§3.3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 (原型变换) 对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案,如巴特 沃兹滤波器,切比雪夫滤波器考尔滤波器,每种滤波器都有自己 的一套准确的计算公式,同时,也已制备了大量归一化的设计 表格和曲线,为滤波器的设计和计算提供了许多方便,因此在 模拟滤波器的设计中,只要掌握原型变换,就可以通过归一化 低通原型的参数,去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻 滤波器。这一套成熟、有效的设计方法,也可通过前面所讨论 的各种变换应用于数字滤波器的设计,具体过程如下: 原型变换 映射变换 模拟原型 模拟低通、高通 数字低通、高 带通、带阻 通带通、带阻 原型变换 也可把前两步合并成一步,直接从模拟低通归一化原型通过 定的频率变换关系,完成各类数字滤波器的设计
§3．3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换 （原型变换） 对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案，如巴特 沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己 的一套准确的计算公式，同时，也已制备了大量归一化的设计 表格和曲线，为滤波器的设计和计算提供了许多方便，因此在 模拟滤波器的设计中，只要掌握原型变换，就可以通过归一化 低通原型的参数，去设计各种实际的低通、高通、带通或带阻 滤波器。这一套成熟、有效的设计方法，也可通过前面所讨论 的各种变换应用于数字滤波器的设计，具体过程如下： 原型变换 映射变换 原型变换 也可把前两步合并成一步，直接从模拟低通归一化原型通过一 定的频率变换关系，完成各类数字滤波器的设计 模拟原型 模拟低通、高通 带通、带阻 数字低通、高 通带通、带阻
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型,设计各种 数字滤波器的基本原理,着重讨论双线性变换法。 低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤: 1)确定数字滤波器的性能要求,确定各临界频 率{o} 2)由变换关系将{ω}映射到模拟域,得出模拟 滤波器的临界频率值{Ω}。 3)根据{Ω}设计模拟滤波器的Ha(s) 4)把H(s)变换成H(z)(数字滤波器系统函数)
一．低通变换 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频 率{ωk}。 2）由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟 滤波器的临界频率值{Ωk}。 3）根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha (s) 4） 把Ha (s) 变换成H(z)（数字滤波器系统函数） 下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型，设计各种 数字滤波器的基本原理，着重讨论双线性变换法
例1设采样周期T=250(=4hz),设计一个三阶巴特沃 兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=lkhz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。 解:a.脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的,所以可直接按 2rf设计Ha(s)。根据上节的讨论,以截止频率Ω。归一化的三 阶巴特沃兹滤波器的传递函数为: 1+2s+2s2+ 以s/Ω代替其归一化频率,得: H2(s) 1+2(s/2)+2(/2)2+(s/92)
例1 设采样周期 ,设计一个三阶巴特沃 兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。 解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc =2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为： 2 3 1 2 2 1 ( ) s s s Ha s + + + = 2 3 1 2( / ) 2( / ) ( / ) 1 ( ) c c c a s s s H s + + + = c s/ T 250 s( f 4khz) = s = 以 代替其归一化频率，得：
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数,之后以s/g。代替归一化频率,即得Ha(s)。 将Ω2=2v。代入,就完成了模拟滤波器的设计 但为简化运算,减小误差积累,fc数值放到数字滤 波变换后代入
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式 的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。 将 代入，就完成了模拟滤波器的设计 ，但为简化运算，减小误差积累，fc数值放到数字滤 波变换后代入。 Ha(s) c c = 2f c s/
为进行脉冲响应不变法变换,计算Ha(S)分母多项式的根, 将上式写成部分分式结构: Qc cc/√3er6 c/√3e-/r6 Ha(s) s+≌cs+gc(1-j√3)/2s+gc(1+j√3)/2 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式,有 cc/√3e TT/6 S2=-2(1-j3)/2;43=-!c/√3e-/m6,s3=-2(1+j3)2 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数: H()=∑,4 极点S
为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构： (1 3)/ 2 / 3 (1 3)/ 2 / 3 ( ) / 6 / 6 s c j c e s c j c e s c c Ha s j j + + − + + − − + + = − /6 1 , 1 ; 2 / 3 j A = c s = −c A = −c e (1 3)/ 2; / 3 , 3 (1 3)/ 2 /6 2 3 s j A c e s j c j = −c − = − = − + − = − − = N i S T i e Z A H Z i 1 1 1 ( ) Si 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点
并将Ω。=2T代入,得: H(Z)=.①c7-(。/√3)+(/3T)6 /6 z1-e0(4-八3)2z1 1-e(1+/3)/2 合并上式后两项,并将=2yfT=0.5x代入,计算得 1.571 1.571+0.5541Z-1 H(Z)= T(1-0.2079Z 0.1905Z+0.2079Z
并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： (1 3)/ 2 1 / 6 (1 3)/ 2 1 / 6 1 1 ( / 3 ) 1 ( / 3 ) 1 / ( ) − + − − − − − − − − − + − − + − = e Z T e e Z T e e Z T H Z j j c j j C c c c c c = 2f c T = 0.5 − + − + + − = − − − − 1 2 1 1 1 0.1905 0.2079 1.571 0.5541 1 0.2079 1 1.571 ( ) Z Z Z T Z H Z c =c /T
可见,H(Z)与采样周期T有关,T越小,H(Z) 的相对增益越大,这是不希望的。为此,实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改,即求出H(Z)后,再 乘以因子T使H(Z)只与o。有关,即只与f和f的相 对值f。/有关,而与采样频率f无直接关系 例如,f=4KH,f=1K与f=40kH,f=10kH的 数字滤波器具有相同的传递函数,这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。 最后得: 1.571 1571+0.5541z H(Z) 1-0.2079z11-0.1905z1+0.2079z-2
可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和f s的相 对值 有关，而与采样频率f s无直接关系。 例如， 与 的 数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所 有的数字滤波器设计。 最后得： c s f / f 1 2 1 1 1 0.1905 0.2079 1.571 0.5541 1 0.2079 1.571 ( ) − − − − − + − + + − = z z z z H Z C f KHz f KHz f s = 4KHz, f c =1KHz s = 40 , c =10
b.双线性变换法 (一)首先确定数字域临界频率=2=0.5兀 2 2 tg、2 二)根据频率的非线性关系,确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三)以s/s代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 H(S)= 1+2(s/g)+2(s/92)2+(s/ 并将92=2/代入上式。 (四)将双线性变换关系代入,求H(Z)
b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率 c = 2f c T = 0.5 T t g T c c 2 2 2 = = s/c 2 3 1 2( / ) 2( / ) ( / ) 1 ( ) c c c a s s s H s + + + = c = 2/T （二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)
H(2=H,GS 21- 1 1+2 1 1 1+z +=)+2(-=)+=-)+2(-=-)(+=-)+(-=-) z +=)+2(-=)+=-)+=1+1-=-)+(-=) Tz 1+z-)+4(1-z 2)+ +)1+2=+=2+2-2=)+(-=)2+22+1-2=+ 1+2 z 3+z)+=+1-=)23+
3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) 1 1 + − + + − + + − + = = − − − − − − + − = − − z z z z z z H Z H s z z T s a ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 3 1 2 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 2 3 1 3 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 4 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − + + = + + + − + = + + + + − + − + + − + + = + + − + + − + = + + − + + + − + − + = + + − + + − + + − + = z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
1.0 脉冲响应不变法 ② 双线性变换法 0.5 0 0.5x 1.0 2.0(kHz) fs/2 图1三阶 Butterworth数字滤波器的频响
图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响 脉冲响应不变法 双线性变换法 fs/2