《弹性力学》课程教学资源（习题与解答）徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版——全部章节课后答案详解.doc_大学文库

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各向异性体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定：非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各向异性体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体：一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【13】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】(1)连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分

1 弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各向异性体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各向异性体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移和变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于 1。这样在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以方便的用变形以前的尺寸来代替变形以后的尺寸。在考察物体的位移与形变的关系时，它们的二次幂或乘积相对于其本身都可以略去不计，使得弹性力学中的微分

4 第二章平面问题的基本理论【2-1】试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中(图 2-14)其应力状态接近于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中，可以认为在该薄层的上下表面都无面力，且在薄层内所有各点都有 = = = 0    z xz yz ，只存在平面应力分量 , ,  x y xy ，且它们不沿 z 方向变化，仅为 x，y 的函数。可以认为此问题是平面应力问题。【2-2】试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15），当板边上只受 x，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。【解答】板上处处受法向约束时 0 z  = ，且不受切向面力作用，则 0 xz yz   = = (相应 0 zx zy   = = )板边上只受 x，y 向的面力或约束，所以仅存在 , , x y xy    ，且不沿厚度变化，仅为 x，y 的函数，故其应变状态接近于平面应变的情况。【2-3】在图 2-3 的微分体中，若将对形心的力矩平很条件 M 0 C = 改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件 M 0 C = ，改为分别对四个角点 A、B、D、E 的平衡条件，为计算方便，在 z 方向的尺寸取为单位 1。 0 MA = 1 ( ) 1 ( ) 1 1 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 1 1 0 2 2 2 x xy y x xy y y yx y yx x x dx dy dy dx dx dy dx dy dx dy x x dx dy dx dy dx dy dx dy f dxdy f dxdy y y               + +   − +   −       − +   + +   +   −   =   (a) 0 MB = ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 x yx y x yx y xy x y x y dy dx dx dy dy dx dy dy dx x y y dy dx dy dx dy dx dy dx f dxdy f dxdy             +   + +   + +      −   −   −   +   +   = (b) O z y

6 ( )  = +  x x D x dx x    ； ( )  = +  x y D y dx x    ( )   = + +    x x x C x dx y x y     ； ( )   = + +    y y y C y dx y x y     各点切应力： ( ) xy A xy   = ； ( ) yx A yx   = ( )  = +  xy xy B xy dy y    ； ( )  = +  yx yx A yx dy y    ( ) xy xy D xy dx x     = +  ； ( )  = +  yx yx D yx dx x    ( ) xy xy xy C xy dx dy x y       = + +   ； ( )   = + +   yx yx yx C yx dx dy x y     由微分单元体的平衡条件 0,  = F x 0,  = F y 得 1 1 2 2 1 1 + 2 2 x x x x x x x x yx yx yx yx yx yx yx yx dy dy dx dx dy dy y x x y y dx dx dy dx dy x y x y                                          − + + + + + + + −                                                         + + + + + +                       0 x dx f dxdy       + =   1 1 2 2 1 1 + + + 2 2 y y y y y y y y xy xy xy xy xy xy xy xy dx dx dy dx dy dx x y x y dy dy dx dy dx y x y x                                           − + + + + + + + −                                                         + + + +                       0 y dy f dxdy       + =   以上二式分别展开并约简，再分别除以 dxdy ，就得到平面问题中的平衡微分方程： 0; 0 x yx y xy x y f f x y y x        + + = + + =     【分析】由本题可以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。【2-5】在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。 (2)在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件

7 【思考题】平面问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？【2-6】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形大。试根据相应的物理方程来解释这种现象。【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。由物理方程可以看出，两类平面问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于 E 为 GPa 级别的量，而泊松比  取值一般在（0，0.5），故主要控制参数为含有弹性模量的系数项，比较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数 1/ E 要大于平面应变问题的系数 ( ) 2 1 / −  E 。因此，平面应力问题情况下应变要大，故钢圆环变形大。【2-7】在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对于不同材料的问题和两类平面问题的应力分量  x ， y 和 xy  均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？【解答】(1)应力分量：两类平面问题的应力分量  x ， y 和 xy  均相同，但平面应力问题 0    z yz xz = = = ，而平面应变问题的       xz yz z x y = = = + 0, ( ) 。（2）应变分量：已知应力分量求应变分量需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量 0, xz yz xy    = = 相同，而 , , x y z    不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分来求解，故位移分量对于两类平面问题也不同。【2-8】在图 2-16 中，试导出无面力作用时 AB 边界上的 xy , ,    x y 之间的关系式【解答】由题可得： ( ) ( ) ( ) cos , cos 90 sin 0, 0 x y l m f AB f AB = = − =    = = 将以上条件代入公式（2-15），得： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cos sin 0, sin ( ) cos 0 ( ) tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y AB AB              + = + =  = − = x y O  y  x xy  n  g 图2-16 B A