第二章流体静力学 贵源与环境工程学院
资源与环境工程学院 第二章 流体静力学
本章主要内容 。 本章核心问题：研究流体静止时的平衡规律，根据平衡条件， 确定静止流体中压强分布规律和静止流体对各种固体壁面的作 用力。 ·静止包括两种情况：绝对静止，相对于地球没有运动；相对静 止，相对于容器或流体各质点之间彼此没有相对运动。 >本章主要内容： 2.1静止流体上的作用力 2.2流体的平衡微分方程及其积分 2.3流体静力学基本方程 2.4流体静压强的测量 2.5静止流体对平面壁的作用力 2.6静止流体对曲面壁的作用力 g 资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 本章主要内容 • 本章核心问题：研究流体静止时的平衡规律，根据平衡条件， 确定静止流体中压强分布规律和静止流体对各种固体壁面的作 用力。 • 静止包括两种情况：绝对静止，相对于地球没有运动；相对静 止，相对于容器或流体各质点之间彼此没有相对运动。 ➢ 本章主要内容： 2.1 静止流体上的作用力 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 2.3 流体静力学基本方程 2.4 流体静压强的测量 2.5 静止流体对平面壁的作用力 2.6 静止流体对曲面壁的作用力
2.1静止流体上的作用力 作用在流体微团上的力可分为两种： △FR >质量力：与流体微团质量大小有关，并且 集中作用在微团质量中心上的力。包括： 重力△G=△m·g 直线运动惯性力△F=△m:a 1△G 离心惯性力△FR=△rw2 。 这些力的矢量和用4Fm表示，则 F,m△m'am=△(Xi+巧+Zk ·若微团极限缩为一点，即△V→0，则 dFm=dmam=dm (Xi+Yj+Zk) 其中，am为质量力加速度，也即各质量力加速度的矢量和。X、Y、 Z为何意义？ 贵源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 作用在流体微团上的力可分为两种： ➢ 质量力：与流体微团质量大小有关，并且 集中作用在微团质量中心上的力。包括： 重力ΔG= Δm ·g 直线运动惯性力Δ F= Δm·a 离心惯性力ΔFR= Δm·rω2 • 这些力的矢量和用ΔFm表示，则 ΔFm = Δm·am = Δm·(Xi+Yj+Zk) • 若微团极限缩为一点，即ΔV →0，则 dFm = dm·am = dm·(Xi+Yj+Zk) 其中，am为质量力加速度，也即各质量力加速度的矢量和。X、Y、 Z为何意义？
2.1静止流体上的作用力 由dF=△mam=△mXi+巧+Zk)可推得： (1)Mm=Xi+巧+Zk 此时，X、Y、Z可理解为质量力加速度在各轴的投影或加速度 在x,z方向的分量。 (2)(FJ△m=Xi+巧+Zk Fm/△m为单位质量的质量力，简称单位质量力。那么X、Y、 Z可理解为单位质量力在各轴的投影或单位质量力在x,y,z方向 的分量。 资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 由ΔFm = Δm·am = Δm·(Xi+Yj+Zk)可推得： （1） am = Xi+Yj+Zk 此时，X、Y、Z可理解为质量力加速度在各轴的投影或加速度 在x,y,z方向的分量。 （2）( ΔFm/ Δm)= Xi+Yj+Zk ΔFm/ Δm为单位质量的质量力，简称单位质量力。那么X、Y、 Z可理解为单位质量力在各轴的投影或单位质量力在x,y,z方向 的分量
2.1静止流体上的作用力 >表面力：大小与流体表面积有关并且分布作用在流体表面上的 力，它是相邻流体或固体作用于流体表面上的力。 ·表面力按其作用方向可分为两种： 一种是沿表面切向的摩擦力。由于静止流体不表现出粘性，所 以在静止流体内部不存在切向摩擦力； 一种是沿受压表面内法线方向的压力，称为流体静压力。 △FR △ △G 贵源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 ➢ 表面力：大小与流体表面积有关并且分布作用在流体表面上的 力，它是相邻流体或固体作用于流体表面上的力。 • 表面力按其作用方向可分为两种： • 一种是沿表面切向的摩擦力。由于静止流体不表现出粘性，所 以在静止流体内部不存在切向摩擦力； • 一种是沿受压表面内法线方向的压力，称为流体静压力
2.1静止流体上的作用力 >液体静压强的数学表述： 。 设作用于流体微团上的总压力为P,即流体静压力为P,则A面 积上的平均应力为P/A,称为受压面上的平均流体静压强。 。 当A→0时，流体微团成为一个流体质点，则平均流体静压强的极 限称为流体某一点的流体静压强： △PdP p=lim AA-→0△AdA N/m简称Pa 流体静压强是一个标量，没有方向性。静止流体中任意点的静压强 值仅由该点的坐标位置决定，而与该点静压力的作用方向无关。可 有如下证明。 I△G 资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 ➢ 液体静压强的数学表述： • 设作用于流体微团上的总压力为ΔP，即流体静压力为ΔP，则ΔA面 积上的平均应力为ΔP/ ΔA，称为受压面上的平均流体静压强。 • 当ΔA→0时，流体微团成为一个流体质点，则平均流体静压强的极 限称为流体某一点的流体静压强： • 流体静压强是一个标量，没有方向性。静止流体中任意点的静压强 值仅由该点的坐标位置决定，而与该点静压力的作用方向无关。可 有如下证明。 0 lim A P dP p → A dA = = N/m2简称Pa
2.1静止流体上的作用力 流体静力学分析思路： (1)取研究对象（微元体）。取一部分（微元体)作为研究对 象。建立坐标系。 (2)对所选取的微元体进行受力分析。包括质量力和表面力。 (3)建立平衡方程，导出关系式。 (4)得出结论。 贵源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 流体静力学分析思路： （1）取研究对象（微元体）。取一部分（微元体）作为研究对 象。建立坐标系。 （2）对所选取的微元体进行受力分析。包括质量力和表面力。 （3）建立平衡方程，导出关系式。 （4）得出结论
2.1静止流体上的作用力 如图，在静止流体中的点M化，y,)处取一微元四面体，其在x,y,z轴的 边长分别为dc,dy,dz。斜面外法线方向的单位矢量为，各个面的面积 分别为dA,dA,dA,符号的下标表示该面的法线方向)。微元四面体斜 面dAn的法线与xy,z轴的方向余弦分别为cos(n,cos(,以，cos(,)。 。作用在微元四面体上的力有： 2 (1)表面力。设微元四面体各面上任意点的 压强分别为DxPyPzPn, 则各面上的表面力为： Px-p dAx=1/2-p dydz Py=-P,dAy=1/2-P,dxdz P:-P:dA:=1/2p.dxdy Pn-PndAn Pn在xy,z轴方向的投影分别为P cos(n,x,Pcos(,y以，P cos(,)。 Pncos(n,x)=pndAncos(n,x)=pndAx=1/2-pndydz;(Ancosn(n,x)=A=AO'C) 同理：Pncos(,y以=PndAy Pnc0s(n,=PndA 资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 如图，在静止流体中的点M(x,y,z)处取一微元四面体，其在x,y,z轴的 边长分别为dx,dy,dz。斜面外法线方向的单位矢量为n，各个面的面积 分别为dAx ,dAy ,dAz (符号的下标表示该面的法线方向)。微元四面体斜 面dAn的法线与x,y,z轴的方向余弦分别为cos(n,x), cos(n,y), cos(n,z)。 • 作用在微元四面体上的力有： （1）表面力。设微元四面体各面上任意点的 压强分别为px ,py ,pz ,pn，则各面上的表面力为： Px =pxdAx =1/2·pxdydz Py=pydAy=1/2·pydxdz Pz=pzdAz=1/2·pzdxdy Pn=pndAn Pn在x,y,z轴方向的投影分别为Pncos(n,x),Pncos(n,y),Pncos(n,z)。 Pncos(n,x)=pndAncos(n,x)=pndAx =1/2·pndydz; (Ancosn(n,x)=Ax =面积AO′ C) 同理：Pncos(n,y)= pndAy ; Pncos(n,z)= pndAz ;
2.1静止流体上的作用力 (2)质量力。作用在微元四面体上的质量力在各坐标轴方向的分量为 F,F,F2。设流体密度为p,则 Fx=Am X=p1/6dxdydz X=(1/6)pdxdydzX Fy=(1/6)pdxdydzX;Fz=(1/6)pdxdydzZ; 流体处于平衡状态，则∑F=0,所以有： Px-P cos(n,x)+F=0 即：(I/2)pdydz-(I/2)pndydz+(I/6)pdxdydzX=0 →0；少→0；k→0；所以第三项是前两项的高阶无穷小，可以忽略 不计。所以pxpn。同理pPmP2Pn 。 当微元四面体的边长趋近于零时，P~PP,Pm就是作用在M点各个方 向的压强。 上式表明：流体中某一点任意方向的静压强是相等的，是位置坐标 的连续函数，即p=pK,)。 贵源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 （2）质量力。作用在微元四面体上的质量力在各坐标轴方向的分量为 Fx ,Fy ,Fz。设流体密度为ρ，则 Fx= Δm ·X= ρ ·1/6 ·dxdydz ·X=(1/6) ρdxdydzX Fy= (1/6)ρdxdydzX; Fz=(1/6)ρdxdydzZ; 流体处于平衡状态，则∑F=0，所以有： Px -Pncos(n,x)+Fx=0 即：(1/2)pxdydz- (1/2)pndydz+(1/6) ρdxdydzX=0 dx →0;dy →0;dz →0;所以第三项是前两项的高阶无穷小，可以忽略 不计。所以px=pn。同理py=pn , pz=pn。 • 当微元四面体的边长趋近于零时，px , py , pz , pn就是作用在M点各个方 向的压强。 • 上式表明：流体中某一点任意方向的静压强是相等的，是位置坐标 的连续函数，即p=p(x,y,z)
2.2流体的平衡微分方程及其积分 2.2.1欧拉平衡微分方程 如图，平衡流体中取微元六面体abdcc'd'b'a',边长分别为dc, ,k,形心点为Mky,),该点压强为p(k,y,2),作用在六面 体上的力有： (1)表面力 p-2 op dx 流体压强是位置坐标的连续函数，沿 M 2 0x x方向作用在ad面和a'd'面得压强可用 泰勒级数展开并略去二阶以上无穷小量。 ·ac面压强为 1op dx ·'c面压强为 2 8x p+ 1 op dx 2 0x 贵源与环境工程学院 】
资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 • 2.2.1 欧拉平衡微分方程 • 如图，平衡流体中取微元六面体abdcc'd'b'a'，边长分别为dx， dy，dz，形心点为M(x,y,z)，该点压强为p(x,y,z)，作用在六面 体上的力有： （1）表面力 流体压强是位置坐标的连续函数，沿 x方向作用在ad面和a'd'面得压强可用 泰勒级数展开并略去二阶以上无穷小量。 • ac面压强为 • a' c'面压强为 O z dz dx z y x y x dy M a b c d a' b' c' d' 1 2 p p dx x − 1 2 p p dx x + 1 2 p p dx x − 1 2 p p dx x +