4200厚板轧机扭振动力学研究

D01I:10.13374/i.issn1001053x.1981.04.008 北京钢铁学院学报 1981年第4期 4200厚板轧机扭振动力学研究 治金机械教研室 林 摘 要 本轧机的特点是从开坯（最大钢锭重40吨）到成品（钢板最小厚度8毫米）生 产都在这台四辊可逆式单机座轧机上一气呵成。由于轧辊接手强度受到空间条件限 -一制致使传动系统成为轧机的薄弱环节。本文是在使用电阻应变仪及光线示波器等对 该轧机先后三次进行综合测试的基础上所作的传动系统专题总结。主要内容有：轧 机轴系扭振固有频率和振型的电子计算机分析，各种咬钢加载过程的动态反应及计 算公式，总反应的简化计算与反应，万向接轴的动荷系数及其可能的最大值。文 中提出降低动荷系数的方法。所列数据、公式和图线可供设计者和操作者参考，也 可与工艺联系起来为进一步制订控制负荷和优化轧制方案服务。 一、轴系扭振的固有频率和振型 研究轧机扭振动力学问题常常是从固有频率及振型 开始。因为事先查明机械系统的频率特性，对开展工作将 00 带来某些方便。 这台4200轧机主传动系统的布置简图如图1所示。 它的物理参数列于表1。正是这些参数决定该系统的扭 图1 振固有频率和振型。 表1 4200轧机主传动系统的物理参数 kg-M-sec2 10 (kg-M)/rad 转动惯量 轴段刚度 上轴 系统 下轴系统 上轴系统 下轴系统 1500(3220) 1500(3220) K12 109 109 1 127 127 K23 13.8 13.8 J 733 717 J. K34 119 23.3 3420 320 Jo 3420 3420 K45 110 119 J。 3420 K66 110 注：参加轧机测试工作的，除我院治金机械测试科研组沈久珩、高庆福、叶熙琳、付俊 庆、陈工等同志外，还有舞阳钢铁公司刘签伸、陆松年等同志。电算机程序是吴继喪同志编 制的。 85

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 一期 厚板轧机扭振动 力学研究 冶金机械教研 室 林 鹤 摘 要 本轧机 的特 点是 从 开 坯 最 大钢锭重 吨 到成 品 钢板 最 小厚 度 毫米 生 产 都在这 台四 辊 可逆 式单机 座 轧机 上一 气呵成 。 由于 轧辊接手 强度 受到空 间条件 限 制致使传 动系统 成 为轧机 的 薄弱 环 节 。 本文是 在使用 电阻 应 变仪 及 光 线 示 波器 等对 该轧机先 后三 次进行 综合 测试 的墓 础上所作 的传 动系统 专题 总结 。 主 要 内容有 乳 机轴 系 扭振 固有频率 和 振型 的 电子计算机分 析 各 种 咬钢加 载过 程 的动态反 应及 计 算公 式， 总反 应 的 简化 计 算与反 应 婚， 万 向接轴 的动荷系数及 其可 能 的最 大值 。 文 中提出降低 动荷系数 的方法 。 所 列数 据 、 公 式和 图线 可供 设 计 者和 操作者参 考， 也 可 与工 艺联 系起 来为 进一 步制订 控 制负荷和 优化 轧 制方 案服 务 。 一 、 轴 系扭振 的 固有频 率和振 型 研究 轧机扭振 动 力学 问题常常是 从 固有频率 及振型 开始 。 因为事 先查 明机械 系统 的频率 特 性 ， 对开 展工作将 带 来某些 方便 。 这 台 轧机主 传动 系统的布置 简图如图 所示 。 它 的物理参数列 于表 。 正是这 些 参数决定该 系统 的扭 振 固有频率和振型 。 图 表 轧机主传动 系统 的物理 参数 一 一 “ 一 转动愉 轴 段 刚度 ‘，上占‘几 月上‘甘‘几 公切甘一甘 上 轴 系 统 下 轴 系 统 上轴系统 下轴系统 ‘ ‘ 。 。 ‘了下，﹄ 庆 、 制的 注 参加 轧机测试 工 作的 ， 除我 院冶金 机械 测试 科研 组 沈 久晰 、 高庆 福 、 叶熙琳 、 付俊 陈工 等向志外 ， 还 有舞 阳钢铁公 可刘益 律 、 陆松年等同 志 。 电算机程序是 吴 继决 同志编 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．04．008

轧机在突然咬钢和突然抛钢的情况下，在主传动系统中都会引起扭振。当轧钢时，由于 板坯较宽地填充在两个工作辊之间，对上、下辊系起了联结的作用。在抛钢以后，上、下辊 系又各自成为独立的系统。两者的条件不同，其扭振频率也有所不同。本文应用电子计算机 求出上述两种情况的固有频率列于表2。 表2 扭振（圆）颜率计算值(rad/sec)及其比值 第一频率第二频率第三频率第四频率第五频率 p2/pp3/p2 p/psps/p Pi p2 p3 pi Po 负 上轴系 69.12 242.82 466.69 999.75 3.51 1.92 2.14 扭 下轴系 57.17 207.66 262.99 693.82 999.62 3.63 1.26 2.63 1.44 空 上轴系 91.13 243.25 467.13 1016.96 2.66 1.92 2.17 振 下轴系 74.26 211.56 263.42 693.931016.83 2.84 1.24 2.63 1.46 从表2可知，本轧机的上轴系和下轴系在负载及空转两种情况下的扭振频率都满足以下 两个条件式“ p2>2 pi P+1>1.2~1.3 (i=2,3,4) 其中第二式意味着该振型对总反应的振幅影响较小。这在本文的理论分析中和实测示波图中 都得到了证实。不言可喻，上列条件式的一齐满足，如果不是设计者的精心安排，那就是各 种现实条件（包括现场平面布置、工艺条件、零件强度及几何尺寸等）偶然巧合的结果。 与各阶频率相对应的各阶振型（空转扭振从略）如图2所示。对比细察，可以看出以下 几点： 1.与各阶频率相对应的振型图中，节点数与该频率及振型的阶数相同。而且在最高阶 振型中两相邻质量之间必有-一个节点。这些都是符合振动理论的普遍规律的。 2.,上、下轴系在两种不同情况下各自对应的二阶以上各次高频都是基本不变的。但基 频（第一频率）有所不同。在轧钢时上轴系扭振频率f:=p!/2π=11赫：下轴系扭振频率 f1=9赫。它们与实测示波图上的频率数f=10赫颇为接近。空转扭振时上轴系f1=14.5 赫，下轴系f:=11.8赫。 3,上、下轴系在两种不同情况中各自相应的第一振型和最高振型都是一致的。但上轴 系的第二振型和下轴系的第二、第三振型都只有一个节点发生位置变化。 4,上、下轴系各自在两种不同情况中的上述差别来源于轧辊的转动惯量(J:)的不同。 由此可以得出结论：增加某一飞轮体的转动惯量将导致系统的频率降低，反之减少某一飞轮 体的转动惯量将导致系统的频率提高。 A.S,Herman Jr,J.Wr ight等人把这两个条件式推荐为轧机设计准则，并写了 文章发表在“Iron and Stee1Engr.”1969.12,1976.7. 86

轧机在突然 咬钢 和 突然抛钢 的情况下 ， 在主传动系统中都会引起扭振 。 当轧钢 时 ， 由于 板坯较宽地填充在 两个工作辊之 间 ， 对上 、 下辊 系起 了联结 的作用 。 在抛钢 以后 ， 上 、 下辊 系又 各 自成为独立的 系统 。 两者 的 条件不 同 ， 其扭振频率 也有所不 同 。 本文应用 电子计算机 求出上述 两种情 况 的 固有频率列 于表 。 表 扭振 圆 须率计算值 及其比值 第四频率 第五频率 ， 。 二 ， 。 … 二‘ ‘几 任 任 石，曰 ，八工 任的 一频旧用率一 一 一频一率一 第一 一第 率一一 第一 频一 一系一 一振扭载转空负 一下上一轴 从表 可 知 ， 本 轧机 的上轴 系和 下轴 系在 负载 及空转 两种情况下 的扭振频率都满 足 以下 两 个条件式 爷 、 。 一二户一 护 ‘ 、 。 － 洲 。 乙 。 其中第二式意味着 该振 塑对总反应的振幅 影响较 小 。 ， ， 这在本文的理论分析 中和实测示波图 中 都得到 了证实 。 不言可 喻 ， 上列 条件式的一 齐满足 ， 如 果不是设计者 的精心安排 ， 那就 是 各 种现实条件 包括 现场 平面布置 、 工 艺 条件 、 零件强度 及几何尺 寸等 偶然 巧合 的结 果 。 与各阶频率相 对应 的 各阶振型 空转 扭振从 略 如 图 所示 。 对 比 细察 ， 可 以看 出 以下 几点 与 各阶频率相 对应 的振型 图 中 ， 节点数与该频率 及振型 的阶数相 同 。 而且在最 高阶 振型 中两相邻质量之间必有一 个节点 。 这些 都是 符合振 动理论的普遍规律 的 。 上 、 下轴 系在 两种不 同情况下各自对应 的二阶 以上 各次高频都是基 本不 变的 。 但基 频 第一频率 有所 不 同 。 在 轧钢 时 上轴 系扭振频 率 ， 二 赫 下轴 系扭振频率 赫 。 它们与实测示波图上 的频 率数 二 赫颇为接近 。 空转扭 振 时上轴 系 赫 ， 下轴 系 赫 。 上 、 下轴 系在 两种不 同倩况 中各自相应 的 第一振型 和 最 高振型都是一 致的 。 但上轴 系的第二振型 和下轴 系的 第二 、 第三振型都只 有一个节点 发生位置 变化 。 上 、 下轴 系 各 自在 两种不 同情 况 中的上述差 别来源于轧辊的转动惯量 ， 的 不 同 。 由此 可 以得出结论 增加 某一 飞轮体的转动惯量将导致系统 的频 率 降低 ， 反 之减少某一 飞 轮 体的转动愤量将导 致系统 的频 率提 高 。 ， 等人把这 两 个条件 式推荐为轧 机设 计 准别 ， 并写 了 文章发表在 ”

0.903 0.113 (p:=69) -0.491 (p:=57) -0.508 -0.365 812,6 d22 -0.741 P242)-1.0g10.5 -0.274 (p=207)-10,22 -2.51-0.相 10.86 9.12.8 -5.43 893 (P,=446)7 (p1=262) 11.1 16.51 0.560,00081b 5,39 -002, -13.2 (P,=999) (P,=693) 66.9 -28,52 -75.4. (a) 0.58 0.002 -0.07-0.001 (ps=999) -28.5. 1 (b) 图2 5.减少轴段数或增加轴段的刚性将导致系统的频率增加，反之，增加轴段数或减小轴 段的聊性则导致系统的频率降低。 振动理论告诉我们：一个机械系统的固有频率特性是影响该机械系统的动态反应的重要 因素。存在节点的轴段乃是对于该振型具有较大振动力矩的轴段。节点的位置则表示该特定 振型的相应频事对那些轴段起主要作用。对于任一已知振型，如果想通过改变惯量(J)来改 变该振型的频串时，应选择变更远离节点的惯量。如果想通过改变刚度(K)来达到改变频事 时，则选择变更靠近或位于节点的轴段。因为这样做较为有效。这些方法可以用来改进轧机 设计，也是我们从频率及振型入手研究轴系扭振的目的之一。 二、零速咬钢过程的动态反应 零速咬钢是指轧辊咬入轧件时的初始速度为零，轧机转速的建立伴随着轧件的被咬入。 由于是零速，所以轧机咬钢初瞬的空转力矩也是等于零的。在这种情况下，轧机轴系的动态 反应来源于外加力矩而没有初始条件所给予的影响，或称咬入初始条件为零。 让我们选取该轧机轧制第一块单迭铜钢复合板时的第15道次（图3）和第17道次（图4） 87

一工，‘︸ ﹃户移‘月 ︸”目一﹃﹄ 气 灭 ‘ 。 二 一 。 图 减少轴 段数或增加 轴段 的 刚性将导致 系统的频率增加， 反之 ， 增加轴 段数 或减小轴 段的跳性则导 致 系统 的频 率 降低 。 振动理论告诉我们 一个机械系统 的 固有频率特性是影响 该机械系统的动态反应的重要 因素 。 存在节点的轴段 乃是 对于该 振 型具有较大振 动力矩 的轴段 。 节点 的位 置 则表示该特定 振 型 的相应须率对那些 轴 段起主 要 作用 。 对于 任一 已知振型 ， 如 果 想通 过改变惯盘 来改 变该振 型 的颇率时 ， 应选择 变更远离节点的 惯 量 。 如 果 想通 过改 变刚度 来达 到改 变频率 时 ， 则选择 变更靠近 或位 于节点的 轴 段 。 因为这样做 较为有效 。 这些 方 法可 以用 来改进轧机 设计， 也是我们 从频率 及振 型入 手研 究轴 系扭振的 目的 之一 。 二 、 零 速咬钢过 程 的动态反应 零速 咬钢是 指轧辊 咬入 轧件时的 初始速度为零 ， 轧机转速 的建立 伴随 着轧件的被咬入 。 由于是零速 ， 所 以轧机咬钢 初瞬 的 空转力矩也是等于零的 。 在 透种情 况下 ， 轧机轴系的动态 反应 来 源于外加 力矩 而没有初 始 条件所 给 予的 影响 ， 或称 咬入 初始 条件为零 。 让我们选取该 轧机轧制 第一块单迭铜钢 复合板时的 第 道次 图 和 第 道次 图 母了

的实测示波图作为零速咬钢过程的典型分析。 M P北 图3 图4 假设在咬入过程中轧制力矩M:和电机力矩M相应地呈线性 变化如图5所示： M,(t)=M卡 M(t)=M。=Cwi卡 t 式中Mn一稳定轧制静力矩（包括轴承摩擦力矩在内）， 图5 M。一一个电机的稳定驱动力矩(M。≈去Mn), T一一咬入过程时间影 Cw一电机力矩与电流的换算比例系数： in一稳定轧制时的电流稳定值影 t一时间。 在咬入终了、转为稳定轧制以后的相应外加力矩为： M(t)=Mn M(t)=Mg=Cyin }t≥T 上、下轴系各轴段扭矩的矩阵微分方程分别写在下面： D+pe 0 0 Mi2 八、 K23 J D2+p3 0 M: K3 D2+p -K4 Ma J 0 0 D2+p6 MsK上) ”方程来源请参阅作者插写的《现代机械动力学原理（振动理论与应用之二）》第二章。 88

的 实测示波图作为零速咬钢 过程的 典型分析 。 引 装二 图 盯 假设在 咬入过程 中轧制 力矩 变化如图 所 示 。 ‘ ， ‘ “ ， 一 二， ”牛 二 ‘ ， 二 、 ‘ ， 一 ‘ ，‘ 牛一 图 和 电机力矩 相应地呈线性 三 了、、了 一 甲 式 中 。 － 稳定轧制 静力矩 包 括轴承摩擦力矩在 内 。 － 一个 电机的 稳定驱动 力矩 、 士 ， － 咬入过程时 间， － 电机力矩 与电流的换算比例 系数， 。 － 稳定轧制时的 电流稳定值， － 时 间 。 在 咬入 终了 、 转为稳定轧制 以后的 相应外加 力矩为 ‘ 州叮 ’‘ 「 ， 。 。 》 上 、 下轴系各轴段扭矩的 矩阵微分方程 分 别写在下面 名 子 圣 。 ‘ 鑫 ‘ 一 ，‘ ‘ ‘ 。 ， 若 。 一 ‘ 。 几 尹 方程来源请参阅作者拐写 的 《 现代 机械 动力学原 理 振 动理论 与应用之 二 》 第 二 章

K -K2 0 0 0 J2 0 0 K23 J2 0 0 0 K34 T (1) 0 0 0 Ms 0 0 K45 -M.(上) D2+p2 K12 J2 0 0 0 Mi: -K2 D2+p23 K23 J2 J; 0 0 M23 0 K34 一门 D2+p4 K 0 M3. K45. K 0 0 D2+p员6 J。 Mas 0 0 0 D2+p36 (下) K -K . 0 0 0 0 Mn 0 K23 K23 0 0 0 0 了2 K34 K94 0 0 t 0 0 J J 0 T(2) 0 0. 0 0 K45 J. 0 0 0 K 6 -M, 式中M2,M:3,…M。是从轧辊端到电机端的顺序轴段的扭矩， D和D是微分算符，D代表d/dt,D代表d/dt, p:k J2+J8 p3=K。j2,) =K., p-K出 p=K。 ,应用Cramer定理和Duhamel积分，分别求解（1)式及（2)式可得上、下轴系 各轴段扭矩的动态反应。这里只列出我们最关心的上、下万向接轴的动态反应式： 89

、 …… 了刀几下‘ 、 几 ‘ 肠 已 。 。 一 。 一 。 上 、 ‘ … 卢 “ 资 圣 、 皿 ， ‘ 之 音 ‘ ‘ 。 圣 。 心 匕 压 下 几 乳 ‘ 。 。 口卫了‘尹 … 二卫、 一 。 。 ‘ 。 一 七 。 。 。 。 一 。 一 。 几 式 中 ， ， 和 名是微 分 算符 ， 。 。 是 从轧辊端到 电机端的顺 序轴段的 扭 矩 ， 代表 ， 代表 ， 盆 ， ， ， 丁万了犷 一 ’ 子 二 洲 ，甘 一 ‘ 一 万 ， 吕 圣 。 一 。 一 万丁 ’ 。 ” 。 此 。 。 应用 冬平 定理和 积分 ， 分 别求解 式 及 式可得上 、 下轴多 各轴段扭 矩的动态反应 。 这里只 列 出我们 最关心 的上 、 下万向接轴的动态反应式 ‘

十-iinpt M2:山=KK(+1++1+1,)M-pp-p-pp-p J:JaJ3J.Js -1 T paT sinpat 片PTin pat P(pP)(p-P)(pi-p)P(p:-P)(p-p)(p1-p3) 十 卫apt *PI(D:-P(P-p(Pi-p (3) M23(下)= t 1 piT-sinpit -K9.++1++1+,M(pp-pog2p0p0=p 卡-卫这tipt 个int +pp-pXp-PXp-pXp居-p)+pp?-pXp员-pXp-pXp-p) t-1 T二piTsinpt 京-p不血pt +pip:-piXp-pixp-piXpi-p+pKp:-pixp:-pikpi-pixpp (4) ::分析一下(3)、(4)二式，我们得到如下启示： 1,·系统的各个顺序频率差距愈小，则动态反应就愈大“。因此，为了消除或减轻动态 反应，在设计时应尽量使各个顺序固有频率的差距拉开。尤其是把第一、第二频率的差距拉 开。 2.降低任一轴段的刚性，可使动态反应相对减弱。 3,加大系统的任一惯量，将使动态反应相对降低。但要记住这只是零速咬钢或外加载 荷条件下的结论。 把本轧机各参数的具体数据分别代入（3)式和(4)式对于图3所示的第15道次（咬 入加载过程时间T=0.7秒)得， M:山=M,7-6品M:inpt+90M:npt-082M:npt+ +0.00001 M.iPt 100 (5) M.(F)M.M.inpM.inptM.in 100 +0804M,mpt-0-9801M,mPt 100 (6) C.W.Thomas,R.P.Stratford等人以不同的方法和公式取得与此相同的结论。 并文发表于“Iron and Stee1Engr.”1969.5。在同年AISE年会上作过有关轧钢机 扭矩放大系数的专题讨论。 90

上 ‘ ‘ 。 ‘ 。 〔 十 ‘ 。 〕 一丁气 带 一 斌了 ‘ 。 卜 子 鑫一 子 卜 厂 生 一个一 一 一二一布尸 目 二 此 卜 圣 若一 圣 卜 鑫 子一 若 圣一 居 圣一 若 一 下 一 卜二一布尸 田 ‘ 了 气不弋一 气 甲一 一气犷丁， ‘ 盒 贯一 言 叹 生一 言 吸 言一 之 ， 下 黔兴子杂冷 竺 〔， ， ’ ，一’ ‘ · ’ “ 。 〕“ · 了一百 一 份 ‘ 子 圣一 子 子一 子 卜 孟而朴 二 一 上赴止赴 竺 一 ’ 圣 圣一 圣 鑫一 圣 圣一 圣 孟一 圣 了 一 万百个 一 目 “ 轰 卜 鑫 圣一 孟 卜 弓 若一 若 了 一 沛子二下俪 于不 一 ‘ ” ‘ ’ 上 一 音 若一 圣 卜 一 ，一 ， 一 ， 一、 言 亡一 言 生一 也 。 鑫一 蕊 泛一 老 、 ‘ ， 一 如 一 止 分析一下 、 二式 ， 我们得到如 下启示 系统的 各个顺 序频率差距 愈小 ， 则动态反应就愈大 ， 。 因此 ， 为 了消除或减轻 动态 反应 ， 在设计时应尽童使 各个顺 序固有须率的差 距 拉开 。 尤 其是 把 第一 、 第二频率的差 距拉 开 。 万 厂 ， 降低 任一轴段的 刚性 ， 可使动态反 应相对减弱 。 加大系统的 任一惯量 ， 将使 动态反应 相对降低 。 但 要 记住这只 是零速 吟钢 或外加 载 荷 条件下的结论 。 把本轧机各参数的具体数据分 别代 入 式和 式 对于图 所示 的 第 道次 咬 入 加 载过程时 间 秒 得 ， ， 上 了 一 箫 而 ‘ 一 苗 ‘ 。 下 带 一 孺 · ‘ ， 箫 · 卜 黯 。 ‘ ‘ 苗 一 越 。 尹 ， 等人 以不 同的方法 和公 式取得 与此相 同的结论 。 井撰文发表干 “ ” 。 在 同年 年会上 作过有关轧钢机 扭矩放大 系教的专 题讨论 。 幼护

对于图4所示的第17道次（咬入加载过程时间T=0,3秒）得： M山=M,于-66M,np,t+号M,sinp:t-9108M:sin Pat+ 100 .00002 M sin Pt (7) 100 M(=M,÷-86品M,inpt+6M,mpt-908M,pt+ 100 0.0001Mi0.000003M.i (8) 100 100 从(5)式到(8)式，我们又可取得如下几点结论： 1.在零速咬钢过程中，上、下接轴所传输的扭矩是轧制静力矩和一系列力矩正弦函数 的迭加。力矩正弦函数的个数等于轴系频率的个数，例如上、下轴系分别由5个及6个正弦 函数送加组成。力矩正弦函数的频率就是上、下轴系各阶的固有（圆）频率。由此可见，系 统的各个固有频率及振型均对动态反应提供项次。 2.这些力矩正弦函数迅速收敛，它们的振幅随着频率的增加而迅速减小。频率越高， 振幅就越小，因而扭振也越微弱。第二阶正弦函数的振幅就已小于轧制静力矩的百分之一。 因此只有基频扭振存在影响。二阶以上扭振均可忽略不计。换句话说，这台4200轧机从扭振 效应上看相当于一个二质量系统。这是从数值计算中发现的，又从实测扭矩示波曲线的单一 性和严整性已经证实的，后面还将从理论上加以验证。 3.上、下接轴中扭矩的动态反应实际上是一条代表轧制静力矩的斜直线再迭加一根以 基频为频率代表扭振的正弦曲线。在咬入过程时间为0.7秒（图3）时，扭矩斜线上呈现出 6~7个小波，在咬入过程时间为0.3秒（图4）时，扭矩斜线上呈现着2~3次微小起伏，显 示出理论分析与实测结果很好地吻合。 ·生。随潜咬入加载过程时间(T)的缩短，轴的扭振幅度相对地明显增加。当咬入时间 由0.7秒缩短为0.3秒时，上.接轴扭振振幅由2.3%Mn增为5.4%Mn,下接轴扭振振幅由 2.87%Mn增为6.7%M,因此，适当延长咬入加载时间(T)是减小扭振的一个有效操作 手段。 5.在所讨论的实测示波图（图3及图4）中，由于咬入加载过程时间比轴系扭振周期 (τ1=0.1秒)要大好几倍（七倍及三倍），所以接轴中扭矩的最大反应有如静加载时一样 (证明详见本文第四节)。实测扭矩示波曲线(M上及M下)完全证实了这个结论。 。 91

对于图 所示 的 第 道次 咬入加载过程时 间 二 秒 得 上 令 箫 卜 畏器 · ‘ 下 斗 一 孺 幼“ 黑 。 成。 ，一 黔 ‘ 一 ‘ 一 。 。 从 式 到 式 ， 我 们 又可取 得如 下几 点结 论 在零速 咬钢 过程 中 ， 上 、 下接 轴所 传输的 扭 矩是 轧制 静力矩和 一 系列 力矩 正弦 函数 的 迭加 。 力矩正弦 函数的个数等于 轴 系频 率的 个数 ， 例如 上 、 下轴 系分 别 由 个 及 个正弦 函数迭加组成 。 力矩正弦 函 数的频 率就 是 上 、 下轴 系 各阶的 固有 圆 频 率 。 由此可见 ， 系 统的 各个固有频 率 及振 型均对 动态 反应提供 项次 。 这些 力矩正 弦 函 数迅速 收敛 ， 它们 的 振 幅 随 着频 率 的 增加 而迅速 减小 。 频 率越 高 ， 振幅就 越 小 ， 因而扭振 也越 微 弱 。 第二阶正弦 函数的 振 幅就 已小于 轧制静 力矩的 百分 之一 。 因此只 有基频 扭振 存在 影 响 。 二阶 以 上 扭振 均可 忽略不计 。 换句话 说 ， 这 台 轧机 从扭振 效应上 看相 当于一个二质 量 系统 。 这 是 从数值计 算 中发现的 ， 又 从实测 扭 矩示 波 曲线 的单一 性和 严整性 巳经证实的 ， 后面还将从理论 上加 以 验证 。 上 、 下 接轴 中扭 矩的 动态 反 应实际 上是 一 条代 表 轧制静力矩的 斜 直线再 迭加 一 根 以 基频为频 率代 表 扭振 的 正弦 曲线 。 在 咬入 过程时 间为 秒 图 时 ， 扭 矩斜线 上 呈现出 个小波 ， 在 咬入 过程 时 间为 秒 图 时 ， 扭 矩斜线 上呈 现着 次微小起伏 ， 显 示出理论分析与实测结 果很好地吻 合 。 ， 随着咬入加 载过 程时间 的缩短 ， 轴的 扭振 幅度相 对地 明显增加 。 当咬入 时 间 由 秒缩短为 秒 时 ， 上接轴 扭振 振 幅 由 。 增为 。 ， 下 接 轴 扭振振 幅 由 。 增为 ， 因此 ， 适 当延长 咬入加 载时 间 是 减小 扭振 的 一 个有效 操 作 手段 。 在所讨论的 实测示 波图 图 及图 中 ， 由于 咬入加 载过 程 时 间 比轴 系扭振 周 期 秒 要大好几 倍 七 倍 及三 倍 ， 所 以 接轴 中扭 矩的 最大反 应 有如 静加 载时一样 证明详见 本文 第四 节 。 实测 扭 矩示 波 曲线 上 及 下 完全证实了这 个结论

三、运转咬钢过程的动态反应 通常轧钢机是在运转情况下咬入轧件的。咬入伴随的冲击使轧辊转速瞬变（见实测示波 图6)而影响轴系的动态反应。本文把这种影响归纳到初始条件中来加以处理。这里说的初 始条件乃是当轧辊咬入轧件的初瞬各轴段的扭转变形（初角位移）及扭转变形速度（初角速 度)。这种初始条件（特别是扭转变形速度）造成轴系的动态反应是不可忽略的“。把它和 上节论述的施加外力（矩）所造成的反应迭加起来便构成在运转胶钢过程的轴系动态总反 应。 本文应用模态迭加法*来论述初始条件带给轴系的动态反应。 由于实测时，应变仪及示波器是按轧机空转力矩调平衡及定零线的，故可假设当轧辊咬 入轧件的初瞬时，轴系各惯量体（丁：）的初角位移(P。:)为零。又从大量实测示波图发现该 轧机有明显的咬入“掉转”（降速）和抛出“升转”（增速）现象，这里假设轴系作为等速 运动中的惯性系统在咬入时轧辊突然降速门⊙。（①。一咬入时的轧辊转速）。于是，对于 上轴系统： 把初始条件表示为如下的列向量 p01 0 p01 力 p02 0 中02 0 {p。}= p03 0 {φ。}= p08 0 0 4 04 0 p05 p05 0 式中η一咬入时突然降速的百分比数，例如降速10%则n=0.1。 按已求得的特征值（频率）及特征向量（见振型图）写出模态矩阵(PM),并把模态矩阵 正规化（对质量矩阵〔J)归一化)得： 0.3026 0.4563 0.0305 0.0227 0.0967 0.3026 0.3918 -0.0226-0.1236 -2.7603 (pN)=V103 0.3026 -0.1339 -0.4302-1.0322 0.0542 0.3026 -0.1910-0.3212 0.2471 -0.0023 0.3026 -0.2243 0.3855-0.0428 0.00007 再按下列矩阵运算求出其逆阵〔PN〕一I (pN)-I=〔PN)T(J) 把按物理坐标表示的初始条件{甲。}及{中。}变换到按正规坐标（主坐标）表示的初 始条件{中。}及{P。p} #样如论证可参阅作者所写《1150初轧机轴系扭振实测分析》一文 关于这个理论及方法可参阅S.Timoshenko,D.H.Young,W.Weay er,Jr, Vibration Problems in Engineering,4th edi.1974 92

兰 、 运 转咬钢过程 的动态反应 通 常轧钢 机是在 运转情况下 咬入 轧件的 。 咬入伴随的 冲击使轧辊转速瞬变 见实测示波 图 而影响轴 系的 动态反应 。 本 文把这 种影响归纳到初始条件中来加 以处理 。 这 里说的 初 始条件乃是 当轧辊 咬入轧件的 初 瞬 各轴段 的 扭转 变形 初角位 移 及扭转 变形速度 初角速 度 。 这 种初始条件 特 别是 扭 转变形速度 造成轴 系的 动态反 应是 不可 忽 略的气 把 它和 上节论述的 施加 外力 矩 所造成的反应 迭 加起来便构成在 运 转咬钢 过 程的 轴 系动态 总反 应 。 本文应用模 态 迭加 法什来诊述初始条件带 给轴系的 动态反应 。 由于实测时 ， 应 变仪 及示 波器是按轧机空转力矩调 平衡 及定零线 的 ， 故可假设 当轧辊咬 入 轧件的 初 瞬时 ， 轴 系 各惯量体 ‘ 的 初角位 移 甲 。 ‘ 为零 。 又 从大量实测示 波图 发现该 轧机有明显的 咬入 “ 掉转 ” 降速 和抛 出 “ 升 转 ” 增速 现象 ， 这 里假设轴 系作为等速 运动 中的 惯性 系统在 咬入时轧辊突 然降速 。 。 。 。 － 咬入 时的 轧辊转速 。 于是 ， 对于 上轴 系统 把 初始条件表示 为如 下的列 向量 … 月 卫卜‘ … 、、 一 甲 。 ’ 甲 ” ，， 。 ，二 一 ’ ” 甲 ’ ‘ ’ 甲 ， ” 、 ” 甲 。 “ 甲 甲 甲 甲 。 毛 甲 式中 ” － 咬入 时突然降速的 百分比数 ， 例如 降速 则 ” 。 。 按 巳求得的 特征值 频率 及特征 向量 见振 型图 写 出模 态 矩 阵〔甲 〕 ， 并把模 态 矩阵 正规化 对质 矩 阵 〕归一化 得 一 一 一 一 百 一 一 一 一 一 一 … 一 ︸︸甘 ，了声 一甘 一 ，上曲二 一 、 甲 ‘、 · 再按 下列 矩 阵运算求出其逆阵〔甲动一 ’ 〔甲 〕 一 ’ 甲 〕 ， 〕 把按 物理坐标表示 的 初始条件 甲 。 及 毛甲 。 变换到按 正规坐标 主坐标 表示的 初 始条件 甲 。 及 甲 。 样细 论 证 可参 阅作者所写 《 。 初 轧机轴系扭振实测分析 》 一 文 关于 这个理论 及方法 可参 阅 。 ， ， ，

{pen}=(pN)厂{po} {po}=〔pN1{p} 于是，按正规坐标（主坐标）形成解的向量为 0.974⊙。t :1.46920。 sinpit {p,}=V10n0.0982 sin p:t P2 0.0730inpat P3 0.3113p sinpt 最后按下式回代变换到原物理坐标： {p}=〔pN){pp} 这就求得由于咬入轧件初瞬出现“掉转”η心。所造成的上轴系各惯量体(J,)在运转中的影 响。上接轴对该初始条件的扭振反应便可由下式计算： M23(上)=K23(92-p3)=154no。inp1t+2.27no。sinp:t+ +1.96 noo Bin p3t-12 noosin p,t(吨米) (9) 41 对于下轴系统： 应用同样的方法求得下接轴对该初始条件所造成的扭振反应为： M23(F)=123nosin pt +21.5nosinpat +2.15n@oBin p st +0.009no。inp,t-12 n@osin pst(吨米) (10) (9)式及(10)式表明 1.轧机在运转情况下咬钢的初速将激起上、下轴系产生扭振。这种扭振是由一系列不 同频率的简谐振动迭加组成，上轴系有四个、下轴系有五个，它们的个数与各自的扭振固有 频率数相等，即系统的固有振型均对反应提供项次。在这里，扭振反应中仅有正弦项是因为 初始扭转变形位移均为零而只具有初始扭转变形速度。如果初始速度都为零只有初始位移的 话，那末反应中将只存在余弦项。如果初始速度和初始位移都不为零，则反应中将存在正弦 项和余弦项。这是符合自由振动的普遍规律的。 2.上、下轴系中扭振反应与咬入转速（⊙。）成正比，即咬入速度愈高，扭振反应就 愈强烈。显然这是高速咬入伴随着轧辊对轧件的冲击的结果。 3.从数值上看，反应中基频（p:)及其振型是起主要作用的。从第二频率(P2)起各 高频成分都很少起作用，因为它们的振幅比起基频振幅来相对甚基小，所以反应也相对微弱。 把咬入初始条件对轴系的影响(9)式及(10)式与上节论述的施加外力（矩）所引起 的轴系反应式迭加起来，求得运转咬钢过程中上、下接轴的动态总反应（忽略二阶以上各高 频型反应)及其最大值如下： 1.118 M.)sinp.t M:E=M。+(154no-p1 (11) 93

印 。 。 〔甲 〕 一 ’ 印 。 印 。 〔甲 犷 ’ 甲 。 于是 ， 按 正 规 坐标 主坐标 形 成 解的 向量 为 一百 印 侧 月 ， 飞 · ” 号 · “ 臀 ， 最后按 下式 回代 变换到原 物理坐标 印 〔印 〕 印 这就求得 由于 咬入 轧件初瞬 出现 “ 掉转 ” 月。 。 所 造 成的 上轴 系 各惯量 体 ‘ 在 运 转中的 影 响 。 上接轴对该 初 始 条件的 扭振反应便 可 由下 式计 算 上 甲 一 甲 月。 。 苗 ， 月。 。 滋 月。 。 一 刀。 。 鱿 ‘ 吨米 对 于下轴 系统 应用 同样的 方 法 求得 下接轴对 该 初始 条件所造 成的 扭 振反应为 下 门。 。 月 。 。 幼 门。 。 月。 。 目 ‘ 一 月 。 。 吨米 式 及 式 表 明 轧机在 运 转情 况下 咬钢 的 初速将 激起 上 、 下 轴 系产生 扭振 。 这 种扭振 是 由一 系列 不 同孩串的 简谐振 动 迭加组成 ， 上 轴 系有 四个 、 下 轴 系有五个 ， 它们 的个数 与 各 自的 扭振 固有 频率数相等 ， 即 系统的固有振 型 均 对反 应提供 项次 。 在 这 里 ， 扭 振反应 中仅有正弦 项是 因为 初 始扭转 变形位移均为零 而只 具有初始扭 转变形速 度 。 如 果 初 始速 度都为零只 有 初始位移的 话 ， 那末反应 中将只 存在 余弦 项 。 如 果 初 始速度 和 初 始位 移 都 不为零 ， 则反应 中将存在 正 弦 项和 余弦项 。 这是 符合 自由振 动的 普遍 规律 的 。 上 、 下轴 系 中扭振反 应 与 咬入 转速 。 成正 比 ， 即咬 入 速 度愈 高 ， 扭振反 应 就 愈强烈 。 显然这是 高速 咬 入 伴 随 着轧辊对 轧件的 冲击 的 结 果 。 从数值上看 ， 反 应 中基 频 ， 及其振 型是 起主要 作用 的 。 从 第二频率 起 各 高频成分 都很 少起作用 ， 因为 它们 的 振 幅 比起基频振 幅 来相 对甚 小 ， 所 以 反 应 也相对微 弱 。 把 咬入 初 始条件对 轴 系的 影 响 式 及 式 与上节论述的 施 加 外 力 矩 所 引起 的 轴系反应 式 迭加 起 来 ， 求得运 转 咬钢 过 程 中上 、 下接轴 的 动 态 总反 应 忽 略二阶 以 各高 须型反应 及共 最 大 值如 下 ，。 。 干 。 。 一 导华 ，。 ， 厂 几

max.M:上)=Mn+154n@。-p'M, (12) M:,()=M,÷+a28no,-是M,mpt (13) max.M:(下)=Ma+123nog-p1TM。 (14) 今以轧制第一块双选铜钢复合板的第18道次 (图6)为例： 轧制静力矩(M,)及其增长过程的时间(T)可 P南 由理论计算或实测示波图量取，在所论道次中有 Mn(上)=65吨米 Mn(下)=84吨米 T(上)=0.1秒 T(下)=0.15秒 轧机咬入时转速及其“掉转”程度也由示波图的转 速曲线上量取 四（上）=1.63弧度/秒 7(上)=0.151=15.1% 0。(下)=1.7弧度/秒 p北 n(下)=0.142=14.2% 把上列具体数据分别代入(12)式及(14)式求得上、 下轴中扭矩的最犬反应及其相应的动荷系数（Φ）如 图6 max.M.M,+154noM. =65+37.9-10.5=90米吨≈90吨米（实测） 中上=max.M上)-92。 Mn 65=1.41 max.M:3(F)=Ma+123n0-47M =84+29.83-11.27=102吨米≈101吨米（实测） Φ（下）=-max,M2下)=10 Mn 4=1.21 可见理论分析与实测结果颇相符合。 在所讨论的轧制道次中，按理论计算的咬入过程时间T=甲/ω≈0.055秒。而实测示波 图所记录的却是0.1~0.15秒，即比计算时间长了一倍左右。分析认为在运转条件下由于四 辊轧机轧辊（四个）的转动惯量（丁：）相对较大（和电机转子同一数量级，比轧件的要大十 多倍)，咬入轧件主要是由辊系本身的运动惯性完成的。不象其他轧机那样主要靠电机转子 的运动惯性驱动相对较小的轧辊来完成咬入轧件。示波图上的力矩曲线是万向接轴传输的真 实扭矩反应，本轧机在运转咬钢情况下它随着轧辊动能的放出而递增，以致在反应时间上略 有差别。 94

】 上 。 。 。 一 今 华 。 护 、 ， 币一 门。 一 一二一万尸 田 、 ， 下 。 刀。 。 一下尸厅产 犷 今以轧制 第一块双 迭铜 钢 复合 板 的 第 道次 图 为例 轧 制静 力矩 及其 增长过 程 的 时 间 可 由理论计算或实 测示 波 图 量取 ， 在所论道次 中有 上 吨米 。 下 吨米 七 二 。 秒 下 二 秒 轧机咬入 时转速 及 其 “ 掉转 ” 程度也 由示 波图的 转 速 曲线 上量取 。 。 上 弧度 秒 月 上 。 下 二 弧度 秒 月 下 把 上列具体数据分 别代入 式 及 式 求得 上 、 下轴 中扭矩的 最犬 反应 及其 相应的 动荷系 数 中 如 ‘ 、 ， 上 。 刀 一 一 一 甲一 二 一 米吨 、 吨米 实测 中 上 一 比 罗 ， 一 ， 一 － 下下 任 」里 、 ， “ · 皿 ， 下 ” 乃 。 。 一 瓦了 一 吨米 、 吨米 实测 小 下 可见 理论分析与 实测结 果 颇 相符 合 。 ， 下 在所讨 论的 轧制道次 中 ， 按 理论计算的 咬 入过 程时 间 甲 。 、 秒 。 而实测示波 图所 记 录的 却是 拓 秒 ， 即 比计 算时 间长 了一 倍左右 。 分析认 为在 运 转条件下 由于 四 辊轧机轧辊 四个 的 转 动惯量 ， 相 对较大 和 电机转子 同一数量 级 ， 比轧件的 要大十 多倍 ， 咬入轧件主要是 由辊系本身的运动 惯性 完 成的 。 不 象其他轧机那样主要靠 电机转 子 的 运动惯性驱 动相对较小的 轧辊来完成咬入 轧件 。 示 波图 上的 力矩 曲线是万 向接轴传输的 真 实扭矩反应 ， 本 轧机在 运 转 咬钢情况 下它随着轧辊 动能的放出而递增 ， 以 致在 反 应时 间 上略 有差 别