第4讲万有引力与航天 开普勒行星运动定律 1.开普勒第一定律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律:对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 面积。 3.开普勒第三定律:所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值 都相等,表达式:=k。 、万有引力定律 1.公式:F=(2,其中G=6.67×10-1N·m/kg,叫引力常量。 2.公式适用条件:此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本 身的大小时,物体可视为质点。均匀的球体可视为质点,r是两球心间的距离。一个均匀球体 与球外一个质点间的万有引力也适用,其中r为球心到质点间的距离 三、卫星运行规律和宇宙速度 1.地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定:轨道平面和赤道平面重合 (2)周期一定:与地球自转周期相同,即7=24h=86400s。 (3)角速度一定:与地球自转的角速度相同 (4)高度一定:据 mr得r=1/umF 2=4.24×10km,卫星离地面高度h 4 R≈5.6R(为恒量)。 (5)速率一定:运行速度=2xr 3.08km/s(为恒量) (6)绕行方向一定:与地球自转的方向一致。 2.极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖 (②)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近 似认为等于地球的半径,其运行线速度约为7.9km/s (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心 3.三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s) 意义 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度,若7.9 宙速度 km/s≤κ<11.2km/s,物体绕地球运行(环绕速度) 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度,若11.2 宙速度 112 km/s≤κ<16.7km/s,物体绕太阳运行(脱离速度) 第三宇 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度,若
- 1 - 第 4 讲 万有引力与航天 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的 面积。 3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值 都相等，表达式：a 3 T 2＝k。 二、万有引力定律 1．公式：F＝G m1m2 r 2 ，其中 G＝6.67×10－11 N·m2 /kg2，叫引力常量。 2．公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本 身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀球体 与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离。 三、卫星运行规律和宇宙速度 1．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。 (2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T＝24 h＝86 400 s。 (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。 (4)高度一定：据 G Mm r 2＝m 4π2 T 2 r 得 r＝ 3 GMT 2 4π2＝4.24×104 km，卫星离地面高度 h＝r－ R≈5.6R(为恒量)。 (5)速率一定：运行速度 v＝ 2πr T ＝3.08 km/s(为恒量)。 (6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。 2．极地卫星和近地卫星 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近 似认为等于地球的半径，其运行线速度约为 7.9 km/s。 (3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。 3．三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇 宙速度 7.9 这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若 7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕地球运行(环绕速度) 第二宇 宙速度 11.2 这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体绕太阳运行(脱离速度) 第三宇 16.7 这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若
宙速度 ≥16.7km/s,物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间 运行(逃逸速度) 四、经典时空观和相对论时空观 1.经典时空观 (1)在经典力学中,物体的质量是不随速度的改变而改变的 (2)在经典力学中,同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同的 2.相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关,在不同的参考系中不同 3.经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动,不适用于高速运动;只适用于宏观世界,不适用于微观世界。 (判断正误,正确的画“√”,错误的画“×” 1.只要知道两个物体的质量和两物体之间的距离,就可以由F=来计算物体间的万 有引力。(×) 2.第一宇宙速度与地球的质量有关。(√) 3.地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×) 4.发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。(×) 5.地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力。(×) 1.(开普勒三定律)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律 可知() A.太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析行星做椭圆运动,且在不同的轨道上,太阳位于椭圆轨道的一个焦点上,所以A、 B两项错误;根据开普勒第三定律,可知C项正确:对在某一轨道上运动的天体来说,天体与 太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等,而题中是两个天体、两个轨道,所以D项错误 答案C 2.(对万有引力定律的理解)一名宇航员来到一个星球上,如果该星球的质量是地球质量 的一半,它的直径也是地球直径的一半,那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是 它在地球上所受万有引力的() A.0.25倍B.0.5倍C.2.0倍D.4.0倍
- 2 - 宙速度 v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在宇宙空间 运行(逃逸速度) 四、经典时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是 相同的。 2．相对论时空观 同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。 3．经典力学有它的适用范围 只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。 (判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。) 1．只要知道两个物体的质量和两物体之间的距离，就可以由 F＝G m1m2 r 2 来计算物体间的万 有引力。(×) 2．第一宇宙速度与地球的质量有关。(√) 3．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×) 4．发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。(×) 5．地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力。(×) 1．(开普勒三定律)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律 可知( ) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 解析 行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，所以 A、 B 两项错误；根据开普勒第三定律，可知 C 项正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与 太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以 D 项错误。 答案 C 2．(对万有引力定律的理解)一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量 的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是 它在地球上所受万有引力的( ) A．0.25 倍 B．0.5 倍 C．2.0 倍 D．4.0 倍
2G6m 解析由F引= 2F地,故C项正确 答案C 3.(卫星的运动)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经在轨运 行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合体”仍在“天宫二号”的轨道 上运行。“组合体”和“天宫二号”运动的轨道均可视为圆轨道,“组合体”和“天宫二号” 相比,“组合体”运行的() A.周期变小 B.角速度变大 C.动能变大 D.向心加速度变小 解析因“组合体”和“天宫二号”在相同的轨道上做匀速圆周运动,可知“组合体” 和“天宫二号”相比具有相同的周期、速度、角速度和向心加速度,但是由于组合体的质量 变大,则动能变大,C项正确。 答案C 4.(对宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与 通信系统(CNSS),建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于 其中的5颗同步卫星,下列说法正确的是() A.它们运行的线速度一定不小于7.9km/s B.地球对它们的吸引力一定相同 C.一定位于赤道上空同一轨道上 D.它们运行的加速度一定相同 解析同步卫星运行的线速度一定小于7.9km/s,A项错误;由于5颗同步卫星的质量 不一定相等,所以地球对它们的吸引力不一定相同,B项错误;5颗同步卫星一定位于赤道上 空同一轨道上,它们运行的加速度大小一定相等,方向不相同,C项正确,D项错误。 答案C 考点1天体质量和密度的计算 考|点|速|通 天体质量及密度的估算方法 典|例|微|探 【例1】(多选)1798年,英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G,因此卡文迪许 被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球 半径R,地球上一个昼夜的时间η(地球自转周期),一年的时间Z(地球公转周期),地球中心 到月球中心的距离L,地球中心到太阳中心的距离L。你能计算出() A.地球的质量m地G
- 3 - 解析 由 F 引＝ GMm r 2 ＝ 1 2 GM0m ( r0 2 ) 2 ＝ 2GM0m r 2 0 ＝2F 地，故 C 项正确。 答案 C 3．(卫星的运动)我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运 行的“天宫二号”成功对接形成“组合体”。对接后的“组合体”仍在“天宫二号”的轨道 上运行。“组合体”和“天宫二号”运动的轨道均可视为圆轨道，“组合体”和“天宫二号” 相比，“组合体”运行的( ) A．周期变小 B．角速度变大 C．动能变大 D．向心加速度变小 解析 因“组合体”和“天宫二号”在相同的轨道上做匀速圆周运动，可知“组合体” 和“天宫二号”相比具有相同的周期、速度、角速度和向心加速度，但是由于组合体的质量 变大，则动能变大，C 项正确。 答案 C 4．(对宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与 通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括 5 颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星。对于 其中的 5 颗同步卫星，下列说法正确的是( ) A．它们运行的线速度一定不小于 7.9 km/s B．地球对它们的吸引力一定相同 C．一定位于赤道上空同一轨道上 D．它们运行的加速度一定相同 解析 同步卫星运行的线速度一定小于 7.9 km/s，A 项错误；由于 5 颗同步卫星的质量 不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，B 项错误；5 颗同步卫星一定位于赤道上 空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，C 项正确，D 项错误。 答案 C 考点 1 天体质量和密度的计算 考|点|速|通 天体质量及密度的估算方法 典|例|微|探 【例 1】 (多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许 被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球 半径 R，地球上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心 到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出( ) A．地球的质量 m 地＝ gR 2 G
4π2f B.太阳的质量m太=G C.月球的质量m4x2 D.可求月球、地球及太阳的密度 [解题指导]利用万有引力提供向心力估算天体质量时,只能估算中心天体的质量,并 非环绕天体的质量 解析对地球表面的一个物体来说,应有m·所以地球质量m感,A项正 确:对地球绕太阳运动来说,有 42l2 地gl2,则m=GB 项正确:对月球绕地球 运动来说,能求地球质量,不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量,无法求出它的质 量和密度,C、D两项错误。 答案AB 估算天体质量和密度时应注意的问题 1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时,估算的只是中心天体的 质量,并非环绕天体的质量 区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r≈R计算天体 密度时,=六I中的R只能是中心天体的半径。 题|组|冲 1.已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍,某行星的同步卫星轨道半径约为 该行星半径的3倍,该行星的自转周期约为地球自转周期的一半,那么该行星的平均密度与 地球平均密度之比约为() 解析根据 mn,解得∥3 因为=丌R,对于地球:r=7R,所以p Fax,对于行星:r=3,所以p“么3,又因为7=27,所以pt:p M3丌×73 M3π 地343≈3,A项正确 答案 2.宇航员乘坐航天飞船,在距月球表面高度为H的圆轨道绕月运行。经过多次变轨最后 登上月球。宇航员在月球表面做了一个实验:将一片羽毛和一个铅球从高度为h处同时以速 度v做平抛运动,二者同时落到月球表面,测量其水平位移为x。已知引力常量为G,月球半 径为R,则下列说法不正确的是()
- 4 - B．太阳的质量 m 太＝ 4π2 L 3 2 GT 2 2 C．月球的质量 m 月＝ 4π2 L 3 1 GT 2 1 D．可求月球、地球及太阳的密度 [解题指导] 利用万有引力提供向心力估算天体质量时，只能估算中心天体的质量，并 非环绕天体的质量。 解析 对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0g＝ Gm地m0 R 2 ，所以地球质量 m 地＝ gR 2 G ，A 项正 确；对地球绕太阳运动来说，有Gm太m地 L 2 2 ＝m 地 4π2 T 2 2 L2，则 m 太＝ 4π2 L 3 2 GT 2 2 ，B 项正确；对月球绕地球 运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质 量和密度，C、D 两项错误。 答案 AB 估算天体质量和密度时应注意的问题 1．利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的 质量，并非环绕天体的质量。 2．区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有 r≈R；计算天体 密度时，V＝ 4 3 πR 3 中的 R 只能是中心天体的半径。 题|组|冲|关 1．已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 7 倍，某行星的同步卫星轨道半径约为 该行星半径的 3 倍，该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与 地球平均密度之比约为( ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 解析 根据 G Mm r 2＝m 4π2 T 2 r，解得 M＝ 4π2 r 3 GT 2 ，因为 V＝ 4 3 πR 3，对于地球：r＝7R，所以 ρ 地 ＝ M V ＝ 3π×73 GT 2 ，对于行星：r′＝3R，所以 ρ 行＝ M V ＝ 3π×33 GT′ 2 ，又因为 T＝2T′，所以 ρ 行∶ρ 地＝ 108 343≈ 1 3 ，A 项正确。 答案 A 2．宇航员乘坐航天飞船，在距月球表面高度为 H 的圆轨道绕月运行。经过多次变轨最后 登上月球。宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铅球从高度为 h 处同时以速 度 v0 做平抛运动，二者同时落到月球表面，测量其水平位移为 x。已知引力常量为 G，月球半 径为 R，则下列说法不正确的是( )
A.月球的质量=2hM B.在月球上发射卫星的第一宇宙速度大小n= C.月球的密度=3h πX2hR D.有一个卫星绕月球表面运行周期7= 解析设平抛运动落地时间为t,根据平抛运动规律,水平方向有x=t,竖直方向h ,解得月球表面重力加速度P在月球表面,有=,解得月球质量36 A项正确;设在月球表面运动的卫星的第一宇宙速度为v,由万有引力定律提供向心力得到 解得=VhR,B项正确;根据密度公式可以得到八sh团F 3hv 32xGπR C项错误:根据公式可以得到卫星绕月球表面运行的周期7= 2IR2IR IN2hR 项 正确 答案C 考点2卫星的运动 考|点|速|通 卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力,即由 可推导出 减小 rNS 当r增大时减小 7增大 7= 减小 典|例|微|探 【例2】(多选)如图所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地 面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法正确的是() A.a、b的线速度大小之比是V2:1
- 5 - A．月球的质量 M＝ 2hv 2 0R 2 Gx 2 B．在月球上发射卫星的第一宇宙速度大小 v1＝ v0 x 2hR C．月球的密度 ρ＝ 3hv 2 0 4πGRx 2 D．有一个卫星绕月球表面运行周期 T＝ πx 2hR v0h 解析 设平抛运动落地时间为 t，根据平抛运动规律，水平方向有 x＝v0t，竖直方向 h ＝ 1 2 g0t 2，解得月球表面重力加速度 g0＝ 2hv 2 0 x 2 ，在月球表面，有 G Mm R 2＝mg0，解得月球质量 M＝ 2hv 2 0R 2 x 2 G ， A 项正确；设在月球表面运动的卫星的第一宇宙速度为 v，由万有引力定律提供向心力得到 G Mm′ R 2 ＝m′ v 2 R ，解得 v＝ v0 x 2hR，B 项正确；根据密度公式可以得到 ρ＝ M V ＝ 2hv 2 0R 2 x 2 G 4 3 πR 3 ＝ 3hv 2 0 2x 2 GπR ， C 项错误；根据公式可以得到卫星绕月球表面运行的周期 T＝ 2πR v ＝ 2πR v0 x 2hR ＝ πx 2hR v0h ，D 项 正确。 答案 C 考点 2 卫星的运动 考|点|速|通 卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由 G Mm r 2＝m v 2 r ＝mrω2＝m 4π2 T 2 r＝man 可推导出： v＝ GM r ω＝ GM r 3 T＝ 4π2 r 3 GM an＝G M r 2 ⇒当 r 增大时 v减小 ω减小 T增大 an减小 典|例|微|探 【例 2】 (多选)如图所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地 面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径)。下列说法正确的是( ) A．a、b 的线速度大小之比是 2∶1
B.a、b的周期之比是1:2VE C.a、b的角速度大小之比是3V6:4 D.a、b的向心加速度大小之比是9:4 解析卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力由地球给卫星的万有引力提供。由 故A项错误;由 = 故B项错误:由=m81a 故C项正确:由m=m得 项正确。 答案CD 利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧 1.一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型 2.两组公式 =m=团I=ma=mv n=-a(g为天体表面处的重力加速度)。 3.a、v、ω、T均与卫星的质量无关,只由轨道半径和中心天体质量共同决定,所有参 量的比较,最终归结到半径的比较。 题|组|冲|关 1.(2019·张家口月考)如图所示,某极地轨道卫星的运动轨道平面通过地球的南北两极, 已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h,则下列说法正确的是() A.该卫星与同步卫星的运行半径之比为1:8 B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为2:1 C.该卫星的运行速度一定大于7.9km/s D.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 解析卫星从北纬60°的正上方,按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时,偏转 的角度是120°,刚好为运动周期的2,所以卫星运行的周期为3h,同步卫星的运行周期是 2t该星间步卫星的运行周期之比为1:8由学=可知=√该卫星
- 6 - B．a、b 的周期之比是 1∶2 2 C．a、b 的角速度大小之比是 3 6∶4 D．a、b 的向心加速度大小之比是 9∶4 解析 卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力由地球给卫星的万有引力提供。由 G Mm r 2 ＝m v 2 r 得 v1 v2 ＝ r2 r1 ＝ 3R 2R ＝ 3 2 ，故 A 项错误；由 G Mm r 2 ＝m 2π T 2 r 得 T1 T2 ＝ r 3 1 r 3 2 ＝ 2 3 2 3 ， 故 B 项错误；由 G Mm r 2＝mω 2 r 得 ω1 ω2 ＝ r 3 2 r 3 1 ＝ 3 6 4 ，故 C 项正确；由 G Mm r 2＝ma 得 a1 a2 ＝ r 2 2 r 2 1 ＝ 9 4 ，故 D 项正确。 答案 CD 利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧 1．一个模型 天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 2．两组公式 G Mm r 2 ＝m v 2 r ＝mω2 r＝m 4π2 T 2 r＝mvω mg＝ GMm R 2 (g 为天体表面处的重力加速度)。 3．a、v、ω、T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参 量的比较，最终归结到半径的比较。 题|组|冲|关 1.(2019·张家口月考)如图所示，某极地轨道卫星的运动轨道平面通过地球的南北两极， 已知该卫星从北纬 60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬 60°的正上方时所用时间为 1 h，则下列说法正确的是( ) A．该卫星与同步卫星的运行半径之比为 1∶8 B．该卫星与同步卫星的运行速度之比为 2∶1 C．该卫星的运行速度一定大于 7.9 km/s D．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 解析 卫星从北纬 60°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬 60°的正上方时，偏转 的角度是 120°，刚好为运动周期的1 3 ，所以卫星运行的周期为 3 h，同步卫星的运行周期是 24 h，该卫星与同步卫星的运行周期之比为 1∶8。由 G Mm r 2 ＝m 4π2 T 2 r 可知 r＝ 3 GMT 2 4π2，该卫星
与同步卫星的运行半径之比为1:4,故A项错误;由,2孤,可知该卫星与同步卫星的运行 速度之比为2:1,故B项正确:7.9km/s是卫星环绕地球做匀速圆周运动最大的运行速度, 所以该卫星的运行速度一定小于7.9km/s,故C项错误;由于不知道卫星的质量关系,所以 不能比较机械能的关系,故D项错误。 答案B 2.(多选)2018年2月12日13时03分,我国在西昌卫星发射中心成功发射第五、六颗 北斗三号全球组网卫星,完成了农历鸡年中国航天的“收官之战”。北斗导航系统中,某颗 卫星绕地球做圆周运动,其向心加速度大小为a,线速度大小为v,万有引力常数为G,由以 上数据可知() A.该卫星轨道半径为 B.该卫星角速度大小为 C.该卫星的周期大小为 D.该卫星的质量 解析由向心加速度公式“可得;P 12 A项错误:由a=Pa得a=,B项正确 由=7结合a=得卫星的周期n2xyC项正确;由cmm2 结合a=-得地球的 质量作a并不是卫星的质量,D项错误 答案BC 考点3卫星的发射和变轨 考|点速|通 1.稳定运行 卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力 由此可知,轨道半径r越大,卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度v突然改变 v2 时,F和m不再相等,因此就不能再根据 米确定v的大小,当 时,卫星 做近心运动:当F<m时,卫星做离心运动。 2.变轨运行 人造卫星在轨道变换时,总是主动或由于其他原因使速度发生变化,导致万有引力与向 心力相等的关系被破坏,继而发生近心运动或者离心运动,发生变轨。在变轨过程中,由于 动能和势能的相互转化,可能出现万有引力与向心力再次相等,卫星即定位于新的轨道。 典|例|微|探
- 7 - 与同步卫星的运行半径之比为 1∶4，故 A 项错误；由 v＝ 2π T r 可知该卫星与同步卫星的运行 速度之比为 2∶1，故 B 项正确；7.9 km/s 是卫星环绕地球做匀速圆周运动最大的运行速度， 所以该卫星的运行速度一定小于 7.9 km/s，故 C 项错误；由于不知道卫星的质量关系，所以 不能比较机械能的关系，故 D 项错误。 答案 B 2．(多选)2018 年 2 月 12 日 13 时 03 分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五、六颗 北斗三号全球组网卫星，完成了农历鸡年中国航天的“收官之战”。北斗导航系统中，某颗 卫星绕地球做圆周运动，其向心加速度大小为 a，线速度大小为 v，万有引力常数为 G，由以 上数据可知( ) A．该卫星轨道半径为a v 2 B．该卫星角速度大小为a v C．该卫星的周期大小为2πv a D．该卫星的质量为v 4 Ga 解析 由向心加速度公式 a＝ v 2 r 可得 r＝ v 2 a ，A 项错误；由 a＝vω 得 ω＝ a v ，B 项正确； 由 a＝ 4π2 T 2 r，结合 a＝ v 2 r 得卫星的周期 T＝ 2πv a ，C 项正确；由 G Mm r 2 ＝ mv 2 r ，结合 a＝ v 2 r 得地球的 质量 M＝ v 4 Ga ，并不是卫星的质量，D 项错误。 答案 BC 考点 3 卫星的发射和变轨 考|点|速|通 1．稳定运行 卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由GMm r 2 ＝m v 2 r 得 v＝ GM r 。由此可知，轨道半径 r 越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度 v 突然改变 时，F 引和 m v 2 r 不再相等，因此就不能再根据 v＝ GM r 来确定 v 的大小，当 F 引＞ mv 2 r 时，卫星 做近心运动；当 F 引＜ mv 2 r 时，卫星做离心运动。 2．变轨运行 人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向 心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于 动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道。 典|例|微|探
【例3】中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星,该卫星运行的轨 道示意图如图所示,卫星先沿椭圆轨道1运行,近地点为,远地点为P。当卫星经过P点时 点火加速,使卫星由椭圆轨道1变轨到地球同步轨道2上运行,下列说法正确的是() A.卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等 B.卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度 C.卫星在轨道2上时处于超重状态 D.卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度 解析卫星在两轨道上运动的机械能不相等,A项错误;在轨道上运行经过P点的速度 应小于近地点Q的速度,万有引力做正功使动能增加,B项错误:卫星在轨道上应处于失重状 态,C项错误;由万有引力提供向心力可知 a=,在同一点P加速度相等,D项 正确 答案D 卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 变轨结果 道上运动 道上运动 题|组|冲关 1.(多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近 似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀 薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是() A.卫星的动能逐渐减小 B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小 C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变 D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 解析相(=,得=√,可知轨道半径越小,则越大,动能越大,故A 项错误:根据功能关系,引力做正功,引力势能一定减小,故B项正确:根据功能关系,机 械能的变化与除重力以外其他力做功有关,既然气体阻力做了负功,机械能一定会减小,故C 项错误:根据动能定理,一〃=尻2一1,由于卫星的动能逐渐增大,所以>W,故D项正 答案BD 2.美国曾在夏威夷考艾乌的太平洋导弹靶场进行过一次中段反导试验,中段是指弹道导
- 8 - 【例 3】 中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨 道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道 1 运行，近地点为 Q，远地点为 P。当卫星经过 P 点时 点火加速，使卫星由椭圆轨道 1 变轨到地球同步轨道 2 上运行，下列说法正确的是( ) A．卫星在轨道 1 和轨道 2 上运动时的机械能相等 B．卫星在轨道 1 上运行经过 P 点的速度大于经过 Q 点的速度 C．卫星在轨道 2 上时处于超重状态 D．卫星在轨道 1 上运行经过 P 点的加速度等于在轨道 2 上运行经过 P 点的加速度 解析 卫星在两轨道上运动的机械能不相等，A 项错误；在轨道上运行经过 P 点的速度 应小于近地点 Q 的速度，万有引力做正功使动能增加，B 项错误；卫星在轨道上应处于失重状 态，C 项错误；由万有引力提供向心力可知：G Mm r 2＝ma，a＝ GM r 2，在同一点 P 加速度相等，D 项 正确。 答案 D 卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 受力分析 G Mm r 2 m v 2 r 变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨 道上运动 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨 道上运动 题|组|冲|关 1．(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近 似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀 薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是( ) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 解析 根据 G Mm r 2＝m v 2 r ，得 v＝ GM r ，可知轨道半径越小，则 v 越大，动能越大，故 A 项错误；根据功能关系，引力做正功，引力势能一定减小，故 B 项正确；根据功能关系，机 械能的变化与除重力以外其他力做功有关，既然气体阻力做了负功，机械能一定会减小，故 C 项错误；根据动能定理，WG－W 阻＝Ek2－Ek1，由于卫星的动能逐渐增大，所以 WG>W 阻，故 D 项正 确。 答案 BD 2．美国曾在夏威夷考艾乌的太平洋导弹靶场进行过一次中段反导试验，中段是指弹道导
弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段。如图所示,一枚蓝军弹道导弹从地面上A点发射升 空,目标是攻击红军基地B点,导弹升空后,红军反导预警系统立刻发现目标,从C点发射 拦截导弹,并在弹道导弹飞行中段的最高点D将其击毁,下列说法正确的是() A.图中E到D过程,弹道导弹机械能不断增大 B.图中E到D过程,弹道导弹的加速度大小不变 C.弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆 D.弹道导弹飞行至D点时速度大于7.9km/s 解析E到D过程,依靠惯性飞行,只受引力,只有引力做功,机械能守恒,故A项错 误:E到D过程,高度增大,地球对导弹的引力减小,加速度减小,故B项错误:根据开普勒 第一定律,导弹在大气层外只受地球引力,其运动轨迹是以地心为焦点的椭圆,故C项正确 根据开普勒第二定律,导弹离地面越远速度越小,离地面越近速度越大,地面附近的速度为 第一宇宙速度7.9km/s,所以弹道导弹飞行至D点时速度小于7.9km/s,故D项错误。 答案C 双星模型 1.模型构建 在天体运动中,将两颗彼此相距较近,且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某 点做周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星 2.模型条件 (1)两颗星彼此相距较近 (2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。 模型特点 向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提 供,故F=F,且方向相反,分别作用在两颗恒星上,是一对作用力和反作用力。 (2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)“半径反比”一一圆心在两颗恒星的连线上,且n+n=L,两颗恒星做匀速圆周运 动的半径与恒星的质量成反比。 (4)巧妙求质量和一Om =,① Cm+ m) ①+②得 a2L,所以m+= 【经典考题】双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连 线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、 距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化 后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期 为()
- 9 - 弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段。如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上 A 点发射升 空，目标是攻击红军基地 B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从 C 点发射 拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点 D 将其击毁，下列说法正确的是( ) A．图中 E 到 D 过程，弹道导弹机械能不断增大 B．图中 E 到 D 过程，弹道导弹的加速度大小不变 C．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆 D．弹道导弹飞行至 D 点时速度大于 7.9 km/s 解析 E 到 D 过程，依靠惯性飞行，只受引力，只有引力做功，机械能守恒，故 A 项错 误；E 到 D 过程，高度增大，地球对导弹的引力减小，加速度减小，故 B 项错误；根据开普勒 第一定律，导弹在大气层外只受地球引力，其运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，故 C 项正确； 根据开普勒第二定律，导弹离地面越远速度越小，离地面越近速度越大，地面附近的速度为 第一宇宙速度 7.9 km/s，所以弹道导弹飞行至 D 点时速度小于 7.9 km/s，故 D 项错误。 答案 C 双星模型 1．模型构建 在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某 点做周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。 2．模型条件 (1)两颗星彼此相距较近。 (2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。 (3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。 3．模型特点 (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提 供，故 F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。 (2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。 (3)“半径反比”——圆心在两颗恒星的连线上，且 r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运 动的半径与恒星的质量成反比。 (4)巧妙求质量和―→ Gm1m2 L 2 ＝m1ω2 r1， ① Gm1m2 L 2 ＝m2ω2 r2， ② ①＋②得 G(m1＋m2) L 2 ＝ω 2 L，所以 m1＋m2＝ ω 2 L 3 G 。 【经典考题】 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连 线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、 距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化 后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期 为( )
解析双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为L,质量分别为Mm,圆 周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r 对质量为m的恒星 对质量为M的恒星=2x 得 GMt mr 则当总质量为k(M+m),间距为L=mL时, T,选项B正确。 答案B 必刷|好题 1.(多选)宇宙中,两颗靠得比较近的恒星,只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转 称之为双星系统。在浩瀚的银河系中,多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线 上的O点做匀速圆周运动,如图所示。若AOOB,则( A.星球A的质量一定大于B的质量 B.星球A的线速度一定大于B的线速度 C.双星间距离一定,双星的质量越大,其转动周期越大 D.双星的质量一定,双星之间的距离越大,其转动周期越大 解析设双星质量分别为皿、m,轨道半径分别为R、R,两者间距为L,周期为T,角 Giallo 速度为a,由万有引力定律可知:么c2R,① Gm=ma2,② R+R=L,③ R 由①②式可 而AD>OB,故A项错讠 R =R,v=R,B项正确 2π 联立①②③得G(m+mb)=2L,又因为7= 答案BD0V(a+可知C项错误,D项正确。 故7=2x 2.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示, 三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R,忽略其他星体对它们的引 力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,万有引力常量为G,则()
- 10 - A. n 3 k 2T B. n 3 k T C. n 2 k T D. n k T 解析 双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为 L，质量分别为 M、m，圆 周运动的圆心距质量为 m 的恒星距离为 r。 对质量为 m 的恒星 G Mm L 2＝m 2π T 2 r， 对质量为 M 的恒星 G Mm L 2＝M 2π T 2 (L－r)， 得 G M＋m L 2 ＝ 4π2 T 2 L，即 T 2＝ 4π2 L 3 G(M＋m) ， 则当总质量为 k(M＋m)，间距为 L′＝nL 时， T′＝ n 3 k T，选项 B 正确。 答案 B 必|刷|好|题 1.(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转， 称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统 A、B 绕其连线 上的 O 点做匀速圆周运动，如图所示。若 AO>OB，则( ) A．星球 A 的质量一定大于 B 的质量 B．星球 A 的线速度一定大于 B 的线速度 C．双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D．双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 解析 设双星质量分别为 mA、mB，轨道半径分别为 RA、RB，两者间距为 L，周期为 T，角 速度为 ω，由万有引力定律可知：GmAmB L 2 ＝mAω2 RA，① GmAmB L 2 ＝mBω2 RB，② RA＋RB＝L，③ 由①②式可得mA mB ＝ RB RA ，而 AO＞OB，故 A 项错误； vA＝ωRA，vB＝ωRB，B 项正确； 联立①②③得 G(mA＋mB)＝ω2 L 3，又因为 T＝ 2π ω ， 故 T＝2π L 3 G(mA＋mB) ，可知 C 项错误，D 项正确。 答案 BD 2.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示， 三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它们的引 力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则( )