14离散时间系统与差分方程 个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(m)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列,输 出也是一个序列,其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。 y(n=Tlx(n) 对T加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统” x(n) (n) 离散时间系统
1.4 离散时间系统与差分方程 T[·] 离散时间系统 x (n) y(n) 一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成 输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输 出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个 运算。 y(n)= T[x(n)] 对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系 统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统” 。 T[ . ]
1.线性系统(满足迭加原理的系统) 若系统的输入为ⅹ;(n)和x2(n)时,输出分 别为y;(n)和y,(n) p y,(n=Tix(n)], y2(n)=t[x2(n)] 如果系统输入为ax1(n)+bx,(n)时,输出 为ay1(n)+by,(n) 其中a,b为任意常数,则该系统为线性系统。所 以,线性系统的条件为 Tax,(n)+bx,(n) atX, (n l+bTx, (n)1 ay,(n)+by (n) 线性系统对信号的处理可应用迭加定理
1. 线性系统（满足迭加原理的系统） 若系统的输入为x1（n）和x2（n）时，输出分 别为y1（n）和y2（n）， 即 y1（n）=T[x1（n）]， y2（n）=T[x2（n）] 如果系统输入为ax1（n）+bx2（n）时，输出 为ay1（n）+by2（n）， 其中a， b为任意常数，则该系统为线性系统。所 以，线性系统的条件为 T[ax1（n）+bx2（n）]=aT[x1（n）]+bT[x2（n）] =ay1（n）+by2（n） 线性系统对信号的处理可应用迭加定理
例:设一系统的输入输出关系为 试判断系统是否为线性? 解:输入信号x四]产生的输出信号T{x[n}为 TEx[n1=x2nI 输入信号ax]产生的输出信号T{ax[m]}为 ax In 除了a=0,1情况,T{axlm}≠aT{xlm}。故系统不满 足线性系统的的定义,所以系统是非线性系统
例: 设一系统的输入输出关系为 y[n]=x 2 [n] 试判断系统是否为线性？ 解：输入信号x [n]产生的输出信号T{x [n]}为 T{x [n]}=x 2 [n] 输入信号ax [n]产生的输出信号T{ax [n]}为 T{ax [n]}= a 2x 2 [n] 除了a=0,1情况，T{ax [n]} aT{x [n]}。故系统不满 足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统
2.时不变系统 如果T[x(n)]=y(n), 则T[x(nn)]y(n-n) (n0为任意整数) 即系统的特性不随时间而变化 线性时不变系统简称为:LTI
2. 时不变系统 如果 T[x（n）]=y（n）， 则 T[x（n-n0）]=y（n-n0） （ n0为任意整数） 即系统的特性不随时间而变化。 线性时不变系统简称为：LTI
3.线性时不变系统 线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。 我们知道,任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 (n)=∑x(m)6(m-m) 如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应, (n)=T6(n)] 则系统对任一输入序列x(n)的响应为 (n)=T[x(n) ∑x(m)(n 由于系统是线性的,满足迭加定理 y(n)=∑x(m)7[6(n-m) n=-00
3. 线性时不变系统 线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不 变系统可以用单位脉冲响应来表示。 我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和 如令h（n）为系统对单位脉冲序列的响应， h（n）=T[δ（n）] 则系统对任一输入序列x（n）的响应为 =− = − m x(n) x(m) (n m) = − = m=− T x m n m y n T x n ( ) ( ) ( ) [ ( )] 由于系统是线性的，满足迭加定理 =− = − m y(n) x(m)T (n m)
又由于系统是时不变的,对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。 注:只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示 因此 该式裴明一对在侧线性不统(光过其单位脉冲响应h(n)来 表示。这个公式秆模拟系统的卷积是类似的,称为离散卷积,或线性卷积。 卷积过程 ①对h(m)绕纵轴折叠,得h(-m); ②对h(-m)移位得h(n-m); ③将x(m)和h(n-m)所有对应项相乘之后相加,得离散卷积结果y(n)
又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。 注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示 T (n − m) = h(n − m) 因此 该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h（n）来 表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。 卷积过程： ① 对 h（ m）绕纵轴折叠，得h（-m）； ② 对 h（-m）移位得h（n-m）； ③ 将 x(m)和 h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果y（n）。 =− = − = m y(n) x(m)h(n m) x(n) * h(n)
(a)轴人序列 01234 A(n)+ b)单位脉冲响应 012345 (k) h(0-k) (e)计算y(0) IIIII h(1-k) 月“1 (d)计算y(1) (e)离教卷积结果 0123456789
令mn-m,做变量代换,则卷积公式变为 ,m增五(2m的径置哥刘:0(即 输入为x(n)、单位脉冲响应为h(n)的线 性时不变系统与输入为h(n)、单位脉冲响 应为x(n)的线性时不变系统具有同样的输 离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷 积”,以区别其他种类的卷积
令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为 因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调。（即 输入为x（n）、单位脉冲响应为h（n）的线 性时不变系统与输入为h（n）、单位脉冲响 应为x（n）的线性时不变系统具有同样的输 出） 离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷 积” ，以区别其他种类的卷积。 =− =− = − = − = m m y(n) x(m)h(n m) x(n m)h(m) h(n) * x(n)
4、系统的稳定性与因果性 线性和时不变两个约束条件定义了一类 可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性 也是很重要的限制 稳定系统:对于每一个有界输入产生 个有界输出的系统为稳定系统 当且仅当 S=h(k)<(充要条件) 时,该线性时不变系统是稳定的
4、系统的稳定性与因果性 线性和时不变两个约束条件定义了一类 可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性 也是很重要的限制。 稳定系统：对于每一个有界输入产生一 个有界输出的系统为稳定系统。 当且仅当 (充要条件) 时，该线性时不变系统是稳定的。 =− = k s h(k)
因果系统:系统的输出ν(n)只取决于当 前以及过去的输入,即x(n) x(n-1) x(n-2) 非因果系统:如果系统的输出y(n)取决 于ⅹ(n+1),x(n+2), 即系统的输出 取决于未来的输入,则是非因果系统,也即 不现实的系统,(不可实现) 因果系统的充要条件:h(n)≡0,n〈0( 可从y(n)=x(n)*h(n)导出)
因果系统： 系统的输出y（n）只取决于当 前以及过去的输入，即x（n）， x（n-1）， x（n-2）……。 非因果系统：如果系统的输出y（n）取决 于x（n+1），x（n+2），…，即系统的输出 取决于未来的输入，则是非因果系统，也即 不现实的系统，（不可实现） 因果系统的充要条件：h（n）≡0，n〈0（ 可从y（n）=x（n）*h（n）导出）