振动和波动 (Vibration and wave) 第6章 振动学基础 (Vibration)
1 第 6 章 (Vibration) (6) 振动和波动 (Vibration and wave)
般地说任何一个物理量在某一量值附近随 时间作周期性变化都可以称为振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动 ●●●● 本章着重研究机械振动。而振动中最简单最基 本最有代表性的是简谐振动,这将是我们学习的 重点。 学习中的重点和难点是: 相 (phase)
2 一般地说,任何一个物理量在某一量值附近随 时间作周期性变化都可以称为振动。 振动有机械振动、电磁振动、光振动…...。 本章着重研究机械振动。 而振动中最简单最基 本最有代表性的是简谐振动，这将是我们学习的 重点。 学习中的重点和难点是： 相(phase)
S6-1谱振动的一般概念 一.简谐振动的运动学方程 一质点沿x轴作直线运动,取平衡位置为坐标 原点,若质点对平衡位置的位移(坐标x随时间按 余弦变化,即 x=Acos(@ t+o) (6-3) 则称质点作简谐振动(谐振动)。式(6-3)也称为振动 方程 上式中:A,O,@为谐振动的三个特征量均为 常量
3 §6-1 简谐振动的一般概念 一 .简谐振动的运动学方程 一质点沿x轴作直线运动，取平衡位置为坐标 原点，若质点对平衡位置的位移(坐标)x随时间t按 余弦变化,即 则称质点作简谐振动(谐振动)。式(6-3)也称为振动 方程。 上式中: A, , 为谐振动的三个特征量,均为 常量。 x =Acos( t+ ) (6-3)
二.筒谐振动的动力学方程 如图6-1所示取平衡位置为坐标原点,物体对平 衡位置的位移为x时,所受的弹性力为 F=-kx(6-1) 式中:k为弹簧的倔强(劲度)系数负号表示力与位移的 方向相反。 根据牛顿第二定律,物体在此弹性力的作用下的 力学方程是 d-x kx= ma= m k dt2 Room (平衡位置) 令 k d o x m dt 图6-1
4 如图6-1所示,取平衡位置为坐标原点，物体对平 衡位置的位移为x时,所受的弹性力为 图6-1 x m k o (平衡位置) x F = −kx (6-1) 式中:k为弹簧的倔强(劲度)系数;负号表示力与位移的 方向相反。 根据牛顿第二定律，物体在此弹性力的作用下的 力学方程是 2 2 d t d x − k x = ma = m , m k = 2 令 x dt d x 2 2 2 = − 二 .简谐振动的动力学方程
dx (6-2) dt 上式就是简谐振动的动力学方程。 这个方程的解为 x=Acos(O计p) 这正是简谐振动的运动学方程 注意研究筒谐振动的,坐标原点只能取在平衡位置。 平衡位置:∑F=0,或】M=0 68m 图6-2(原长) (平衡位置) 图6-2
5 x dt d x 2 2 2 = − (6-2) 上式就是简谐振动的动力学方程。 这个方程的解为 x =Acos( t+ ) 这正是简谐振动的运动学方程。 注意:研究简谐振动时,坐标原点只能取在平衡位置。 平衡位置: o x (原长) m (平衡位置) k 图6-2 图6-2 F外 = 0,或M外 = 0
三.三个特征量 x=Acos(at+o) A振幅(对平衡位置最大位移的绝对值)。 O—角频率 2兀2V T (6-12) (计g)一相(位相,相位,周相) —初相(=0时的相)。(-2x≤0≤+2n) 四谐振动的特征 等幅振动,A不变;周期振动,x(t)=x(t+1)
6 x =Acos( t+ ) 四.谐振动的特征 2 2 = = T (6-12) A —振幅 (对平衡位置最大位移的绝对值)。 —角频率 —初相(t=0时的相)。 等幅振动，A不变；周期振动，x(t)=x(t+T)。 (−2 +2) ( t+ ) —相(位相，相位，周相)。 三 .三个特征量
x=4cOs(0计+g) 速度:D= -OAsin(at+P), Um=OA dt 加速度:a==-024co(or+g),am=O2A(6-6) dt 显然,它们都是谐振动。 n=-0x-运动学特性(动力学方程) F=m=-ma2x=-kx-动力学特性 k=mo2(6-13)
7 加速度： Acos( t ) d t d a = = − + 2 F = ma = −m x = −kx 2 速度： Asin( t ) dt dx = = − + a = -2x 显然，它们都是谐振动。 — 运动学特性(动力学方程) , m = A (6-5) , am =2A (6-6) — 动力学特性 k=m2 (6-13) x =Acos( t+ )
五质点的振动状态完全由相位确定 x=Aco(O计qp) -oasin at+ 显然,它们由相位唯一确定。 (计+p)=0,x=A,=0—正最大 (o汁+p)在第1象限,x>0,U0 (计+g)=3m2,x=0,b>0—平衡位置 (o汁+p)在第4象限,x>0,U>0 计+g)=2,x=4,U=0—正最大
8 ( t+ )=0, x=A,=0 —正最大 ( t+ )在第1象限, x>0, 0 ( t+ )= 3/2, x=0, >0 —平衡位置 ( t+ )在第4象限, x>0, >0 ( t+ )=2 , x=A, =0 —正最大 Asin( t ) dt dx = = − + x =Acos( t+ ) 显然，它们由相位唯一确定。 五.质点的振动状态完全由相位确定
六.振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动: x1=A1cos(计+g x2=A2c0(0计2) >0,振动x2超前x1(2gh); 相差A=振动2和x1同相 <0,振动x2落后x(92-g; =兀,振动x2和x1反相。 例1x=Acos(atp) U=0Ain(计+p)=0AcO(0计q+m2) =02Acos(计q)=024co(0计+p+x)=o2x U超前xm2;a超前Um2;a与x反相
9 六 .振动的超前与落后 设有两个同频率的谐振动： x1=A1cos( t+1 ) x2=A2cos( t+2 ) >0, 振动x2超前x1 (2 -1) ； <0, 振动x2落后x1 (2 -1) ； =0, 振动x2和x1同相 ； =, 振动x2和x1反相 。 相差 =2 -1 例1 x =Acos( t+ ) =- Asin( t+ )= Acos( t++/2 ) a =- 2Acos( t+ )= 2Acos( t+ + )=- 2x 超前x /2； a 超前 /2； a与 x反相
例2x1=0.3c0(x1) x2=0.4cos(rt+ 37)=0.4c0(兀t-) x2超前x13x1超前x2z (-2≤≤+2m) 图6-4
10 例2 x1 =0.3cos( t ) x2 =0.4cos( t ) 2 3 + x2 超前 x1 2 3 =0.4cos( t ) 2 − x1 超前 x2 2 1 2 图6-4 (−2 +2)