《数字信号处理 Digital Signal Processing》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 无限长单位脉冲响应（IIR）滤波器设计 3.2 常用模拟低通滤波器特性

二、双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆,这是从S平面到Z平面的标准变换z=eT的多值对应 关系导致的为了克服这一缺点,设想变换分为两步: 第一步:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里; 第二步:通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系,消除 多值性,也就消除了混淆现象

二、双线性变换法 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混 淆，这是从S平面到Z平面的标准变换z＝e sT的多值对应 关系导致的,为了克服这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平 面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除 多值性，也就消除了混淆现象

/1 W Rel IT s平面 s1平面 z平面 双线性变换法的映射关系

s平面 s1平面 z平面 双线性变换法的映射关系

为了将S平面的jQ轴压缩到S1平面g21轴上的一m/T 到兀/T一段上,可通过以下的正切变换实现: 27 2 这里C是待定常数,下面会讲到用不同的方法确定C 可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特 性在不同频率点有对应关系。 经过这样的频率变换,当g由->0>∞时 21由-/经过0变化到πT,即S平面的整个j轴被 压缩到S1平面的2一段

为了将S平面的jΩ轴压缩到S1平面jΩ1轴上的－π/T 到π/T 一段上，可通过以下的正切变换实现： −→0→ ) 2 tg( Ω1 T Ω = c  这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C， 可使模拟滤波器的频率特性与数字源波器的频率特 性在不同频率点 有对应关系。 经过这样的频率变换， 当Ω由 时, Ω1由-π/T经过０变化到π/T ，即S平面的整个jΩ轴被 压缩到S1平面的2π/T 一段

将这一关系解析扩展至整个S平面,则得到 S平面到S平面的映射关系: S,T T e S=C. th(=c 1+e-S 再将S1平面通过标准变换关系映射到Z平面,即令 21-z z=e°l 通常取C=2/ T1+z 考虑z=e 21-e02jsi(O/2) T1+e jo T cos(@/2) atg ()=jQ2 g(/2)

通常取C=2/T, ( / 2) 2 tg  T  = s T s T e e c s T s c 1 1 1 1 ) 2 th( 1 − − + − =  =  − − +  − = z z T T s s z e 1 = 考虑z = ejω , ( ) = =  = + − = − − j j T j e T e T s j j ) 2 tg( 2 cos 2 2 sin( / 2) 1 2 1      再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到 S平面到S1

最后得S平面与Z平面的单值映射关系: 21-z T1+z 1+(T/2)s 1-(T/2)s 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应, S平面的虚轴(整个j92)对应于Z平面单位圆的一周,S平面的 g2=0处对应于Z平面的o=0处,对应即数字滤波器的频率响应 终止于折叠频率处,所以双线性变换不存在混迭效应

最后得S平面与Z 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应， S平面的虚轴(整个jΩ)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的 Ω=0处对应于Z平面的ω=0处，对应即数字滤波器的频率响应 终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 − − +  − = z z T s T s T s z ( / ) ( / ) −  +  =

现在我们看看,这一变换是否符合我们一开始提 出的由模拟滤波器设计数字滤波器时,从S平面到Z平 面映射变换的二个基本要求: ①当z=e时,得: 21-e102 J TI+e o T 2)0+ 对单位圆,=0即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 s=O+ iQ2 IOT+J 2 T TQ 2 2 T QT TO nQ 2 2 σO时,z|>1

现在我们看看，这一变换是否符合我们一开始提 出的由模拟滤波器设计数字滤波器时，从 S平面到Z平 ① 当 时，得： j z = e  = +       = + − = − − jtg j e T e T s j j     2 2 1 2 1 s =  + j 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 , | | 2 2 1 2 2 1         +      −         +      + =   −      −   +      + = T T T T z T j T T j T z       0 | z |1;  0时,| z |1 对单位圆 ,  = 0 即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。 时 ②

即s左半平面映射在单位圆内,s右半平面映射在单位圆外, 因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后,所得到的数字滤波 器也是稳定的。如图1 --------------1----4-“““- 图双线性变换的频率非线性关系

即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外， 因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波 器也是稳定的。如图1。 图 双线性变换的频率非线性关系

小结 1)与脉冲响应不变法相比,双线性变换的主要优点:S平 面与Z平面是单值的一一对应关系(靠频率的严重非线性关系得 到的),即整个j≌轴单值的对应于单位圆一周,关系式为: 2 可见,Q和g为非线性关系,如图2

小结 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得 到的），即整个jΩ轴单值的对应于单位圆一周， 可见，ω和Ω为非线性关系，如图2。        = 2 2  tg T

s2/ 1.0 Q2=tg(o) 0 .00/ 图2双线性变换的频率非线性关系 由图中看到,在零频率附近,g~o接近于线性关系,g进 步增加时,ω增长变得缓慢,Ω→>∞时,ω飨止于折叠 频率处),所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率 而混淆到低频部分去的现象

图2 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，Ω～ω接近于线性关系，Ω进 一步增加时，ω增长变得缓慢， (ω终止于折叠 频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率  → 时, →

2)双线性变换缺点:Ω与0成非线性关系,导致: a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸 变,(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上 发生畸变)。 例如,一个模拟微分器,它的幅度与频率是直线关系, 但通过双线性变换后,就不可能得到数字微分器 H(_2)=k2+b H(e)=H(j2) ktv +6 b.线性相位模拟滤波器经双线性变换后,得到的数字滤波器为 非线性相位 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的,故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器

2)双线性变换缺点： Ω与ω成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸 变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上 发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅 度与频率是直线关系， 但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器 H e H j ktg b H j k b t g j =  = +  =  + = 2 ( ) ( ) ( ) 2    b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为 非线性相位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器