上节回顾 ·地球椭球基本参数及其相互关系 1、地球椭球的五参数4.b-&.e.e a=a-b e=va-bi b a 引入符号：-93-t.-n2W红业 C= t=tan B n2=e2 cos2 B 2222二2=2-22222222二2222222222222二22222222←- W=v1-e2sin2B v=v1te2cos2B 2、五参数间的相互关系 ①b<a<c,e<e',W<V≤1 i-e-8）1e-(8 小=大1-e2 记忆技巧 e2=2a-a1 大=小1+e2 V2=1+72=(1+e2)W
上节回顾 • 地球椭球基本参数及其相互关系 1、地球椭球的五参数 b a c 2 = t = tan B e B 2 2 2 = ' cos W e B 2 2 = 1− sin V e B 2 2 = 1+ ' cos a b e e' 2、五参数间的相互关系 a a − b = a a b e 2 2 − = b a b e 2 2 ' − = 引入符号：c，t， ，W，V 2 b a c,e e , 记忆技巧 2 小=大 1−e '2 大 =小 1+ e ① ② W V 1 2 2 e = 2 − − = a b e 2 1 + = b a e 2 1 ( ) 2 2 2 2 V =1+ = 1+ e W
上节回顾 4.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系 一、各种坐标系一一惟一的确定空间任意点的位置 (N+H)cos BcosL 1.大地坐标系-[B,L,H (N+H)cos Bsin L tan B= Z+Ne2sin B zw1-e2+金 VX2+Y2 2.空间直角坐标系一[X,Y,z)] X=xcosL Y=xsin L Z=y 3.子午面直角坐标系一[L,xy] acos B bsin B x= y= W 4,地心纬度坐标系L,p,p]和归化纬度坐标系L心.- itan B=v1+e2 tanu=(1+e)tan 5.大地极坐标系一[S,A] tanu=v1-e'tan B=1+e2 tand itan =(1-e2)tan B=v1-e2 tanu
上节回顾 4.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 一、各种坐标系——惟一的确定空间任意点的位置 1. 大地坐标系—[B,L,H] 2. 空间直角坐标系—[X,Y,Z] 3. 子午面直角坐标系—[L,x,y] 4. 地心纬度坐标系[L,ϕ,ρ]和归化纬度坐标系[L,μ] 5. 大地极坐标系—[S,A] V b B y sin = W a B x cos = X = x cos L Y = x sin L Z = y − + + + = N e H B N H B L N H B L Z Y X [ (1 ) ]sin ( ) cos sin ( ) cos cos 2 e B e u u e B e B e u e tan (1 )tan 1 tan tan 1 tan 1 ' tan tan 1 ' tan (1 ' )tan 2 2 2 2 2 2 = − = − = − = + = + = + 2 2 2 sin tan X Y Z Ne B B + + =
上节回顾 1.子午圈曲率半径 M=al-e)_c_N w3 -32 2. 卯酉圈曲率半径 M=o+m2sin2B+m,sinB+m。sin°B+Is sin B 3.主曲率半径的计算 N=no+nsin2B+nasinB+nsin B+ns sinB 4. 任意法截线的曲率半径 E1+7牙R+a A=-Re"cos Bcos2A 5.平均曲率半径 R-Viw-av-o 曲率半径 N R M C C C V >3 av1-e20 av1-e21 av1-e22 Wi 形2 形3
上节回顾 1. 子午圈曲率半径 2. 卯酉圈曲率半径 3. 主曲率半径的计算 4. 任意法截线的曲率半径 5. 平均曲率半径 2 3 3 2 a e c N (1 ) M W V V − = = = V c W a N = = 2 2 1 cos A N R R A = = + + 2 2 2 a e c 1 R MN W V − = = = 曲率半径 N R M 公 式 1 V c 2 V c 3 V c 1 0 2 1 W a − e 2 1 2 1 W a − e 3 2 2 1 W a − e 2 cos cos 2 2 R = − e B A
本节内容 ·子午线弧长计算 ·子午线弧长求大地纬度 ·平行圈弧长公式 ·子午线弧长和平行圈弧长变化比较 ·椭球面梯形图幅面积的计算
本节内容 • 子午线弧长计算 • 子午线弧长求大地纬度 • 平行圈弧长公式 • 子午线弧长和平行圈弧长变化比较 • 椭球面梯形图幅面积的计算
4.4椭球面上的弧长计算 4.4.1子午弧长的计算 从赤道E开始到纬度为B的P点之间的子午弧长。 P 如图 dx=MdB 则X=iaB g D M= a(-)-al-sinB) w3 P M=mo+m sin2 B+ma sin4 B+m sin6 B+m sin8 B m8}s0 a=m++ 3 sin'B=3 1 82c0s2B+号c0s4B 1 28 m6+ 16 -ms 12 8 sin'B=5 15 os2B+c04B- a,=+%+15m+☑ 2+2+32m,+16m 1632 16 32 c0S6B +3 7 sin'B=35 7 m+32m 12816 1280s8B COs2 B1cos4B-16 c050 a4=8T16 + M=ao-az cos2B+a4 cos4B-a6 cos6B+ag cos8B a,=3216 ms as= 128
4.4 椭球面上的弧长计算 2 3 2 2 2 2 3 (1 ) (1 )(1 sin ) a e M a e e B W − − = = − − 4.4.1 子午弧长的计算 如图 E dx = MdB 则 = B X MdB 0 M m m B m B m B m B 8 8 6 6 4 4 2 0 2 = + sin + sin + sin + sin 2 4 6 8 1 1 sin cos 2 2 2 3 1 1 sin cos 2 cos 4 8 2 8 5 15 3 1 sin cos 2 cos 4 cos6 16 32 16 32 35 7 7 1 1 sin cos 2 cos 4 cos6 cos8 128 16 32 16 128 B B B B B B B B B B B B B B = − = − + = − + − = − + − + M = a0 − a2 cos 2B + a4 cos 4B − a6 cos6B + a8 cos8B 2 0 0 4 6 8 2 4 2 6 8 4 4 6 8 6 8 6 8 8 3 5 35 2 8 16 128 15 7 2 2 32 16 3 7 8 16 32 32 16 128 m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a = + + + + = + + + = + + = + = 从赤道E开始到纬度为B的P点之间的子午弧长
M=ao-a2 cos2B+a cos4B-d cos6B+as cos8B 代入 =doB-42 sin 2B+44 sin 4B-ao sin 6B+ m,<0.00003m 2 6 as sin 8B 4 81024 他+3m,+5m35 m=a1-e2） a0=m+ 2 81 16 128% m6 32 a=+%+点m m2= e mo 2 232 ms 2 16 m 3 7 52 8+16m,+32m 04= m三4 e m mem a。=3216 m-7om 6 ms as=128 根据克拉索夫斯基椭球元素，子午弧长计算公式为： X=111134.861B°-16036.480sin2B+16.828sin4B-0.022sin6B 根据1975年国际椭球元素，子午弧长公式为： X=111133.005B°-16038.528sin2B+16.833sin4B-0.022sin6B
根据克拉索夫斯基椭球元素，子午弧长计算公式为： 根据1975年国际椭球元素，子午弧长公式为： B a B a B a B a X a B sin 8 8 sin 6 6 sin 4 4 sin 2 2 2 4 6 8 = 0 − + − + X B B B B = − + − 111134.861 16036.480sin 2 16.828sin 4 0.022sin 6 X =111133.005B −16038.528 sin 2B +16.833sin 4B − 0.022 sin 6B 将 代入 = B X MdB 0 M = a0 − a2 cos 2B + a4 cos 4B − a6 cos6B + a8 cos8B 2 0 0 4 6 8 2 4 2 6 8 4 4 6 8 6 8 6 8 8 3 5 35 2 8 16 128 15 7 2 2 32 16 3 7 8 16 32 32 16 128 m a m m m m m m a m m m a m m m m a m a = + + + + = + + + = + + = + = ( ) 2 0 2 2 0 2 4 2 2 6 4 2 8 6 1 3 2 5 4 7 6 9 8 m a e m e m m e m m e m m e m = − = = = = 8 8 0.00003 8 1024 a m = m
X克=111134.861B°-16036.480sin2B+16.828sin4B-0.022sin6B X195=111133.005B°-16038.528sin2B+16.833sin4B-0.022sin6B (1)将B=90代入便可得到子午椭圆在一个象限内的弧长约为 10002137m,整个子午圈长约为40008549.995m (2)同一子午圈上两个纬度为B1,B2的点之间的弧长计算： ①△X=X2-X1,其中X为赤道至纬度为B的点之间的弧长；X2为 赤道至纬度为B2的点之间的弧长。 ②AX=Xa=∫MdB=al-e2)川(l-e2sim2B)”dB兰 级数展开、逐项积分
( ) ( ) 2 2 1 1 3 2 2 2 2 12 1 1 sin B B B B X X MdB a e e B dB − = = = − − （1）将B=900代入便可得到子午椭圆在一个象限内的弧长约为 10002137m,整个子午圈长约为40008549.995m 级数展开、逐项积分 （2）同一子午圈上两个纬度为B1，B2的点之间的弧长计算: ① △X=X2 -X1，其中X1为赤道至纬度为B1的点之间的弧长； X2为 赤道至纬度为B2的点之间的弧长。 ② X B B B B = − + − 111134.861 16036.480sin2 16.828sin4 0.022sin 6 克 1975 X B B B B = − + − 111133.005 16038.528sin 2 16.833sin 4 0.022sin 6
③将△X展开为△B=B2-B1的级数： (x-x) 泰勒级数 n! r=Xx-( △B2 dB2 21 dB △B+. 在B1点上展开 31 由式X=MB在P,点处展开，得：X=x(B) d -M dB M=mo+msin2 B+masin B+m sin B+m sin8 B d2x dM dB2dB =m sin 2B+2m sin 2Bsin2 B+. sin2a =2sina cosa dx d'M cos2a=cos2a-sin2a dB dB2 =2m2c0s2B+ 4=Ma+f-0+a2jmg+m28号 B3 3
2 2 3 3 2 1 2 3 1 1 1 B 1! 2! 3! dX B d X B d X B X X X d dB dB = − = + + + X = X(B) ③将△X展开为△B=B2 -B1的级数： = B X MdB 由式 0 在P1点处展开，得： + 1 + + = + B 1! 2! 3! 3 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 B dB B d X dB B d X d dX X X ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ! n n n f x x x n = − ——泰勒级数 = = + = = + + = m B d B d M d B d X m B m B B d B d M d B d X M d B d X 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 sin 2 2 2 3 3 2 2 4 2 2 M m m B m B m B m B 8 8 6 6 4 4 2 0 2 = + sin + sin + sin + sin ( ) + + = + − + 3 cos 2 2 sin sin2 2 5 1 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 1 B B B X M B ae e e B B 2 2 sin 2 2sin cos cos2 cos sin = = − 在B1点上展开
aN=M+2a6-e+sir8jmg+s2g+ 对于小于400km的弧长，可采用如下简化式： 4Y=X2-X1= AB+ 4B3 8-g+R △B=B2-B, dB 24 dB3 代入相关数值得： 4=Mm4B1+ 对于小于40k的弧长，可进一步简化为： △X=MmAB
cos 2 8 1 2 2 = + B B e X Mm B m 对于小于400km的弧长，可采用如下简化式： 3 3 3 2 1 24 1 B dB d X B dB dX X X X m m + = − = ( ) 1 2 2 1 2 1 Bm = B + B B = B − B 代入相关数值得： 对于小于40km的弧长，可进一步简化为： X = Mm B ( ) + + = + − + 3 cos 2 2 sin sin2 2 5 1 1 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 1 B B B X M B ae e e B B
(3)由△X计算△B的反算公式： B=B(X) B2=B1+ 4r2 43 2 3 3 4B=B2-B1= dB AX 4X2 3 ax? 3 3 进而可得： 对于小段弧，则可用下式求△B: ∠X AB= Mm
（3）由△X计算△B的反算公式： ( ) + + + = − = + + + = + = X 1! 2! 3! X 1! 2! 3! 3 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 3 1 3 2 3 1 2 2 1 2 1 X dX X d B dX X d B d dB B B B X dX X d B dX X d B d dB B B B B X ( ) 1 3 1 2 1 1 2 2 2 3 cos 2 2 1 sin sin2 2 3 M X B e e B B B = = − + + Mm X B = 进而可得： 对于小段弧，则可用下式求△B ：