《物理——热功能纳米超构材料专题》：热超构材料的研究进展（复旦大学：沈翔瀛、黄吉平）

热功能纳米超构材料专題 热超构材料的研究进展 2012 0收到 1 Email: jphuang@fudan. edu.en 沈翔瀛黄吉平 (复旦大学物理系应用表面物理国家重点实验室上海200433) Research progress in thermal metamaterials SHEN Xiang-Ying HUANG Ji-Ping (Department of Physics and State Key Laboratory of Surface Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China) 摘要由于光波、声波、地震波和水波都遵循波动方程,所以,2006年 光学隐身衣 (optical cloak)原理在 Science杂志上发表后,光学隐身衣的设想很快就 从最初的光波推广到了声波、地震波和水波,至今方兴未艾。由于热传导满足的 是扩散方程,并且波动方程与扩散方程在物理机制上迥异,这就使得把光学隐身 衣推广到热学隐身衣的尝试不得不面临来自原理上的挑战,可能也正因为如此 国际上对热超构材料的硏究非常缓慢:早在2008年,就有学者在光学隐身衣的 启发下,通过有限元模拟,揭示了热学隐身衣和热流反转等反常热功能或热现 象,从而提出热超构材料( hermal metamaterial的概念,但是,直到2012年,这 个概念才被实验验证。由于其中蕴含着巨大的潜在应用价值,该实验工作发表 后,热超构材料开始得到国际同行的广泛关注。文章的主要目的就是向读者介绍 这一类新型功能材料——热超构材料的物理原理、发展历程及其理论和实验硏究 进展 关键词热超构材料,物理原理,研究进展 Abstract The principle of optical cloaking, first published in Science in 2006, has been quickly extended from light waves to acoustic, seismic, and water waves, as they all obey the wave equations. Because thermal conduction satisfies diffusion equations as well as wave equations, and the former have different physical mechanisms, the extension from optical cloaking to thermal cloak- ing is a greater challenge. Thus, research on thermal metamaterials has been very slow. As early as in 2008, various counter-intuitive functions and properties like thermal cloaks and thermal inverters were proposed on the basis of finite element simulations, and the concept of thermal metamaterials was introduced. However, this concept was only demonstrated experimentally in 2012. On account of their potential applications, thermal metamaterials soon received much attention from the internation- al community. The main aim of this review is to describe this new type of functional material- nermal metamaterials. We shall present an overview of their physical principles, history, and prog. ress in both theoreical and experimental research. Keywords thermal metamaterial, physical principle, research progress *国家重点基础研究发展计划(批准号 2011CB922004),国家自然科学基金(批准号 11075035;11222544)、霍英东教育基金(批准 号:131008)资助项目;上海科委启明星项目 (批准号:12QA1400200) 狗·42卷(2013年)3期

热功能纳米超构材料专题 ·42卷 (2013 年) 3 期 热超构材料的研究进展* 沈翔瀛 黄吉平† (复旦大学物理系 应用表面物理国家重点实验室 上海 200433) Research progress in thermal metamaterials SHEN Xiang-Ying HUANG Ji-Ping† (Department of Physics and State Key Laboratory of Surface Physics，Fudan University，Shanghai 200433，China) 摘 要 由于光波、声波、地震波和水波都遵循波动方程，所以，2006年 光学隐身衣(optical cloak)原理在Science杂志上发表后，光学隐身衣的设想很快就 从最初的光波推广到了声波、地震波和水波，至今方兴未艾。由于热传导满足的 是扩散方程，并且波动方程与扩散方程在物理机制上迥异，这就使得把光学隐身 衣推广到热学隐身衣的尝试不得不面临来自原理上的挑战，可能也正因为如此， 国际上对热超构材料的研究非常缓慢：早在2008年，就有学者在光学隐身衣的 启发下，通过有限元模拟，揭示了热学隐身衣和热流反转等反常热功能或热现 象，从而提出热超构材料(thermal metamaterial)的概念，但是，直到2012年，这 个概念才被实验验证。由于其中蕴含着巨大的潜在应用价值，该实验工作发表 后，热超构材料开始得到国际同行的广泛关注。文章的主要目的就是向读者介绍 这一类新型功能材料——热超构材料的物理原理、发展历程及其理论和实验研究 进展。 关键词 热超构材料，物理原理，研究进展 Abstract The principle of optical cloaking, first published in Science in 2006, has been quickly extended from light waves to acoustic, seismic, and water waves, as they all obey the wave equations. Because thermal conduction satisfies diffusion equations as well as wave equations, and the former have different physical mechanisms, the extension from optical cloaking to thermal cloak￾ing is a greater challenge. Thus, research on thermal metamaterials has been very slow. As early as in 2008, various counter-intuitive functions and properties like thermal cloaks and thermal inverters were proposed on the basis of finite element simulations, and the concept of thermal metamaterials was introduced. However, this concept was only demonstrated experimentally in 2012. On account of their potential applications, thermal metameterials soon received much attention from the internation￾al community. The main aim of this review is to describe this new type of functional material—— thermal metamaterials. We shall present an overview of their physical principles, history, and prog￾ress in both theoreical and experimental research. Keywords thermal metamaterial, physical principle, research progress 2012－11－01收到 † Email: jphuang@fudan.edu.cn DOI:10.7693/wl20130302 * 国家重点基础研究发展计划(批准号： 2011CB922004)、国家自然科学基金(批准号： 11075035；11222544)、霍英东教育基金(批准 号：131008)资助项目；上海科委启明星项目 (批准号：12QA1400200) · 170 ·

物理学的各个领域。如何改进和推广 1引言 各种“隐身衣”现已成为无数科学家的奋 斗目标。理论分析和实验研究表明,人们 科学家在1968年首次提出“负折射要实现这些隐身衣的功能,必需使用超构 率”的概念,具有这种负折射率性质的材料。由于声波、地震波、水波等波与光 平板材料可以像透镜一样,使得平行入射波一样,遵循的都是波动方程,所以,人 光线汇聚到一点。这与直觉相悖的研究们把光学隐身衣推广到声学、地震学、流 结果拉开了超构材料( metamaterial)研究的体力学等领域,其进展比较顺利;可是 序幕。众所周知,负折射率过去被认为只因为热传导满足的是扩散方程,并且波动 是一个数学概念,在自然界中并不存在。方程与扩散方程在物理机制上迥异,这就 想要找到具有此性质的天然材料几乎是痴使得人们在考虑把光学隐身衣推广到热学 人说梦。既然大千世界中无迹可寻,而人领域时不得不面临来自原理上的挑战,也 们又迫切需要,为何不自行制造?于是,正因为如此,国际上对热超构材料的研究 种人工设计出来的光学负折射材料横空较为缓慢。本文将要着重介绍的热超构材 出世了,这样的材料就叫做“超构材料( thermal metamaterial正是光学隐身衣 料”。其后,超构材料的内涵被显著延原理延伸至热学领域后的一个衍生品。为 拓:人们把那些由人类创造出来、自然界了能够更好地了解热超构材料的前世、今 中不存在、拥有特殊结构、并具有特殊物生和未来,我们必须追根溯源,从光学隐 理意义的材料统称为“超构材料”,这类身衣的诞生讲起。 材料通常具有奇异的物理性质,例如光学 性质、声学性质等。 2光学隐身衣 最近一种新型的光学隐身衣 optical coak)引起了科学家们广泛的关注。所谓2.1莱因哈特的隐身衣原理 光学隐身衣就是指能够屏蔽掉外来影响, 并使得其中所隐藏的物体不为外界所探测 根据费马原理,光在电介质中会选择 的装置。该设想最早是由莱因哈特(U.Le-光程最短的路径前行。可是,两点之间 onhardt)和潘德利(J.B. Pendry)等人向于直线路径具有最短光程,这个常识只适用 2006年独立提出的。其诱人的应用价值于均匀介质,而对于各向异性的非均匀介 导致其原理一经发表,便快速地渗透到了质,具有最短光程的那个路径可能是曲 物理·42卷(2013年3期 171

·42卷 (2013 年) 3 期 1 引言 科学家在 1968 年首次提出“负折射 率”的概念[1] ，具有这种负折射率性质的 平板材料可以像透镜一样，使得平行入射 光线汇聚到一点[2] 。这与直觉相悖的研究 结果拉开了超构材料(metamaterial)研究的 序幕。众所周知，负折射率过去被认为只 是一个数学概念，在自然界中并不存在。 想要找到具有此性质的天然材料几乎是痴 人说梦。既然大千世界中无迹可寻，而人 们又迫切需要，为何不自行制造？于是， 一种人工设计出来的光学负折射材料横空 出世了，这样的材料就叫做“超构材 料”。其后，超构材料的内涵被显著延 拓：人们把那些由人类创造出来、自然界 中不存在、拥有特殊结构、并具有特殊物 理意义的材料统称为“超构材料”，这类 材料通常具有奇异的物理性质，例如光学 性质、声学性质等。 最近一种新型的光学隐身衣(optical cloak)引起了科学家们广泛的关注。所谓 光学隐身衣就是指能够屏蔽掉外来影响， 并使得其中所隐藏的物体不为外界所探测 的装置。该设想最早是由莱因哈特(U. Le￾onhardt)[3] 和潘德利(J. B. Pendry)等人[4] 于 2006 年独立提出的。其诱人的应用价值 导致其原理一经发表，便快速地渗透到了 物理学的各个领域[5—13] 。如何改进和推广 各种“隐身衣”现已成为无数科学家的奋 斗目标。理论分析和实验研究表明，人们 要实现这些隐身衣的功能，必需使用超构 材料。由于声波、地震波、水波等波与光 波一样，遵循的都是波动方程，所以，人 们把光学隐身衣推广到声学、地震学、流 体力学等领域，其进展比较顺利；可是， 因为热传导满足的是扩散方程，并且波动 方程与扩散方程在物理机制上迥异，这就 使得人们在考虑把光学隐身衣推广到热学 领域时不得不面临来自原理上的挑战，也 正因为如此，国际上对热超构材料的研究 较为缓慢。本文将要着重介绍的热超构材 料(thermal metamaterial)正是光学隐身衣 原理延伸至热学领域后的一个衍生品。为 了能够更好地了解热超构材料的前世、今 生和未来，我们必须追根溯源，从光学隐 身衣的诞生讲起。 2 光学隐身衣 2.1 莱因哈特的隐身衣原理 根据费马原理，光在电介质中会选择 光程最短的路径前行[14] 。可是，两点之间 直线路径具有最短光程，这个常识只适用 于均匀介质，而对于各向异性的非均匀介 质，具有最短光程的那个路径可能是曲 · 171 ·

热功能纳米超构材料专題 霍兹方程叫: (40202+n2k) 其中*代表复共轭,复数z= 在让我 们引入一个不依赖x的解析函数v(二),它将 把二空间上的点保角映射到w空间上。在w y 空间中,0=| du/deFa a.,因此该空间 中的折射率n可以写为 n=n 假如介质的折射率m()被设计成一个 解析函数g(-),那么根据(2)式,我们可以 得到8的积分G()=Jndm。令G()也是 z的一个保角映射。对于二空间中一条有方 向的曲线C=(1),保角映射到G空间, G(1)=(v(=(),得到旋转角 p=argn+argw'=o)+arg=(lo) argw'(二0)+arg{to) 其中v()是z的保角映射。 根据上式,可以明显地看出这种材料 图1二空间和w空间所对应的黎曼面 在w空间中的折射率是一个常数(argn=0)。 因此在w空间里,光线就如同在均匀介质 中一样直线传播。现在让我们来考虑一种 线。通过某种人工设计,人们可以让材料简单的保角映射 中的光线绕过某一特定空间,就好像其周 w=z+,==1/2±w2-4a2),(3) 围披上了一层隐形隐身衣。对于电介质 各向异性主要是以折射率的方式体现,即折射率n=-cll,其中a是一个常数。 折射率可用作表征空间均匀性的参数。空间现在我们可以绘制出空间和w空间所对 中各个点的折射率均不相同,意味着这是一应的黎曼面,见图1 个参差扭曲、光怪陆离的世界。当然,我们 图1的上半部分是复平面中的介质 要的不是一个浑沌的空间,我们希望那些特由一个半径为a的圆将空间划分为圆内区 定区域里的折射率符合某种规律,一种能让域和圆外区域。图1的下半部分是w空间 光线按照我们意愿扭曲的规律 的黎曼面。其中以网格划分的上层平面对 让我们来考虑一种理想情况。假设存应空间中的圆外区域,而锯齿形的分割 在一种电介质材料,在某一方向上是均匀线代表圆的边界(在±2a之间)。下层的平 的。一束波数为k的光垂直于该方向射面表示圆内区域。让我们先关注图1中蓝 入。材料的性质完全由折射率m(x,y)表色和绿色的线条。这些光线在w空间中沿 征。n沿着光入射的方向改变,并且在光直线传播,并且不与锯齿状的圆边界相 的波长范围内不发生剧烈的变化。对于光交。反观红色线条,这类光线通过分割线 的两个偏振态的振幅,它们均满足亥姆并被引人到下层黎曼面直至无穷远处。于 狗理·42卷(2013年)3期

热功能纳米超构材料专题 ·42卷 (2013 年) 3 期 线。通过某种人工设计，人们可以让材料 中的光线绕过某一特定空间，就好像其周 围披上了一层隐形隐身衣。对于电介质， 各向异性主要是以折射率的方式体现，即 折射率可用作表征空间均匀性的参数。空间 中各个点的折射率均不相同，意味着这是一 个参差扭曲、光怪陆离的世界。当然，我们 要的不是一个浑沌的空间，我们希望那些特 定区域里的折射率符合某种规律，一种能让 光线按照我们意愿扭曲的规律。 让我们来考虑一种理想情况。假设存 在一种电介质材料，在某一方向上是均匀 的。一束波数为 k 的光垂直于该方向射 入。材料的性质完全由折射率 n(x，y)表 征。n沿着光入射的方向改变，并且在光 的波长范围内不发生剧烈的变化。对于光 的两个偏振态的振幅Ψ，它们均满足亥姆 霍兹方程[14] ： (4∂* z ∂z + n2 k2 ) Ψ =0， (1) 其中*代表复共轭，复数z = x+iy。现在让我 们引入一个不依赖z * 的解析函数w(z)，它将 把z空间上的点保角映射到w空间上[15] 。在w 空间中， ∂* z ∂z = |dw/dz| 2 ∂* w ∂w ，因此该空间 中的折射率n'可以写为 n = n′ | | | | | | dw dz . (2) 假如介质的折射率 n(z)被设计成一个 解析函数g(z)，那么根据(2)式，我们可以 得到g(z)的积分G(z) = ∫n′dw 。令G(z)也是 z的一个保角映射。对于z空间中一条有方 向的曲线 C=z(t)，保角映射到 G 空间， G(t) = f(w(z(t)))，得到旋转角 ϕ = arg n′+ argw′(z0)+ arg z′(t0) = arg w′(z0)+ arg z′(t0) 其中w(z)是z的保角映射。 根据上式，可以明显地看出这种材料 在w空间中的折射率是一个常数(argn'=0)。 因此在w空间里，光线就如同在均匀介质 中一样直线传播。现在让我们来考虑一种 简单的保角映射： w = z + a2 z , z =1 2(w ± w2 - 4a2 ) , (3) 折射率 n = |1 - a | 2 /z 2 ，其中 a 是一个常数。 现在我们可以绘制出 z 空间和 w 空间所对 应的黎曼面，见图1[3] 。 图 1 的上半部分是复平面中的介质， 由一个半径为a的圆将空间划分为圆内区 域和圆外区域。图1的下半部分是w空间 的黎曼面。其中以网格划分的上层平面对 应z空间中的圆外区域，而锯齿形的分割 线代表圆的边界(在 ±2a 之间)。下层的平 面表示圆内区域。让我们先关注图1中蓝 色和绿色的线条。这些光线在w空间中沿 直线传播，并且不与锯齿状的圆边界相 交。反观红色线条，这类光线通过分割线 并被引入到下层黎曼面直至无穷远处。于 图1 z空间和w空间所对应的黎曼面[3] · 172 ·

是在观察者看来,空间中的圆内区域仿均匀的空间扭曲,这两种方法是等效的。 佛变成一个黑洞,将本该通过的光线全部 对于任意一个均匀的电介质,我们要 吸收掉了。 求光线能够绕过某一给定区域。假设整个 显然这个结果不是我们所期望的,因系统是镶嵌于一个具有良好弹性的材料之 为此时的圆形区域看上去是一个黑点,与上,且该材料可以按照我们的意愿被任意地 隐形二字相去甚远。只有当我们把那些拉伸和扭曲。为了定量描述以上变化,我们 被吃掉”的光线从圆区域内拉出来,并在均匀介质空间中建立了如图3(a)所示的 让它们精确地按照与入射轨迹对称的线路笛卡尔坐标系(x,y,-)。扭曲作用把直角 出射才算大功告成。为了达到这个目的,坐标划分的网格变成了图3(b)的形式,为 我们再次把w空间中的亥姆霍兹方程改此我们定义新的坐标系如下 写,让它看起来具有薛定谔方程的形式 u(x,y,),v(x,y, a),w(x,y, =) U-E=-n22。可以将其理解为一个质量(l,v,w)表示原坐标空间图3(a)中的点经扭 为k的质点以动能E在势能为U的空间中曲后,在图3(b)空间中的新位置。于是扭 运动。该势能需要把所有进入圆内区域的 光路封死,这迫使它必须围绕某一个分支 点径向对称(分支点w1=2a,w2=-2a)。 满足上述条件的势能有两个:谐振子势和 开普勒势" (谐子势 1(开普勒势) 其中r代表光路环绕区域的半径。我们发 现,谐振子势能下的折射率小于1,这意 味着可能会出现全反射现象。于是所有的 希望都寄托在开普勒势上了。为了保证折 射率大于1,n必须大于2w2-w。以上 就是达成隐形隐身衣所需的全部条件,见 2.2潘德利的隐身衣原理 相比于莱因哈特艰深的数学推导和复 变分析理论,潘德利的隐身衣原理显得更 加“物理”,更容易为物理学家所接受。他 的隐身衣设计思想为之后热超构材料的产 生提供了坚实的理论基础。为了使光线能 够绕开我们希望隐蔽的空间,除了提供各 图2上图为对应于(3)式的保角映射的光线分布:下图为开普 勒势能下r=8a时光线绕开隐形区域的示意图(图中黄色线条 向异性的介质背景外,人们还可以将原本 代表光线,黑色区域为隐形区域) 物理·42卷(2013年3期

·42卷 (2013 年) 3 期 是在观察者看来，z空间中的圆内区域仿 佛变成一个黑洞，将本该通过的光线全部 吸收掉了。 显然这个结果不是我们所期望的，因 为此时的圆形区域看上去是一个黑点，与 隐形二字相去甚远。只有当我们把那些 “被吃掉”的光线从圆区域内拉出来，并 让它们精确地按照与入射轨迹对称的线路 出射才算大功告成。为了达到这个目的， 我们再次把 w 空间中的亥姆霍兹方程改 写，让它看起来具有薛定谔方程的形式： U - E = -n′ 2 /2 。可以将其理解为一个质量 为k2 的质点以动能E在势能为U的空间中 运动。该势能需要把所有进入圆内区域的 光路封死，这迫使它必须围绕某一个分支 点径向对称(分支点 w1 = 2a, w2 = -2a )。 满足上述条件的势能有两个：谐振子势和 开普勒势[16] : n′ 2 = 1 - |w - w | 1 r 2 0 2 (谐振子势)， n′ 2 = r0 |w - w | 1 - 1 (开普勒势)， 其中r0代表光路环绕区域的半径。我们发 现，谐振子势能下的折射率小于1，这意 味着可能会出现全反射现象。于是所有的 希望都寄托在开普勒势上了。为了保证折 射率大于1，r0必须大于 2|w | 2 - w1 。以上 就是达成隐形隐身衣所需的全部条件，见 图2。 2.2 潘德利的隐身衣原理 相比于莱因哈特艰深的数学推导和复 变分析理论，潘德利的隐身衣原理显得更 加“物理”，更容易为物理学家所接受。他 的隐身衣设计思想为之后热超构材料的产 生提供了坚实的理论基础。为了使光线能 够绕开我们希望隐蔽的空间，除了提供各 向异性的介质背景外，人们还可以将原本 均匀的空间扭曲，这两种方法是等效的。 对于任意一个均匀的电介质，我们要 求光线能够绕过某一给定区域。假设整个 系统是镶嵌于一个具有良好弹性的材料之 上，且该材料可以按照我们的意愿被任意地 拉伸和扭曲。为了定量描述以上变化，我们 在均匀介质空间中建立了如图3(a)所示的 笛卡尔坐标系(x，y，z)。扭曲作用把直角 坐标划分的网格变成了图3(b)的形式，为 此我们定义新的坐标系如下： u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) . (u, v, w)表示原坐标空间图3(a)中的点经扭 曲后，在图3(b)空间中的新位置。于是扭 图2 上图为对应于(3)式的保角映射的光线分布；下图为开普 勒势能下r0=8a时光线绕开隐形区域的示意图[3] (图中黄色线条 代表光线，黑色区域为隐形区域) · 173 ·

热功能纳米超构材料专题 曲作用可以被视作为从(x,y)空间到(u,v,的光线现在只能从球的球壳内通过,它们 )空间的一个坐标变换。虽然麦克斯韦方绕开了rR),所有的参数 且球体材料性质与空间中任意一点相同。我们均取常数1。在球壳空间中(R<r< 现将图4空间中r<R2的区域压缩到R1<R),介电常数e'和磁导率的分量分别取 r<R的空间中。那些本该通过整个球体 R2(r-R)2 R2-R1 5=2 R2-R1 上面的式子确定了 隐身衣材料所需参数 只要能设计出符合该规 律的材料,人们就能真 正制造出隐身装置了, 光学隐身衣的原理与 电传导方程的逆问题有着 非常紧密的联系。所 图3(a)均匀空间内,光沿直线传播;(b)将空间扭曲后,光路不再是直线 谓电传导方程的逆问题 就是当物体的边界电流 和电压被测得时,是否 可以确定物体内部的电 导率是一个唯一值。具 ,/ 体内容可以参阅相关文 图4(a)隐身衣中的光路示意图:(b)隐身衣的三维示意图 狗理·42卷(2013年)3期

热功能纳米超构材料专题 ·42卷 (2013 年) 3 期 曲作用可以被视作为从(x, y, z)空间到(u, v, w)空间的一个坐标变换。虽然麦克斯韦方 程组在各个坐标空间中具有形式不变性， 但我们必须重整新坐标空间中的介电常数 和磁导率，即利用坐标变换的方法，得到 在新空间(u, v, w)中介电常数和磁导率与 (x, y, z)空间中介电常数和磁导率的关系。 准备工作完成后，现在可以考虑如 何扭曲空间才能让光线绕开某一给定区 域了。 为了达到目的，建立如图4所示的理 想系统。一个均匀球体置于均匀空间中， 且球体材料性质与空间中任意一点相同。 现将图 4 空间中 r R2)，所有的参数 我们均取常数 1。在球壳空间中(R1< r < R2)，介电常数ε '和磁导率μ '的分量分别取 ε′r′ = μ′r′ = R2 R2 - R1 (r′- R1) 2 r′ 2 , ε′θ′ = μ′θ′ = R2 R2 - R1 , ε′ϕ′ = μ′ϕ′ = R2 R2 - R1 . 上面的式子确定了 隐身衣材料所需参数， 只要能设计出符合该规 律的材料，人们就能真 正制造出隐身装置了。 光学隐身衣的原理与 电传导方程的逆问题有着 非常紧密的联系[17，18] 。所 谓电传导方程的逆问题 就是当物体的边界电流 和电压被测得时，是否 可以确定物体内部的电 导率是一个唯一值。具 体内容可以参阅相关文 献[17，18]。 图3 (a)均匀空间内，光沿直线传播；(b)将空间扭曲后，光路不再是直线[4] 图4 (a)隐身衣中的光路示意图；(b)隐身衣的三维示意图[4] · 174 ·

240 图5热学隐身衣中热流线(用红线表示)的有限元 图6热流反转现象的有限元模拟结果(其余说 模拟结果。该装置的顶端温度设定为300K,低端 明与图5一致。参数:旋转椭球体的3个内半 设为100K,图中颜色的变化反映了温度分布(参径为0.2m,0.lm,0.m;3个外半径为0.4m 数:隐身衣的内半径为0.1m,外半径为0.2my 02m,0.2m2 3热超构材料 个球的热被挤到只能在球壳里传播,很自 然地绕开了球的空心区域。一个热学隐身 3.1热学隐身衣( hermal cloak)原理衣就这样产生了。为此,我们可以建立 个新的坐标系统来描述被压缩后的球壳空 潘德利的光学隐身衣原理容易理间,找到它与之前坐标的对应关系,然后 解,便于操纵。鉴于物理定律在客个坐标得到新坐标空间中的导热系数κ。这个过 空间中都适用,我们可以通过扭曲空间来程和潘德利的光学隐身衣实现方法几乎完 让任意场的通量按照设计的线路前行。对全一样,唯一的不同是我们只需考虑热导 于一个满足方程VVV=0(其中a是表系数一个参量而非电磁学中的介电常数和 征空间均匀性的参量,V代表该物理场具磁导率。一旦我们得到了新导热系数的关 有的势能)的场,只需合理的坐标变换,系式,剩下的问题就交给工程师们去解决 人们都可以设计出该种物理场下对应的隐了。基于有限元模拟,我们可以直观地看 身衣。范(C.ZFan)及其合作者在光学隐到热学隐身衣在一个梯度变化温度场中的 身衣原理问世两年后,于2008年首次将实际效果(见图5)。图5明确显示,热学 这一设计推广到了热学领域,并提出了隐身衣可以为处在隐身衣中心的物体屏蔽 热学隐身衣的设计原理 掉外界热流的干扰,并且不影响外界热流 对于一个没有热源且温度不随时间的分布(注:严格说来,离隐身衣非常近 变化的热传递过程,可以很容易地用公的区域仍旧会有一些影响),换言之,此 式V(-kVT)=0来描述。导热系数k就是时通过检测外界热流分布的改变很难探测 表征空间均匀性的参量。对于导热系数相到隐身衣中心区域的物体 同的均匀分布介质,热将从温度较高的一 值得一提的是,2012年,法国科学 端沿直线流向温度较低的一端。想象一个家歌里(S. Guenneau)等人再次提出了热学 空心球放在这样的均匀空间里。把球空间隐身衣的原理國,并吸引了诸如英国BBC 压缩到只有球的球壳那么大,本应流过整等大众媒体的广泛关注。因为他们的热学 物理·42卷(2013年3期

·42卷 (2013 年) 3 期 3 热超构材料 3.1 热学隐身衣(thermal cloak)原理 潘德利的光学隐身衣原理[4] 容易理 解，便于操纵。鉴于物理定律在各个坐标 空间中都适用，我们可以通过扭曲空间来 让任意场的通量按照设计的线路前行。对 于一个满足方程 Δ (α Δ V)= 0 (其中a是表 征空间均匀性的参量，V代表该物理场具 有的势能)的场，只需合理的坐标变换， 人们都可以设计出该种物理场下对应的隐 身衣。范(C. Z. Fan)及其合作者在光学隐 身衣原理问世两年后，于 2008 年首次将 这一设计推广到了热学领域[19] ，并提出了 热学隐身衣的设计原理。 对于一个没有热源且温度不随时间 变化的热传递过程，可以很容易地用公 式 Δ (-κ Δ T)= 0 来描述。导热系数k就是 表征空间均匀性的参量。对于导热系数相 同的均匀分布介质，热将从温度较高的一 端沿直线流向温度较低的一端。想象一个 空心球放在这样的均匀空间里。把球空间 压缩到只有球的球壳那么大，本应流过整 个球的热被挤到只能在球壳里传播，很自 然地绕开了球的空心区域。一个热学隐身 衣就这样产生了。为此，我们可以建立一 个新的坐标系统来描述被压缩后的球壳空 间，找到它与之前坐标的对应关系，然后 得到新坐标空间中的导热系数k'。这个过 程和潘德利的光学隐身衣实现方法几乎完 全一样，唯一的不同是我们只需考虑热导 系数一个参量而非电磁学中的介电常数和 磁导率。一旦我们得到了新导热系数的关 系式，剩下的问题就交给工程师们去解决 了。基于有限元模拟，我们可以直观地看 到热学隐身衣在一个梯度变化温度场中的 实际效果(见图 5)。图 5 明确显示，热学 隐身衣可以为处在隐身衣中心的物体屏蔽 掉外界热流的干扰，并且不影响外界热流 的分布(注：严格说来，离隐身衣非常近 的区域仍旧会有一些影响)，换言之，此 时通过检测外界热流分布的改变很难探测 到隐身衣中心区域的物体。 值得一提的是，2012 年，法国科学 家歌里(S. Guenneau)等人再次提出了热学 隐身衣的原理[20] ，并吸引了诸如英国BBC 等大众媒体的广泛关注。因为他们的热学 图5 热学隐身衣中热流线(用红线表示)的有限元 模拟结果。该装置的顶端温度设定为 300K, 低端 设为 100K, 图中颜色的变化反映了温度分布(参 数：隐身衣的内半径为0.1m, 外半径为0.2m)[19] 图6 热流反转现象的有限元模拟结果(其余说 明与图 5 一致。参数：旋转椭球体的 3 个内半 径 为 0.2m, 0.1m, 0.1m ； 3 个 外 半 径 为 0.4m, 0.2m, 0.2m)[21] · 175 ·

热功能纳米超构材料专题 隐身衣与范等人在2008年提出的热学隐身[21]中,作者通过把热学隐身衣装置的形 衣圓相比,所用方法略有不同(歌里等人考状从球体改为旋转椭球体,利用有限元模 虑的热传递过程有热源,且温度随时间变拟进行研究后发现,在梯度材料区域,出 化),但结论一致,所以,此处不再赘述。现了热流反转现象(见图6)。 针对热流反转现象,美国哈佛大学那 3.2热流反转( thermal inverter)原理罗延纳(S. Narayana)及其合作者于2012年 还提出了一个不同的方法来实现之。大家 基于人工设计的热梯度材料还可以知道,对于一个平面中的圆形区域,可以 实现更多的奇异功能。例如,通过类似用极坐标(R,O)来表示。对上述热学隐身 于热学隐身衣的材料热性质的梯度设衣而言,对空间的扭曲作用都是通过R参 计,从表观上看,人们可以使得热流从量的坐标变换来实现的。假如对R坐标放 低温向高温流动,这正是与直觉相悖的任不管,转而对θ做坐标变换,也就可以 热流反转现象叫;此时,系统内的热导人工设计一个新材料,以获得热流反转现 率,可以用表观负热导率( apparent nega象凹,见图7 tive thermal conductiⅳviy)来理解。在文献 图7(a)热流反转装置中的温度分布(有限元模拟结果);(b)热流反转装置中的热流线示意图 R2(6) 图8(a)热学隐身衣原理 示意图:(b)热学聚集器 原理示意图 狗理·42卷(2013年)3期

热功能纳米超构材料专题 ·42卷 (2013 年) 3 期 隐身衣与范等人在2008年提出的热学隐身 衣[19] 相比，所用方法略有不同(歌里等人考 虑的热传递过程有热源，且温度随时间变 化)，但结论一致，所以，此处不再赘述。 3.2 热流反转 (thermal inverter)原理 基于人工设计的热梯度材料还可以 实现更多的奇异功能。例如，通过类似 于热学隐身衣的材料热性质的梯度设 计，从表观上看，人们可以使得热流从 低温向高温流动，这正是与直觉相悖的 热流反转现象[21] ；此时，系统内的热导 率，可以用表观负热导率(apparent nega￾tive thermal conductivity)来理解[21] 。在文献 [21]中，作者通过把热学隐身衣装置的形 状从球体改为旋转椭球体，利用有限元模 拟进行研究后发现，在梯度材料区域，出 现了热流反转现象(见图6)。 针对热流反转现象，美国哈佛大学那 罗延纳(S. Narayana)及其合作者于 2012 年 还提出了一个不同的方法来实现之。大家 知道，对于一个平面中的圆形区域，可以 用极坐标(R, q )来表示。对上述热学隐身 衣而言，对空间的扭曲作用都是通过R参 量的坐标变换来实现的。假如对R坐标放 任不管，转而对q做坐标变换，也就可以 人工设计一个新材料，以获得热流反转现 象[21] ，见图7。 图7 (a)热流反转装置中的温度分布(有限元模拟结果)；(b)热流反转装置中的热流线示意图[21] 图8 (a)热学隐身衣原理 示意图；(b)热学聚集器 原理示意图[20] · 176 ·

3.3热学聚集器( thermal concentrator) 原理 在歌里等人2012年发表的文章 中,还提供了一种新的基于热超构材料设 计出来的热学聚集器(见图8b)。不同于 热学隐身衣将热引开,这种热学聚集器可 以在局部汇聚热。虽然两种装置表现出的性 质迥然不同,但究其根源还是来自同样的设 计理念。即将空间扭曲成某种特定的形式, 然后找到扭曲后的空间新坐标系下对应的 热导系数,并以此为依据构建新装置 热学隐身衣是将图8(a)中的0<r<R2 图9一个R为0.11mm,R3为0.21mm、R1为0.31mm的热学聚集器在热自左 空间压缩到了R<F<R空间。而热学聚集向右传递的空间中的温度分布(用颜色分布表示随时间的改变 器则是把图8)中的0<<R空间压缩到00-01010(0中(0中纵向线条表 04<R1空间,然后把R2<r<R空间拉伸 示等温线,而(d中的横向线条表示热流线 到R<r<R空间。在空间中制造了一个 坑”,以此“请君人瓮”,把热诱进了这 个“坑”里。根据坐标变化,可以得到扭 3.4热超构材料的理论设计和实验验证 曲空间中的导热系数,从而设计出热学聚欲得到以上各种功能器件(见本文第 集器。利用有限元模拟,可以看到热学聚31-33节),人们需要设计热超构材料, 集器在实际温度场里起到的作用见图9)。这种材料本质上就是一种便于调控的各向 无论是热学隐身衣、热流反转,还是异性梯度介质。李(J.Y.Li)及其合作者于 热学聚集器,其中的热流现象都是违反直2010年提出了一种设计方案四。通过在原 觉的,这类由人工设计的、能够产生这类有介质上添加数量不等的微小纳米颗粒来 违反直觉的热学材料就叫做热超构材料调整介质整体的有效热导性质,从而实现 (thermal metamaterial) 材料的可调各向异性(见图10)。经过坐标 梯度材料隐身衣 日日口m图10热学隐身衣设 计示意图(a),(b) (c),(d),(e)对应不同 的区域,其中的纳米 颗粒具有不同的形状 和不同的体积分数2 物理·42卷(2013年3期 177

·42卷 (2013 年) 3 期 3.3 热学聚集器(thermal concentrator) 原理 在歌里等人 2012 年发表的文章[20] 中，还提供了一种新的基于热超构材料设 计出来的热学聚集器(见图8(b))。不同于 热学隐身衣将热引开，这种热学聚集器可 以在局部汇聚热。虽然两种装置表现出的性 质迥然不同，但究其根源还是来自同样的设 计理念。即将空间扭曲成某种特定的形式， 然后找到扭曲后的空间新坐标系下对应的 热导系数，并以此为依据构建新装置。 热学隐身衣是将图8(a)中的0 < r < R2 空间压缩到了R1< r < R2空间。而热学聚集 器则是把图8(b)中的0 < r < R2空间压缩到 0 <r < R1空间，然后把R2< r < R3空间拉伸 到 R1< r < R3空间。在空间中制造了一个 “坑”，以此“请君入瓮”，把热诱进了这 个“坑”里。根据坐标变化，可以得到扭 曲空间中的导热系数，从而设计出热学聚 集器。利用有限元模拟，可以看到热学聚 集器在实际温度场里起到的作用(见图9)。 无论是热学隐身衣、热流反转，还是 热学聚集器，其中的热流现象都是违反直 觉的，这类由人工设计的、能够产生这类 违反直觉的热学材料就叫做热超构材料 (thermal metamaterial)。 3.4 热超构材料的理论设计和实验验证 欲得到以上各种功能器件(见本文第 3.1—3.3 节)，人们需要设计热超构材料， 这种材料本质上就是一种便于调控的各向 异性梯度介质。李(J. Y. Li)及其合作者于 2010年提出了一种设计方案[22] 。通过在原 有介质上添加数量不等的微小纳米颗粒来 调整介质整体的有效热导性质，从而实现 材料的可调各向异性(见图10)。经过坐标 图9 一个R1为0.11mm、 R2为0.21mm、R3为0.31mm的热学聚集器在热自左 向右传递的空间中的温度分布(用颜色分布表示)随时间的改变 (a)t = 0.002s；(b) t = 0.005s；(c) t = 0.01s；(d) t = 0.02s ；(其中(a—d)中纵向线条表 示等温线，而(d)中的横向线条表示热流线) [20] 图 10 热学隐身衣设 计 示 意 图 ((a)， (b)， (c)，(d)，(e)对应不同 的区域，其中的纳米 颗粒具有不同的形状 和不同的体积分数) [22] · 177 ·

热功能纳米超构材料专题 变换后,扭曲空间中的新热导系数为 R,(R-Ri) R, R 036 036 R R2-R1 0.34 0.34 一切向形状因子( R 由于热导系数两个角度坐标的分量相等 300.30 (Ke=K4),因此我们可以用一个统一的标注K (b)2 来表示热导率在角度坐标O,φ下的分量。布拉 1.5 格曼(D.A.G. Bruggeman)的与形状相关的有效 媒质理论可以表示为-7 (或a2 0.5 “y 1.0 2.5 其中κ表示该方程对于R分量的热导率和角度 相对位置R/R 分量的热导率均适用,K是考虑纳米颗粒边界 图11在RR=3的情况下,(a)图显示可以通过调节纳米颗粒的形 热阻抗之后得到的纳米颗粒的热导系数,K1是 状和体积分数来保证(b)图所绘的有效热导系数随R的变化规律符合 基底介质的热导系数,F是纳米颗粒的形状 (4)式。图中的形状因子和传导率(k为热导率,a为电导率)为拟合参 量,因此可取任意单位 因子,p是纳米颗粒的体积分数。其后,根据 (4)式可以得到材料的有效热导系数随R坐标变 (a) 化的曲线,然后通过调节纳米颗粒的形状和体 积分数来拟合这条曲线,如图11所示 另一方面,哈佛大学那罗延纳及其合作者 在有效媒质理论的引导下,将两种不同材料耦 合在一起,组成多层结构,实验上制造出了三 种装置(见图12),即热学隐身衣、热学聚集 材料A 材料A 8() 器、热流反转装置,并实测了它们在温度场中 的表现(见图13)。图13表明,基于热超构材 料设计的三种装置,在实验中的表现与理论预 期基本一致 3.5热超构材料的微观机制 上文给出了热超构材料的诞生背景以及已 材料A 材料B∠ 取得的进展。但是,大家都知道,热是一种宏 观现象,这种宏观现象的新颖性必然离不开微 图12(a)热学隐身衣设计示意图:(b)热学聚集器设计示意图:(c)热 观的声子输运机制。换言之,因为微观尺度下 流反转装置设计示意图:(d展示的是(c)的局部 声子的动力学行为与宏观热现象存在密切的关 狗理·42卷(2013年)3期

热功能纳米超构材料专题 ·42卷 (2013 年) 3 期 变换后，扭曲空间中的新热导系数为 κR = R2 R2 - R1 (R - R1) 2 R2 κ0 , κθ = R2 R2 - R1 κ0 , (4) κϕ = R2 R2 - R1 κ0 . 由于热导系数两个角度坐标的分量相等 ( κθ = κϕ )，因此我们可以用一个统一的标注 κt 来表示热导率在角度坐标θ，f下的分量。布拉 格曼(D. A. G. Bruggeman)的与形状相关的有效 媒质理论可以表示为[22—27] κm - κr,t κr,t + Γr,t (κm - κr,t ) p + κi - κr,t κr,t + Γr,t (κi - κr,t ) (1 - p)= 0 ， (5) 其中 κr,t 表示该方程对于R分量的热导率和角度 分量的热导率均适用， κm 是考虑纳米颗粒边界 热阻抗之后得到的纳米颗粒的热导系数， κi 是 基底介质的热导系数， Γr,t 是纳米颗粒的形状 因子，p 是纳米颗粒的体积分数。其后，根据 (4)式可以得到材料的有效热导系数随R坐标变 化的曲线，然后通过调节纳米颗粒的形状和体 积分数来拟合这条曲线，如图11所示。 另一方面，哈佛大学那罗延纳及其合作者 在有效媒质理论的引导下，将两种不同材料耦 合在一起，组成多层结构，实验上制造出了三 种装置(见图 12)，即热学隐身衣、热学聚集 器、热流反转装置，并实测了它们在温度场中 的表现(见图13) [21] 。图13表明，基于热超构材 料设计的三种装置，在实验中的表现与理论预 期基本一致。 3.5 热超构材料的微观机制 上文给出了热超构材料的诞生背景以及已 取得的进展。但是，大家都知道，热是一种宏 观现象，这种宏观现象的新颖性必然离不开微 观的声子输运机制。换言之，因为微观尺度下 声子的动力学行为与宏观热现象存在密切的关 图11 在R2/R1=3的情况下，(a)图显示可以通过调节纳米颗粒的形 状和体积分数来保证 (b)图所绘的有效热导系数随R的变化规律符合 (4)式。图中的形状因子和传导率(κ为热导率，σ为电导率)为拟合参 量，因此可取任意单位[22] 图12 (a)热学隐身衣设计示意图；(b)热学聚集器设计示意图；(c)热 流反转装置设计示意图；(d)展示的是(c)的局部[21] · 178 ·

273K 图13从左至右依次为热学隐身衣、热学聚集器、热流反转装置在实验中的表现,其中颜色的变化代表 温度分布 联,人们可以通过研究声子的微观输运地和发展空间。从这个角度看,当前对 机制来深人研究和开发热超构材料。由热超构材料的硏究,除了进一步发展其 于这个领域才起步不久,所以,这方面新颖的功能(宏观方面)外,深入挖掘其中 的研究目前还比较缺乏。但是,关于声的微观声子输运机制(微观方面)也应该成 子的微观输运机制,目前已经有很多有为下一阶段的一个关注点 趣的研究工作,例如,可以选用某种特 定材料制造声子二极管,即声子仅可以4展望与结束语 在一个方向上通过,而在相反方向上则 不能通过。这类声子器件( phononic de 对未来的展望主要有以下几点 vice)多采用自然界中已存在的材料制 (1)热输运有3种方式,即传导、对 作,其功能是基于材料性质(例如非线性流和辐射,现有的研究多是基于传导来 热导率)而实现的,因而它与超构材料的开展的,而对另外两种输运方式的研 原理不同(这里我们暂不考虑尺度上的差究,现在还很缺乏,这些需要在未来进 异),因为超构材料的新颖功能是基于材一步完善。关于这点,在 Science杂志网 料的结构而实现的,即通过设计特定结站给哈佛大学的这篇实验论文配发的专 构,从而得到新奇的性质或功能。至题报道中,也有专门提及; 此,还值得一提的是,已有学者在声 (2)现有器件功能大多是在宏观尺度 场、直流电场等其他方面借鉴光学隐身上呈现出来的。若要提升热超构材料的 斗篷的特殊结构,也设计出了对应不同应用价值,需要进行基于纳米尺度的热 物理场的隐身衣即,足见此类超构材料超构材料的设计,从而在微纳尺度上实 的普适性,但这些研究一般都是从宏观现热超构材料已有的几种奇异功能,无 结构角度分析,很少涉及微观机制(例疑,此举将非常有益; 如:直流场隐身斗篷的电子输运微观机 (3)针对热超构材料,运用理论分析 制,迄今尚无报道)。这诸多的进展给我(从微观和宏观两方面入手)和实验研究的 们的一个启发是,若能够从微观声子层手段,探索更多的奇异功能,同样也是 面很好地理解热超构材料的工作机制,未来的一项重要的研究工作 则热超构材料可能会拥有更大的用武之 热超构材料的概念,从无到有,其 物理·42卷(2013年3期

·42卷 (2013 年) 3 期 联，人们可以通过研究声子的微观输运 机制来深入研究和开发热超构材料。由 于这个领域才起步不久，所以，这方面 的研究目前还比较缺乏。但是，关于声 子的微观输运机制，目前已经有很多有 趣的研究工作，例如，可以选用某种特 定材料制造声子二极管，即声子仅可以 在一个方向上通过，而在相反方向上则 不能通过[28] 。这类声子器件(phononic de￾vice)[28] 多采用自然界中已存在的材料制 作，其功能是基于材料性质(例如非线性 热导率)而实现的，因而它与超构材料的 原理不同(这里我们暂不考虑尺度上的差 异)，因为超构材料的新颖功能是基于材 料的结构而实现的，即通过设计特定结 构，从而得到新奇的性质或功能。至 此，还值得一提的是，已有学者在声 场、直流电场等其他方面借鉴光学隐身 斗篷的特殊结构，也设计出了对应不同 物理场的隐身衣[29—31] ，足见此类超构材料 的普适性，但这些研究一般都是从宏观 结构角度分析，很少涉及微观机制(例 如：直流场隐身斗篷的电子输运微观机 制，迄今尚无报道)。这诸多的进展给我 们的一个启发是，若能够从微观声子层 面很好地理解热超构材料的工作机制， 则热超构材料可能会拥有更大的用武之 地和发展空间。从这个角度看，当前对 热超构材料的研究，除了进一步发展其 新颖的功能(宏观方面)外，深入挖掘其中 的微观声子输运机制(微观方面)也应该成 为下一阶段的一个关注点。 4 展望与结束语 对未来的展望主要有以下几点： (1) 热输运有 3 种方式，即传导、对 流和辐射，现有的研究多是基于传导来 开展的，而对另外两种输运方式的研 究，现在还很缺乏，这些需要在未来进 一步完善。关于这点，在 Science 杂志网 站给哈佛大学的这篇实验论文[21] 配发的专 题报道中，也有专门提及[32] ； (2) 现有器件功能大多是在宏观尺度 上呈现出来的。若要提升热超构材料的 应用价值，需要进行基于纳米尺度的热 超构材料的设计，从而在微纳尺度上实 现热超构材料已有的几种奇异功能，无 疑，此举将非常有益； (3) 针对热超构材料，运用理论分析 (从微观和宏观两方面入手)和实验研究的 手段，探索更多的奇异功能，同样也是 未来的一项重要的研究工作。 热超构材料的概念，从无到有，其 图13 从左至右依次为热学隐身衣、热学聚集器、热流反转装置在实验中的表现，其中颜色的变化代表了 温度分布[21] · 179 ·