第二章逻辑代数 2.1辑变量和逻辑运算 二值逻辑变量用大写字母A、B、G…表示, 两种取值0和1,代表一对对立状态,例如开关的通 断。 √存在三种与二值变量有关的逻辑运算 “与”:只有决定事物结果的全部条件同时具备 (为真)时,结果才发生(为真)。 设A、B变量代表两开关通断,断为0,通为1。 Y变量代表灯亮与灭,灭为0,亮为1。 如图的电路连接则有逻辑关系为与。 与逻辑 A B ∝Y AB称输入变量,Y为输出变量。将所有可能的条 件(输入)组合及对应结果(输出)列的表,称为真 值表。由“与”表可以看出与算术乘运算相似:
第二章 逻辑代数 1 2．1 辑变量和逻辑运算 ✓ 二值逻辑变量用大写字母 A、B、C···表示， 两种取值 0 和 1，代表一对对立状态，例如开关的通 断。 ✓ 存在三种与二值变量有关的逻辑运算 “与” ：只有决定事物结果的全部条件同时具备 （为真）时，结果才发生（为真）。 设 A、B 变量代表两开关通断，断为 0，通为 1。 Y 变量代表灯亮与灭，灭为 0，亮为 1。 如图的电路连接则有逻辑关系为与。 AB 称输入变量，Y 为输出变量。将所有可能的条 件（输入）组合及对应结果（输出）列的表，称为真 值表。由“与”表可以看出与算术乘运算相似： A B + _ Y 与逻辑 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Y=A·B所以“与”称之逻辑乘。 “或”:在决定事物结果的诸条件中只要有任何 一个满足(为真),结果就会发生(为真)。类似有: 或逻辑 ABY B Y=A+B逻辑或 “非”:只要条件具备了(为真),结果便不会发生 (为伪)。而此条件不具备时,结果一定发生(为真)。 类似有: 4Y 非逻辑 Y=A逻辑反
Y＝A·B 所以“与”称之逻辑乘。 “或”：在决定事物结果的诸条件中只要有任何 一个满足（为真），结果就会发生（为真）。类似有： Y＝A+B 逻辑或 “非”：只要条件具备了（为真），结果便不会发生 （为伪）。而此条件不具备时，结果一定发生（为真）。 类似有： Y = A 逻辑反 + _ A B Y 或逻辑 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A + Y _ 非逻辑 A Y 0 1 1 0
2.2逻辑门 上述逻辑运算可用电子线路实现,称为门电路。电 路的输入、输出均为二值电压。 +E0(+5V) DB A H -E0(-5V) DB 正逻辑或门 正逻辑与门 非门 负逻辑与门 负逻辑或门 逻辑门的符号表示。 A 或门 B & 与门 B 非门 (a)常用符号 (b)美、日常用符号 (c)国标符号 与或逻辑门可多端输入
2.2 逻辑门 上述逻辑运算可用电子线路实现，称为门电路。电 路的输入、输出均为二值电压。 逻辑门的符号表示。 与或逻辑门可多端输入。 A B Y A B Y A Y A Y A B Y A B Y A Y 1 A B Y & A B Y 1 或门 与门 非门 (a)常用符号 (b)美、日常用符号 (c)国标符号 A B DA DB Y -E0(-5V) A B DA DB Y +E0(+5V) A Y R T 正逻辑或门 正逻辑与门 非门 负逻辑与门 负逻辑或门
2.3正、负逻辑 门电路输入、输出正逻辑负逻辑 高电平赋值逻辑“1” 或门 与门 低电平赋值逻辑“0”, 与门 或门 为正逻辑,反之为负逻与非门或非门 辑 或非门与非门 一般常用正逻辑。 异或门同或门 同一门电路对于 同或门异或门 正负逻辑功能不同, 2.4复合逻辑运算与常用逻辑门 用基本逻辑运算构成基本复合运算。 >与非 Y=4·B >或非 Y=A+B 与或非 Y=AB+CD 异或 Y=AB+AB=AOB >异或非(同或)Y=AB+AB=A°B 与基本复合逻辑运算对应逻辑门如下: 熟悉常用基本逻辑门的真值表及特点
2．3 正、负逻辑 门电路输入、输出 高电平赋值逻辑“1” 低电平赋值逻辑“0”， 为正逻辑，反之为负逻 辑。 一般常用正逻辑。 同一门电路对于 正负逻辑功能不同， 2．4 复合逻辑运算与常用逻辑门 用基本逻辑运算构成基本复合运算。 ➢ 与非 Y = A• B ➢ 或非 Y = A + B ➢ 与或非 Y = AB+CD ➢ 异或 Y = AB + AB = A⊕B ➢ 异或非（同或） Y = AB + AB = A• B 与基本复合逻辑运算对应逻辑门如下: 熟悉常用基本逻辑门的真值表及特点。 正逻辑 负逻辑 或门 与门 与门 或门 与非门 或非门 或非门 与非门 异或门 同或门 同或门 异或门
A 或非门 Y B A A 与非门 Y Y A 异或门 A B 异或非门 (a)常用符号 (b)美、日常用符号 (c)国标符号 2.5逻辑函数和逻辑表达式 逻辑表达式由逻辑变量、逻辑常数0与1、逻辑 运算符和括号构成。 用等号将一逻辑变量和逻辑表达式连接组成一 逻辑函数。其表示特定电路的逻辑功能。例七段数字 显示。 逻辑函数一般形式:Y=∫(Q1,Q2,…Qn) 例:y=(A+B)C
2．5 逻辑函数和逻辑表达式 逻辑表达式由逻辑变量、逻辑常数 0 与 1、逻辑 运算符和括号构成。 用等号将一逻辑变量和逻辑表达式连接组成一 逻辑函数。其表示特定电路的逻辑功能。例七段数字 显示。 逻辑函数一般形式： Y f (Q ,Q , Q ) = 1 2 n 例： Y = ( A+ B )•C 异或非门 异或门 (a)常用符号 (b)美、日常用符号 (c)国标符号 A B Y A B Y A B Y & 与非门 A B Y A B Y A B Y 1 或非门 A B Y A B Y A B Y =1 A B Y A B Y A B Y =
真值表 B C Y A000011 卡诺图 0 C0001|1110 0 0001 0 A B & C 逻辑图 逻辑函数有四种表示法:函数式,真值表,逻 辑图,卡诺图。 真值表用表格方式列出逻辑自变量所有组合情 况下的函数值。卡诺图是真值表的另一形式,便利化 简 逻辑图是用门电路互连执行逻辑表达式和真值 表的逻辑功能的逻辑电路。这种形式的逻辑电路称为
逻辑函数有四种表示法：函数式，真值表，逻 辑图，卡诺图。 真值表用表格方式列出逻辑自变量所有组合情 况下的函数值。卡诺图是真值表的另一形式，便利化 简。 逻辑图是用门电路互连执行逻辑表达式和真值 表的逻辑功能的逻辑电路。这种形式的逻辑电路称为 真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 卡诺图 B C A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 A B C Y 逻辑图 &
组合逻辑电路。与之对应是时序电路,其电路中有存 储器件。 不同表示法对应关系: 1.由函数式画逻辑图:用逻辑符号对应逻辑运算。 2.由逻辑图写函数式:由输入到输出列出对应逻辑符 号对应的逻辑运算。 3.由函数式列真值表:由输入变量所有取值求出对应 输出值。 4.由真值表写函数式:将所有Y=1项相加。 逻辑函数相等:如有F=G(A,A,……A),F2=H(A1 A,……A),对A,A2,……A任一组态,均有F1=F2, 则称两函数相等。 根据函数相等概念,函数相等则真值表同。反之 亦然。证明函数相等可对比真值表。 可以认为,一个逻辑函数仅有一个真值表,但可 存在不同形式的逻辑表达式。从而也对应着实现逻辑 函数的多种逻辑电路,显然,这些电路繁简不同。例 如,可用真值表证明函数Z=ABC+ABC+ABC与本 节中例Y=(4+B)C是同一函数。但要用门电路实现Z 函数则复杂的多
组合逻辑电路。与之对应是时序电路，其电路中有存 储器件。 不同表示法对应关系： 1．由函数式画逻辑图：用逻辑符号对应逻辑运算。 2．由逻辑图写函数式：由输入到输出列出对应逻辑符 号对应的逻辑运算。 3．由函数式列真值表：由输入变量所有取值求出对应 输出值。 4．由真值表写函数式：将所有 Y＝1 项相加。 逻辑函数相等：如有 F1= G(A1，A2，……An)，F2= H(A1， A2，……An)，对 A1，A2，……An任一组态，均有 F1＝F2， 则称两函数相等。 根据函数相等概念，函数相等则真值表同。反之 亦然。证明函数相等可对比真值表。 可以认为，一个逻辑函数仅有一个真值表，但可 存在不同形式的逻辑表达式。从而也对应着实现逻辑 函数的多种逻辑电路，显然，这些电路繁简不同。例 如，可用真值表证明函数 Z = ABC + ABC + ABC 与本 节中例 Y = ( A+ B )•C 是同一函数。但要用门电路实现 Z 函数则复杂的多
为使实现逻辑函数的电路尽量简单,应简化函数 的逻辑表达式,为此,要研究逻辑代数运算的规律 26逻辑(布尔)代数的基本定律和运算规则 逻辑代数基本公式。基本公式表。 前五行涉及单变量,后五行涉及两变量。左右两 栏有对偶关系。 基本公式均可用真值表验证。 基本公式除反演外运算规律与算术运算类似,但 反映的是逻辑关系,不是数量关系,等式两边不能移 项。 逻辑运算遵循三个基本规则: 1.代入规则。 A+B=A-B A+(D+ C 2.反演规则。摩根定理,多变量仍适用 “头上砍刀,十、×互换”。 Y=A(B+C)+CD Y=(A+BC)C+D) aC+ad+bc+ bcd aC+ad+Bc
为使实现逻辑函数的电路尽量简单，应简化函数 的逻辑表达式，为此，要研究逻辑代数运算的规律。 2.6 逻辑（布尔）代数的基本定律和运算规则 逻辑代数基本公式。基本公式表。 前五行涉及单变量，后五行涉及两变量。左右两 栏有对偶关系。 基本公式均可用真值表验证。 基本公式除反演外运算规律与算术运算类似,但 反映的是逻辑关系，不是数量关系，等式两边不能移 项。 逻辑运算遵循三个基本规则： 1. 代入规则。 2.反演规则。 摩根定理，多变量仍适用。 “头上砍刀，＋、×互换”。 A＋B = AB A + ( D + C ) = A ( D + C ) = A D C Y = A(B + C) + CD AC AD BC AC AD BC BCD Y A BC C D = + + = + + + = ( + )( + )
逻辑代数基本公式 序号公式 序号公式 运算规律 10 对合律 1·A=A 0+A=A 0—1律 1+A=1 A·A=A A+A=A 重叠律 A·A=0 A+A=1 互补律 5 A·B=B·A 15A+B=B+A 交换律 A·(B·C)=(A·B)·C 16+(B+C)=(A+B)+C结合律 A.(B+C)=A·B+AC17A+BC=(+B)·(A+C)分配律 A·B=A+B A+B=A·B 反演律 A+A·B=4 19A(4+B)=A 吸收律 逻辑代数常用公式 序号 公式 20 A+A B=a+ B A(A+B)=AB AB+AB=A (A+B)(A+B)=A 22 A·B+AC+B.C=A.B+A·C A·B+A.C+B·C.D=A.B+A.C A·B+A·B=A·B+A·B A⊕B=A·B
逻辑代数基本公式 序 号 公 式 序 号 公 式 运算规律 1 0 A = A 对合律 1 1 A＝A 1 1 0＋A＝A 2 0 A＝0 1 2 1＋A＝1 0－1律 3 A A＝A 1 3 A＋A＝A 重叠律 4 A A＝0 1 4 A＋ A ＝1 互补律 5 A B＝B A 1 5 A＋B＝B＋A 交换律 6 A(B C) = (A B) C 1 6 A + (B + C) = (A + B) + C 结合律 7 A(B + C) = A B + AC 1 7 A + B C = (A + B) (A + C) 分配律 8 A B = A + B 1 8 A + B = A B 反演律 9 A+AB=A 1 9 A(A+B)=A 吸收律 逻辑代数常用公式 序号 公式 20 A( A B ) A B A A B A B + = + ＝ + 21 ( A B )( A B ) A AB AB A + + = + ＝ 22 A B A C B C D A B A C A B A C B C A B A C + + + + + + ＝ ＝ 23 A B + A B＝A B + A B A⊕B = A• B
3.对偶规则。等式的对偶式也相等。 “十、×、0、1互换。” 例: A+ BC=(A+ B)(A+C) 左式对偶为:A(B+C) 右式对偶为:AB+AC 有等式:A(B+C)=AB+AC 根据逻辑基本公式和运算规则可推论出常用公 式(表)。 函数求补: 1.摩根定理 2.对偶法。先对偶,后每变量补。 2.7逻辑函数的代数法化简 为使逻辑电路简单,需对逻辑函数化简。 化简一般指最简与或表达式,即积项数和积中变 量数最少。 化简方法常用: 并项法AB+AB=A 吸收法A+AB=A 消项法AB+AC+BC=AB+AC 消因子法A+AB=A+B 配项法A+A=AA+A=1
3．对偶规则。 等式的对偶式也相等。 “＋、×、0、1 互换。” 例： A+ BC = ( A+ B )( A+C ) 左式对偶为： A( B + C ) 右式对偶为： AB+ AC 有等式： A( B + C ) ＝ AB+ AC 根据逻辑基本公式和运算规则可推论出常用公 式(表)。 函数求补： 1． 摩根定理 2． 对偶法。先对偶，后每变量补。 2.7 逻辑函数的代数法化简 为使逻辑电路简单，需对逻辑函数化简。 化简一般指最简与或表达式，即积项数和积中变 量数最少。 化简方法常用： 并项法 AB + AB = A 吸收法 A+ AB = A 消项法 AB + AC + BC = AB + AC 消因子法 A+ AB = A+ B 配项法 A+ A = A; A+ A =1