第二章逻辑代数2 2.8逻辑函数的标准形式 积项(与项):逻辑变量只进行与运算。 和项(或项):逻辑变量只进行或运算。 最小项: 逻辑函数表达式中包含全部输入变量的积项称 为最小项。在最小项中,每个输入变量以原变量或反 变量的出现,且仅出现一次。 逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最小项。 并表示为:m m表示最小项,为其编号,值为对应十进数值。 n变量函数有2个最小项。 输入变量的所有组态中必有且只有一组态使该 积项为1,其它组态均使该积项为0,故称之最小项。 例三变量最小项表。 三变量最小项 最小项。〖最小项为1时,输入变量的值」十进制数。m ABC ABC ABC 0000 mmmm A BC ABC B001100 C ABC AB C 1010101 456 mmm
第二章 逻辑代数 2 2.8 逻辑函数的标准形式 积项（与项）：逻辑变量只进行与运算。 和项（或项）：逻辑变量只进行或运算。 最小项： 逻辑函数表达式中包含全部输入变量的积项称 为最小项。在最小项中，每个输入变量以原变量或反 变量的出现，且仅出现一次。 逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最小项。 并表示为：mi。 m 表示最小项，i 为其编号，值为对应十进数值。 n 变量函数有 2 n个最小项。 输入变量的所有组态中必有且只有一组态使该 积项为 1，其它组态均使该积项为 0，故称之最小项。 例三变量最小项表。 三变量最小项 最小项 最小项为 1 时，输入变量的值 A B C 十进制数 i m i A B C 0 0 0 0 m 0 A B C 0 0 1 1 m 1 A B C 0 1 0 2 m 2 A B C 0 1 1 3 m 3 A B C 1 0 0 4 m 4 A B C 1 0 1 5 m 5 A B C 1 1 0 6 m 6 ABC 1 1 1 7 m 7
任一逻辑函数均可变换为唯一的最小项之和表 达式,称之为标准与一或表达式。 由原表达式转换标准与一或表达式: (在积项中添所缺变量的原与反之和,再利用乘 分配) Y=AB+ BC+ ABC AB(C+C)+(A+A)BC+ ABC ABC+ABC +ABC +aBC+ABC =m3+m2+m12+m3+m4 ∑m(2,4,7) ●由真值表转换标准与一或表达式 (将变量取值使函数值为1所对应最小项求和) XYZ 000 00 010 011 100 01 00101 111 0 F=XYZ+XYZ+XYZ+XZ mo+m2 +ms +m, m(O,2,5,7) >m(1,3,4,6)
任一逻辑函数均可变换为唯一的最小项之和表 达式，称之为标准与－或表达式。 ⚫ 由原表达式转换标准与－或表达式： (在积项中添所缺变量的原与反之和，再利用乘 分配) ⚫ 由真值表转换标准与－或表达式： （将变量取值使函数值为 1 所对应最小项求和） X Y Z F F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 F = XY Z + XY Z + XYZ + XYZ = m0 + m2 + m5 + m7 =∑m(0,2,5,7 ) F =∑m(1,3,4,6 ) =∑ 2 3 4 7 = + + + + = + + + + = + + + + = + + 3 2 7 3 4 m( , , , ) m m m m m ABC ABC ABC ABC ABC AB(C C ) ( A A )BC ABC Y AB BC ABC
最大项: 逻辑函数表达式中包含全部输入变量的和项称 为最大项。在最大项中,每个输入变量以原变量或反 变量的出现,且仅出现一次。 逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最大项。 并表示为:M M表示最大项,i为其编号,值为对应十进数值。 n变量函数有2个最大项。 输入变量的所有组态中必有且只有一组使该和 项为0,其它组态均使其为1,故称之最大项 例:三变量最大项表。 三变量最大项 最大项最大项为0时,输入变量的值十进制数 B 「A+B+C A+B+ A+B+C A0000 0 Mo M M2 A+B+C M3 A+B+O 0 A+B+C C0101010 1234567 M M A+B+C M6 「A+B+C M 任一逻辑函数均可变换为唯一的最大项之积表 达式,称之为标准或一与表达式
最大项： 逻辑函数表达式中包含全部输入变量的和项称 为最大项。在最大项中，每个输入变量以原变量或反 变量的出现，且仅出现一次。 逻辑函数输入变量的所有组态均对应一最大项。 并表示为：Mi。 M 表示最大项，i 为其编号，值为对应十进数值。 n 变量函数有 2 n个最大项。 输入变量的所有组态中必有且只有一组使该和 项为 0，其它组态均使其为 1，故称之最大项。 例：三变量最大项表。 任一逻辑函数均可变换为唯一的最大项之积表 达式，称之为标准或－与表达式。 三变量最大项 最大项 最大项为 0 时，输入变量的值 A B C 十进制数 i Mi A＋B＋C 0 0 0 0 M0 A＋B＋C 0 0 1 1 M1 A＋B＋C 0 1 0 2 M2 A＋B＋C 0 1 1 3 M3 A＋B＋C 1 0 0 4 M4 A＋B＋C 1 0 1 5 M5 A＋B＋C 1 1 0 6 M6 A＋B＋C 1 1 1 7 M7
●由原表达式转换标准或一与表达式: (在和项中添所缺变量原反变量之积,再利用加 分配 Y=(A+B) (A+B+C) (A+B+C·C)·(A+B+C) (A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =MMM ∏M(0,1,4) ●由真值表转换标准或一与表达式 (将变量取值使函数值为0所对应最达项求积) 上述真值表(2页)用最大项表示: =IIM(1,3,4,6) 最小项与最大项之关系和性质: 1.互补 M=m,M,=A+B+C=AB·C=m m=M,,m,=A·B·C=A·BC=A+B+C=M, 2.如有r=∑m23,7),则F=M(2347) 3.如有r=∑m234),则r=1Mo6) 4.全体最小项之和为1 全体最大项之积为1
⚫ 由原表达式转换标准或－与表达式： （在和项中添所缺变量原反变量之积，再利用加 分配） ⚫ 由真值表转换标准或－与表达式： （将变量取值使函数值为 0 所对应最达项求积） 上述真值表（2 页）用最大项表示： Y =∏M(1,3,4,6 ) 最小项与最大项之关系和性质： 1．互补 Mi = mi ， 7 = 7 M = A+ B +C = A• B•C m m7 = M7 ， 7 = + + = 7 m = A• B •C = A• B •C A B C M 2． 如有 F =∑m( 2,3,4,7 ) ，则 F =∏M( 2,3,4,7 ) 。 3． 如有 F =∑m( 2,3,4,7 ) ，则 F =∏M(0,1,5,6 ) 。 4． 全体最小项之和为 1。 全体最大项之积为 1。 (0,1,4) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 4 M M M M A B C A B C A B C A B C C A B C Y A B A B C = = = + + + + + + = + + + + = + + +
5.任意两最小项之积为0。(必有一项为0) 任意两最大项之和为1。(必有一项为1) 6.有一个变量不同的两最小项之和可合并为只 有相同变量积的一项。(反积分配) A·B·C+A·B·C=A·B(C+C 只有一个变量不同的两最大项之积可合并为 只有相同变量和。(反和分配) (A+B+C(A+B+C)=(A+B)+CC 2.9逻辑函数的卡诺图法化简 代数法化简需熟练技巧,不易判断最简。卡诺图 法规范,快捷,易达最简,但适用不多于五变量函数。 函数最简:表达式的项数最少,且每项中变量字 母也最少。最简函数不是唯一的。 最简函数可用两级与或电路实现。用门最少。 积和表达式的卡诺图化简: 化简原理和卡诺图构成。 如函数表达式中存在只有一变量不同的两积项, 则可合并为消掉这不同变量的一项。例: ABC ABC=AB(C+C)=AB
5. 任意两最小项之积为 0。（必有一项为 0） 任意两最大项之和为 1。（必有一项为 1） 6． 有一个变量不同的两最小项之和可合并为只 有相同变量积的一项。（反积分配） A• B•C + A• B•C = A• B(C +C) 只有一个变量不同的两最大项之积可合并为 只有相同变量和。（反和分配） (A+ B +C)(A+ B +C) = (A+ B) +C •C 2.9 逻辑函数的卡诺图法化简 代数法化简需熟练技巧，不易判断最简。卡诺图 法规范，快捷，易达最简，但适用不多于五变量函数。 函数最简：表达式的项数最少，且每项中变量字 母也最少。最简函数不是唯一的。 最简函数可用两级与或电路实现。用门最少。 积和表达式的卡诺图化简： 化简原理和卡诺图构成。 如函数表达式中存在只有一变量不同的两积项， 则可合并为消掉这不同变量的一项。例： ABC + ABC = AB(C + C ) = AB
卡诺图列示了对应输入变量所有组态的最小项 框架,行列标记为格雷码顺序,相邻最小项之间只有 一变量不同。下面分别为二、三、四、五变量卡诺图。 0 mo(AB) m(AB) 1|m2(AB)m3(AB) BC|00 0 Ino m m m ABC ABC A BC ABc m m m m (ABC)(ABC)(ABC)I(ABC) CD000111|10 AB 00 Imi Im3 Im7 11 m m m15 m14 10 m Imo m11 m
卡诺图列示了对应输入变量所有组态的最小项 框架，行列标记为格雷码顺序，相邻最小项之间只有 一变量不同。下面分别为二、三、四、五变量卡诺图。 B A 0 1 0 m0( AB ) m1( AB) 1 m2( AB ) m3( AB) BC A 0 0 0 1 1 1 1 0 0 m0 ( ABC ) m1 ( ABC ) m3 ( AB C) m2 ( ABC ) 1 m4 ( ABC ) m5 ( ABC) m7 ( ABC) m6 ( ABC ) CD A B 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 m0 m1 m3 m2 0 1 m4 m5 m7 m6 1 1 m1 2 m1 3 m1 5 m1 4 1 0 m8 m9 m1 1 m1 0
卡诺图中方格对应的最小项如在函数的标准形 式中出现,或在真值表函数值为1,则在方格中填1, 否则填0,得函数的卡诺图表示。 卡诺图化简: 2有1方格相邻,2合1,消1个不同变量 4有1方格相邻,4合1,消2个不同变量。 8有1方格相邻,8合1,消3个不同变量。 例 YZ X 00011110 00011110 0 0 F=∑1,2,3,5,7)=z+XY F=∑(0,2,4,6)=z N200|011110 AB CD 00011110 001 00 01 01 101 1011 F=y+wZ+XZ F=ABCD+ ABC +aBc +CD+ bd+AD
卡诺图中方格对应的最小项如在函数的标准形 式中出现，或在真值表函数值为 1，则在方格中填 1， 否则填 0，得函数的卡诺图表示。 卡诺图化简： 2 有 1 方格相邻，2 合 1，消 1 个不同变量。 4 有 1 方格相邻，4 合 1，消 2 个不同变量。 8 有 1 方格相邻，8 合 1，消 3 个不同变量。 例: F =∑(1,2,3,5,7 ) = Z + XY F =∑( 0,2,4,6 ) = Z F = Y +W Z + XZ F = ABCD + ABC + ABC +CD + BD + AD YZ X 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 1 YZ X 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 YZ WX 00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 1 1 11 1 1 1 10 1 1 AB CD 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 10 1
随意项:实际中,输入组态不出现,不允许出现, 不介意出现。用“×”表示。可视为0或1。 带有随意项卡诺图的化简。 00011110 00011110 00x11× 00×1 010× 010× 110 000 1100‖1 ×000 100 00 1000 F=CD+AB F=CD+AD 积和逻辑函数表达式的化简步骤 1.填图。 非标准逻辑表达式转换为标准形式后填图。 观察法直接填图。 最小项对应变量值代入求函数值填图。 2.画圈。 圈出所有最大方格群,包括孤立1格。(主要 项,本原蕴含项 3.选圈写表达式。 圈最少,覆盖所有1格。 多余项。没有多余项不一定最简。最简不 定唯一
随意项：实际中，输入组态不出现，不允许出现， 不介意出现。用“×”表示。可视为 0 或 1。 带有随意项卡诺图的化简。 F = CD+ AB F = CD + AD 积和逻辑函数表达式的化简步骤： 1． 填图。 ➢ 非标准逻辑表达式转换为标准形式后填图。 ➢ 观察法直接填图。 ➢ 最小项对应变量值代入求函数值填图。 2． 画圈。 圈出所有最大方格群，包括孤立 1 格。（主要 项，本原蕴含项） 3． 选圈写表达式。 圈最少，覆盖所有 1 格。 多余项。没有多余项不一定最简。最简不一 定唯一。 CD AB 00 01 11 10 00 × 1 1 × 01 0 × 1 0 11 0 0 1 0 10 0 0 1 0 CD AB 00 01 11 10 00 × 1 1 × 01 0 × 1 0 11 0 0 1 0 10 0 0 1 0
例:化简下面卡诺图。 00011110 00 01 101 多个结果F=ad+bd+ab+bc F=abd +bd+ab+cd+ac 逻辑函数简化为或与(和积)形式。 例: cd 00011110 001001 0101 0 111101 101001 先圈0,求反函数积或表达式,再反演得或与表 达式
例：化简下面卡诺图。 多个结果 F = abd +bd +ab +bc F = abd +bd +ab +cd +ac 逻辑函数简化为或与（和积）形式。 例： 先圈 0，求反函数积或表达式，再反演得或与表 达式。 ab cd 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 1 1 1 10 1 1 1 1 ab cd 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 0 1 1 0 11 1 1 0 1 10 1 0 0 1
F=bd+ bcd+abc F=(b+d)(b+c+d)a+b+c) 多自变量逻辑函数的化简有Q-M算法,可用计 算机辅助计算
F = bd + bcd +abc F = ( b + d )( b + c + d )( a + b + c ) 多自变量逻辑函数的化简有 Q－M 算法，可用计 算机辅助计算