量子力學 六章:不含时微扰理论 杨焕雄 中国科学术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 25, 2019
量子力学 第六章：不含时微扰理论 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 25, 2019 1 / 36
本章概要 量子力学体系的 Schrodinger方程 dyl h2 V2+V, d y 除了少薮几个特倒(如简谐振子和氨原子)外,住往不能严格求 解.因此,在处理实际问题的时候,一方面需要建立适当的模 型简化问题,另一方面还需要采用逅当的近似方法. 从本章起拟介绍的近似方法如下 ◎定态问题微扰论. 变分原理 WKB非微扰方法 合时问题微扰论. 绝热近似
本章概要： 量子力学体系的 Schrödinger 方程， iℏ B Bt “ „ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vp~r; tq ȷ 除了少数几个特例 (如简谐振子和氢原子) 外，往往不能严格求 解. 因此，在处理实际问题的时候，一方面需要建立适当的模 型简化问题，另一方面还需要采用适当的近似方法. 从本章起拟介绍的近似方法如下： 1 定态问题微扰论. 2 变分原理. 3 WKB 非微扰方法. 4 含时问题微扰论. 5 绝热近似. 2 / 36
定态微扰论的哲学 设体系的 Hamilton算符为H(不显含t参),能量本征值方程是 Hln=En lpm) 求解此本征值方程一般比较困难. 倘若H可以写作两部分之和 =A0+H=ho+入 其中, 入是一无量纲参数,|《1.以至于P=入表现为微扰 ◎的本征值问题已经斛决 则可以在本征值解这个基础上把的影响按照λ的冪次逐 燄考虑进去,从而求得的本征值闷题的尽可能接近于精确解 的近似解
定态微扰论的哲学： 设体系的 Hamilton 算符为 Hˆ (不显含 t 参数)，能量本征值方程是： Hˆ | ny “ En | ny 求解此本征值方程一般比较困难. 倘若 Hˆ 可以写作两部分之和： Hˆ “ Hˆ 0 ` Hˆ 1 “ Hˆ 0 ` Wˆ 其中， 1 是一无量纲参数，|| ! 1， 以至于 Hˆ 1 “ Wˆ 表现为微扰. 2 Hˆ 0 的本征值问题已经解决. 则可以在 Hˆ 0 本征值解这个基础上把 Hˆ 1 的影响按照 的幂次逐 级考虑进去，从而求得 Hˆ 的本征值问题的尽可能接近于精确解 的近似解. 3 / 36
我们首先考虑非简开能级如何受到微扰的影响.设H的本征值 方程 B0|n)=E0|n 己经解出,能EO皆不简并,现在按微拢论的方法求本征值 问题的近似解 En=E0+AE0)+2E2)+…,pyn=|n)+xy0)+x2|y2)+ 其中入为一无量纲的实参数(0<入<1) Enlpm)=E0)+AE )+xE(2)+ [→+4)+219) +X-9)4)+4pw)+B))]+…
我们首先考虑非简并能级如何受到微扰的影响. 设 Hˆ 0 的本征值 方程 Hˆ 0 |ny “ E p0q n |ny 已经解出，能级 E p0q n 皆不简并. 现在按微扰论的方法求 Hˆ 本征值 问题的近似解. 设： En “ E p0q n ` E p1q n ` 2E p2q n ` ¨ ¨ ¨ ; | ny “ |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ 其中 为一无量纲的实参数 (0 ă ă 1). 从而， En | ny “ ” E p0q n ` E p1q n ` 2E p2q n ` ¨ ¨ ¨ ı ¨ ” |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ ı “ E p0q n |ny ` ” E p0q n | p1q n y ` E p1q n |ny ı ` 2 ” E p0q n | p2q n y ` E p1q n | p1q n y ` E p2q n |ny ı ` ¨ ¨ ¨ 4 / 36
同理 B>-[B0+x[D+入9少)+x19)》 01)+)B0)+ +x2|hy2)+y)+ 把以上两式代入到体系的能量本征值方程 Hln=En loan> 中,比较方裎两端参数λ的同冪次项,可得到各缀微扰近似的方 程如下 |n)=E0 x1:|y)+n)=E0|y0)+E)|n x2:y2)+Wpy)=E0|y2)+E1)y)+E21m
同理， Hˆ | ny “ ” Hˆ 0 ` Wˆ ı” |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ ı “ Hˆ 0 |ny ` ” Hˆ 0 | p1q n y ` Wˆ |ny ı ` 2 ” Hˆ 0 | p2q n y ` Wˆ | p1q n y ı ` ¨ ¨ ¨ 把以上两式代入到体系的能量本征值方程 Hˆ | ny “ En | ny 中，比较方程两端参数 的同幂次项，可得到各级微扰近似的方 程如下： 0 : Hˆ 0 |ny “ E p0q n |ny pExpected !q 1 : Hˆ 0 | p1q n y ` Wˆ |ny “ E p0q n | p1q n y ` E p1q n |ny 2 : Hˆ 0 | p2q n y ` Wˆ | p1q n y “ E p0q n | p2q n y ` E p1q n | p1q n y ` E p2q n |ny 3 : ¨ ¨ ¨ 5 / 36
一近似: 鉴于印本征矢量的正交归一注,(1)=6m,E)所嵩足的方程 可以攻写为 E(8mm =(m Hol p(>+(m Wn)-E()(mp()> 是厄米算符,其本征矢量杀具有完备性1.因此可以有 )=∑)(v w,E6m=2(m)(kl 4>+(m Wny-Efo)(mlva> ∑E6nm(y)+Wm-Eg0(myp LEfO)-EfOKmlpa>+Wmn 式中 Wmn=(m Wn) 这个性质是量子力学态叠加原理所要求的
一级近似： 鉴于 Hˆ 0 本征矢量的正交归一性，xn|ky “ nk，E p1q n 所满足的方程 可以改写为： E p1q n mn “ xm|Hˆ 0| p1q n y ` xm|Wˆ |ny ´ E p0q n xm| p1q n y Hˆ 0 是厄米算符，其本征矢量系具有完备性1 . 因此可以有： | p1q n y “ ÿ k |ky xk| p1q n y ù E p1q n mn “ ÿ k xm|Hˆ 0|ky xk| p1q n y ` xm|Wˆ |ny ´ E p0q n xm| p1q n y “ ÿ k E p0q k mk xk| p1q n y ` Wmn ´ E p0q n xm| p1q n y “ “ E p0q m ´ E p0q n ‰ xm| p1q n y ` Wmn 式中： Wmn “ xm|Wˆ |ny 1这个性质是量子力学态叠加原理所要求的. 6 / 36
从上式不难看出 (my)= W 若m=n E()=Wn=(nlwn) 后面我们还将证明可以把面数(ny)取为零,因此,在一 近似下,体系的能量本征值与相应的本征矢量是 E= EO+A' w>-1)-40=m 式中的求和号∑m表示对m求和时不包合m=n的项
从上式不难看出： 若 m ‰ n， xm| p1q n y “ ´ Wmn E p0q m ´ E p0q n 若 m “ n， E p1q n “ Wnn “ xn|Wˆ |ny 后面我们还将证明可以把波函数 xn| p1q n y 取为零. 因此，在一级 近似下，体系的能量本征值与相应的本征矢量是： En “ E p0q n ` Wnn | ny “ |ny ´ ÿ1 m Wmn E p0q m ´ E p0q n |my 式中的求和号 ř1 m 表示对 m 求和时不包含 m “ n 的项. 7 / 36
计算(nly 按照微扰论,体系哈密顿算符属于能缀En的、精确的本征态矢 量是 yn)=|n)+入y0)+x21y2)+… 若要求|ψn》滿足归一化条件,则有 1=〈ynyn (叫+(y)+x2(v21+ [+x49)+x9+…」 1+|(ny)+④yln) +2X(+491+49]+0() 所以 y)+(v0n>=0,(ny2)+(v2)n)+(vay)=0
计算 xn| p1q n y： 按照微扰论，体系哈密顿算符属于能级 En 的、精确的本征态矢 量是： | ny “ |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ 若要求 | ny 满足归一化条件，则有： 1 “ x n| ny “ ” xn| ` x p1q n | ` 2 x p2q n | ` ¨ ¨ ¨ ı ¨ ” |ny ` | p1q n y ` 2 | p2q n y ` ¨ ¨ ¨ ı “ 1 ` ” xn| p1q n y ` x p1q n |ny ı ` 2 ” xn| p2q n y ` x p2q n |ny ` x p1q n | p1q n y ı ` Op 3 q 所以， xn| p1q n y`x p1q n |ny “ 0; xn| p2q n y`x p2q n |ny`x p1q n | p1q n y “ 0; ¨ ¨ ¨ 8 / 36
点评 笫一式表明:(nly)是纯虚数、其实部为零,(叫y)=i 如果精确到入的一次幂,哈密顿算符的本征态可近似地表 达为 yn)≈|n)+y0 |)+A∑|m)(my =1)+入(n+A∑m)(m吵”) =(1+0)1+入∑m)(m9 2)1)+A∑|m)(mv少 按照态矢量的褫率诠释,态矢量的一个整体相因子是可以任 惫选择的.所以,不妨取δ=0,即 (my0)=0
点评： 1 第一式表明：xn| p1q n y 是纯虚数、其实部为零，xn| p1q n y “ i. 2 如果精确到 的一次幂，哈密顿算符的本征态矢可近似地表 达为： | ny « |ny ` | p1q n y “ |ny ` ÿ m |my xm| p1q n y “ |ny ` xn| p1q n y |ny ` ÿ1 m |my xm| p1q n y “ p1 ` iq |ny ` ÿ1 m |my xm| p1q n y « e i |ny ` ÿ1 m |my xm| p1q n y « e i ” |ny ` ÿ1 m |my xm| p1q n y ı 按照态矢量的概率诠释，态矢量的一个整体相因子是可以任 意选择的. 所以，不妨取 “ 0，即： xn| p1q n y “ 0 9 / 36
二级近似 在二级近似下,我们常常只关心能级的修正.求零敛态矢量|n 与级上定态薛定谔方程 y2)+Wy)=E0)y2)+E)y0)+EB2)1n) 的标积,且注意到(my)=0.则不难看到 E2=(10)=∑q解m(my 能En的二敛修正即为x2E).所以,在二近似下,能氦En 的近似值为 En≈E0)+XWmn-x2
二级近似： 在二级近似下，我们常常只关心能级的修正. 求零级态矢量 |ny 与 2 级上定态薛定谔方程 Hˆ 0 | p2q n y ` Wˆ | p1q n y “ E p0q n | p2q n y ` E p1q n | p1q n y ` E p2q n |ny 的标积，且注意到 xn| p1q n y “ 0，则不难看到： E p2q n “ xn|Wˆ | p1q n y “ ÿ m xn|Wˆ |my xm| p1q n y “ ´ÿ1 m |Wmn| 2 E p0q m ´ E p0q n 能级 En 的二级修正即为 2E p2q n . 所以，在二级近似下，能级 En 的近似值为： En « E p0q n ` Wnn ´ 2 ÿ1 m |Wmn| 2 E p0q m ´ E p0q n 10 / 36