − → . 解： x x x ) 1 2 π sin( lim 0 + − → = x x x 2 ) sin 2 π sin( lim 0 + − → = 2 π (sin )'| x= x = 2 π cos =0. 第二、三节求导法则 思考题 1.思考下列命题是否成立？
(》若f八x):g(x)在点x处都不可导，则f(x)+g(x)点x处也一定不可导. 答：命题不成立 (0.xs0. x,x≤0 如：x)= >0,8)= 0.x>0. f(x),g(x)在x0处均不可导，但其和函数fx)+gx)-x在x0处可导. 《2)若八x)在点x。处可静，(x)在点x。处不可静，则八(x)+g(x)在点。处一定 不可导. 容：命题成立 原因；若f(x)·g(x)在x。处可导，由(x)在x,处点可导知 g(x)=f(x)+x)】-f八x)在x。点处也可导，矛盾 2了(x,)与[八x。川有无区别7为什么？ 答，(x,)与fx。有区别 因为广(x。)表示f(x)在x=x。处的导要：Lf八(x月表示对fx)在x=黑处的函数值 求导，且结果为0， 3给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？ 容：一定能求出其导函数 因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由基本初等函数经过 有限次四则运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知 给定一个初等函数.具用求导法一定能求出其导函数 习题 1.求下列函数的导数 (1)y-4x2+3x+1,(2)y=1e+3e+1. 解：y-8x+a.解：y=4e. (3)y=x+hx+1,(4)y=snx+x+1. 解：y=+.解：y=00sx+1
(1)若 f (x) ， g(x) 在点 0 x 处都不可导，则 f (x) + g(x) 点 0 x 处也一定不可导. 答：命题不成立. 如： f (x) = , 0, 0, 0, x x x g(x) = 0, 0, , 0, x x x f (x) ， g(x) 在 x =0 处均不可导，但其和函数 f (x) + g(x) = x 在 x =0 处可导. （2）若 f (x) 在点 0 x 处可导， g(x) 在点 0 x 处不可导，则 f (x) + g(x) 在点 0 x 处一定 不可导. 答：命题成立. 原因：若 f (x) + g(x) 在 0 x 处可导，由 f (x) 在 0 x 处点可导知 g(x) =[ f (x) + g(x) ] − f (x) 在 0 x 点处也可导，矛盾. 2. '( ) 0 f x 与 [ ( )]' 0 f x 有无区别？为什么？ 答： '( ) 0 f x 与 [ ( )]' 0 f x 有区别. 因为 '( ) 0 f x 表示 0 f (x)在x = x 处的导数; [ ( )]' 0 f x 表示对 0 f (x)在x = x 处的函数值 求导，且结果为 0. 3.给定一个初等函数，只用求导法一定能求出其导函数吗？为什么？ 答：一定能求出其导函数. 因为任何一个基本初等函数我们都可以求其导函数，而初等函数是由基本初等函数经过 有限次四则运算及有限次的复合运算形成，据复合函数的求导法则、导数的四则运算法则知 给定一个初等函数,只用求导法一定能求出其导函数. 习题 1.求下列函数的导数 （1） y =4 2 x +3 x +1,(2) y =4 x e +3 e +1, 解： y' =8 x +3.解： y' =4 x e . (3) y = x + ln x +1,(4) y = sin x + x +1, 解： y' =1+ x 1 .解： y' = cos x +1
5》y-2cosx+3x,(6)y-2+3, 解：y=-2snx.解：y-2'h2+3"h3. (7)y=bg;x+x. 解：旷=1 2+2 2求下列函数的导数： (1)y=4(x+1)+(3x+1),2☒y=+10 解：y-4-2(x+10+2(3x+103解：y-e+e'. =8(x+1)+6(3x+)=26x+14 (3)y"sn xcosx.(4)y-arctan 2x. 解：广=（你es+如eow解：y"1+22 =cosx-sinx= 2 1+4x "Cos2x. (5)y"co8x.(6)y=e"sn 2x. 解：y=(-sn8x)-(8xy解：y=(e'sm2x+e'(sn2xy =-8sin 8x.=e'sn 2x+2e'cos 2x. 3求y (x+Ix+2x+3) x3(x+4) 的导数 dx 解：两边取对数： hy-(x+)+h(x+2)+(x+3)-3hx-kx+4. 两边关于x求导 业.21+1+L-31) 击写中x+2x+3+4
(5) y = 2cos x +3 x , (6) y = x x 2 + 3 , 解： y' = − 2sin x +3.解： y' = 2 ln 2 3 ln 3 x x + . (7) y = 2 2 log x + x . 解： y' = x x 2 ln 2 1 + . 2.求下列函数的导数: （1） y =4 2 2 (x +1) + (3x +1) ,(2) y = x xe +10 解： y' = 4 2(x +1) + 2(3x +1)3 解： x x y' = e + xe . = 8(x +1) + 6(3x +1) = 26x +14. (3) y = sin x cos x ,(4) y = arctan 2x , 解： y' = (sin x)' cos x + sin x(cos x)' 解： y' = 2 1 (2 ) 1 2 + x = x x 2 2 cos − sin = 2 1 4 2 + x . = cos2x . (5) y = cos8x ,(6) y = x x e sin 2 . 解： y' = (−sin 8x)(8x)' 解： y' (e ) sin 2x e (sin 2x)' x x = + = −8sin 8x .= x x x x e sin 2 + 2e cos 2 . 3.求 y = 3 2 3 ( 4) ( 1)( 2)( 3) + + + + x x x x x 的导数 x y d d 解：两边取对数： ln y = [ln( 1) ln( 2) ln( 3) 3ln ln( 4)] 3 2 x + + x + + x + − x − x + , 两边关于 x 求导： ] 4 3 1 3 1 2 1 1 1 [ 3 2 ' 1 + − − + + + + + = x x x x x y y , ) 4 3 1 3 1 2 1 1 1 ( 3 2 d d + − − + + + + + = x x x x x y x y
4求曲线 不一在点(1,1)处切线的斜率 y=2. 解：由题意知： 1=1=1, [1=1, =l=3. “由线在点(1,1)处切线的斜率为3 及求由方程x+y-e产+e'=0所确定的肥函数的导数 dr 解：对方程两边关于x求导得： 1+y'-2e2+e'y-0, y=20-1 1+e 6设/)=1+xy=f/x》,求 解：y=ff(x》=1+H1+x月， dx 1+in(1+x) 1+1+x川= [1+n1+x)1+x) 7.设fx)=x,求(x). 解：令y=x,两边取对数得：hy=ehx, 两边关于x求导数得： I.y-e'.hxte y=ye'hx+) 即y=xr(e'nx+g). 8设y=以=s功x子，求业和 d山dr2
4.求曲线 = = , , 3 y t x t 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知： = = 1 , 1 , 3 t t t =1, 3 3 ( ) ( ) d d 1 2 1 3 1 = = t= = t= t= t t t x y , 曲线在点（1，1）处切线的斜率为 3 5.求由方程 e e 0 2 + − + = x y x y 所确定的隐函数的导数 x y d d . 解：对方程两边关于 x 求导得： 1 ' 2e e ' 0 2 + y − + y = x y , y x y 1 e 2e 1 ' 2 + − = . 6.设 f (x) = ln(1+ x), y = f ( f (x)) ，求 dx dy 解： y = f ( f (x)) = ln[1+ ln(1+ x)] , [1 ln(1 )]' 1 ln(1 ) 1 d d x x x y + + + + = [1 ln(1 )](1 ) 1 + + x + x = . 7.设 x f x x e ( ) = ，求 f '(x) . 解：令 x y x e = ,两边取对数得： y x x ln = e ln , 两边关于 x 求导数得： x y x y x x e ' e ln 1 = + ) e ' (e ln x y y x x x = + 即 ) e ' (e ln e x y x x x x x = + . 8.设 ( ), sin , 2 y = f u u = x 求 x y d d 和 2 2 d d x y
解：业=fw-2xc0sx2, dx )c(uco) dx 9若y=x,求y 解：两边取对数得：hy=yhx, 两边关于x求导数得： y=yhx+上 整理得：V= x-xylnx 10.y=x+e,求y 解：y=4x2+e2, y°-12x2+e', y=24r+e°， y=24+e 第五节函数的微分 思考题 1.设y=八x)在点x。的某常域有定义，且f八x。+△x)-f(xa)=Ax+bN△x)，其中 ,b为常数，下列命思哪个正确： (1)f八)在点x处可导，且f")=a, (2)fx)在点x处可微。且儿=a山， (3)八x。+A)=八x。）+a△x(目△x|恨小时). 答：(1)，(2》，(3》三个命题全正确， 2可导与可微有何关系？其几何意文分别表示什么？有何区别？ 答：对于一元函要米说，(x)在x。处可导与可微均表示曲线y=(x)在黑处存在切
解： x y d d = 2 f (u) 2x cos x , 2 2 d d x y = ( ) 4 (cos ) ( )(2cos 4 sin ) 2 2 2 2 2 2 f u x x + f u x − x x . 9.若 y y = x ，求 y' . 解：两边取对数得： ln y = y ln x , 两边关于 x 求导数得： x y y y x y ' = 'ln + 1 , 整理得： x xy x y y ln ' 2 − = . 10. x y x e 4 = + ,求 y (4) . 解： x y 4x e 3 = + , x y 12x e 2 = + , x y = 24x + e , x y 24 e (4) = + . 第五节函数的微分 思考题 1.设 y = f (x) 在点 0 x 的某邻域有定义，且 f (x0 + x) − ( ) 0 f x = 2 ax + b(x) ，其中 a , b 为常数，下列命题哪个正确？ （1） f (x) 在点 0 x 处可导，且 f (x0 ) = a , （2） f (x) 在点 0 x 处可微，且 f (x) a x d | x x d 0 = = , （3） f (x + x) f (x )+ ax 0 0 （ | x | 很小时）. 答：（1）,（2）,（3）三个命题全正确. 2.可导与可微有何关系？其几何意义分别表示什么？有何区别？ 答：对于一元函数来说， f (x) 在 0 x 处可导与可微均表示曲线 y = f (x) 在 0 x 处存在切
线，∫"气x)表示切线的斜率，(x表示切线枫坐标的改变量 3用微分进行近似计算的理论依据是什么？ 答：理论依据为：当y=f八x)在x。处可微时，△y=中+d△x) 当△x很小时，有△yd少 4八x)在一点可微，呵导，连续间有何关系？ 蓉：美系如图所示 可微 整可导 连续 习题 1好-：+训好h血 2求1.02，sn29的近似值 解：据。+A)f)+f)r, 和m近+xx002= 3*0.02=151 150 元1,5π 同理：m29°a8n30°+csx18022180 2求下列函数的微分： (1)y=x2+snx,(2)y=nx, (3)y=xe,(4)y=3x-m 解：()史=2x+esx,dy=(2x+c0sx, dx 2》dy=sc2d, (3)dy=e'(1+xx
线， ( ) 0 f x 表示切线的斜率， 0 d ( ) x x f x = 表示切线纵坐标的改变量. 3.用微分进行近似计算的理论依据是什么？ 答：理论依据为：当 y = f (x) 在 0 x 处可微时， y = dy + o(x) , 当 x 很小时，有 y dy . 4. f (x) 在一点可微，可导，连续间有何关系？ 答：关系如图所示. 可微 可导 连续 习题 1. x x x e ) e d 2 1 d( 2 2 = ; ( ( )) x x x + + = 1 d d ln 1 ; x x x x d ln ln ) 2 1 d( 2 = . 2. 求 3 1.02 ，sin 29 的近似值. 解：据 f (x + x) f (x )+ f (x )x 0 0 0 , 得： 0.02 3 1 1.02 1 1 3 2 3 3 + = − x x =1+ 0.02 3 1 = 150 151 , 同理： 180 π sin 29 sin 30 cos | 6 + π x= x = 180 π 2 3 2 1 + . 2. 求下列函数的微分: （1） y x sin x 2 = + ,（2） y = tan x , （3） x y = xe ,（4） ( ) 100 y = 3x −1 . 解：(1) x x x y 2 cos d d = + ,dy = (2x + cos x)dx , (2) dy sec xdx 2 = , (3) y x x x d = e (1+ )d
(4dy-1003x-(3x-1ydr.即y-3003x-)dr. 3设f)=nl+x求d(xt ￥en-f/pk00安ex010
(4) dy 100 ( 3 x 1 ) ( 3 x 1)' dx 99 = − − , 即 dy 300 ( 3 x 1 ) dx 99 = − . 3. 设 f ( x ) = ln ( 1 + x ) ，求 0 .01 d ( ) 2 = =x f x x . 解： 0 .01 d ( ) 2 = =x f x x = f ( 2 ) 0 .01 = 0 .01 1 1 2 + x = x = 3001