1:诚信应老考试作障格带来产后果！华南理工大学2011年期未考试试卷（A）卷::..《弹性力学》2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5分）解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解：注意事项：1.老前请将密时线内各项信息填写询范法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解2.所有客案请直换客在答题能上：43.号试形式：阳卷的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考患上述条件，因而得出的是近:4.本试誉共三大题，携分100分，考试时间120分钟似解答。例如，材料力学申引用了平面假设而简化了儿何关系，但这个假设对一般的架是近似+++++邢号二三总分的。所以，严格来说，不成立。1得分评誉人"3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15）.而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主亦拿一、简客题（共20分）失量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材申式1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？（10分）（2-15)，将会发生什么间题？（5分）答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续雨数来表示他们的变化规律。到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物鲜体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主失、主矩均相同），只影响近处(2分)&的应力分布，对选处的应力影响可以急略不计，如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应格:2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使不院间题的解答具有的近似性。亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。(4分)内83、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此。2:反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比H等）就不随位置坐标面变化。福:国三、计算题（80分）-:(6分:4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步2.1已知薄板有下列形变关系：6=Axy,6=ByY=C-Dy2式中A,BC,D告为常数，地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。(8分试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。（10分）11:D5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照1、相容条件：吾斋原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次或乘将形变分量带入形变协调方程（相容方程）积略去不计，使得弹性力学申的微分方程都简化为线性微分方程。oYaa8o81在上述假定下，弹性力学问题都化为线性间题，从面可以应用叠加原理。(10分）+ax2ay2aroy.o....*+2《养性力单》试物第1真共6真:
《弹性力学》试卷第 1 页 共 6 页 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学 2011 年期末考试试卷（A）卷 《弹性力学》 注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在答题纸上； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共三大题，满分 100 分， 考试时间 120 分钟。 题 号 一 二 三 总分 得 分 评卷人 一、简答题（共 20 分） 1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？(10 分) 答：1、连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是 连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 (2 分) 2、完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义， 亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 （4 分） 3、均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此， 反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量 E 和泊松比 μ 等）就不随位置坐标而变化。 （6 分） 4、各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步 地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 （8 分） 5、小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照 原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘 积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 （10 分） 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？（5 分） 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解 法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解 的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近 似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似 的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15）， 而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主 矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式 （2-15），将会发生什么问题？（5 分） 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇 到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物 体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处 的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应 力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使 问题的解答具有的近似性。 三、计算题（80 分） 2.1 已知薄板有下列形变关系： , , , 3 2 Axy By C Dy x = y = xy = − 式中 A,B,C,D 皆为常数， 试检查在形变过程中是否符合连续条件，若满足并列出应力分量表达式。（10 分） 1、 相容条件： 将形变分量带入形变协调方程（相容方程） _ _ . 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) . . . . . . . . . . . . . . 密. . . . . . . . . . . . 封 . . . . . . . . . . 线. . . . . . . . . . 线
, (sin β)+ T-(cos β) = ry sin βoYyas=0(6分)ax?ay2axoy右侧面：其中I=cosα,m=-sinα所以满足相容方程，符合连续性条件。（4分）2、在平面应力间题中，用形变分量表示的应力分量为x=vtanαEEX-Y=0（8分）Axy+uBy）(e+e)C41-μcosα.o,-sinα.t,=0EE（10分）(uAxy +By3),sina·o+cosa·tw=0+e.6}1L2.3图示悬臂梁，梁的模截面为矩形，其长度为L，宽度取为1，高度为2h，右端固定、左端自,=Gy=G(C-Dy)由，荷载分布在其右增上，其合力为P（不计体力），求架的应力分量。（20分）(10分)n2.2如图所示水坝，试写出其边界条件。（10分）左菌·/=-cosβ,m=-sinβYyx=-ytanβ解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。（1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程M（x）与截面位置坐Y=ysin βX=ycosβ标x成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标y成正比，因此可设(2分）(a)(3 分)Ox = αjxy由应力边界条件公式，有式中α的为待定常数。将式（a）对y积分两次，得I(a,),+m(r),=Xym(o,),+(t), =Y0=xy3 + yfi(x)+ f2(x)(b)(4分)a, -(-cos β)+ty (-sin β)=wcos β《养性力单》试物练2真共6真
《弹性力学》试卷第 2 页 共 6 页 其中 所以满足相容方程，符合连续性条件。 （4 分） 2、 在平面应力问题中，用形变分量表示的应力分量为 （10 分） 2.2 如图所示水坝，试写出其边界条件。（10 分） 左侧面： （2 分） 由应力边界条件公式，有 （4 分） （6 分） 右侧面： （8 分） （10 分） 2.3 图示悬臂梁，梁的横截面为矩形，其长度为 L,宽度取为 1，高度为 2h,右端固定、左端自 由，荷载分布在其右端上，其合力为 P（不计体力），求梁的应力分量。（20 分） 解：这是一个平面应力问题，采用半逆解法求解。 （1）选取应力函数。由材料力学可知，悬臂梁任一截面上的弯矩方程 M（x）与截面位置坐 标 x 成正比，而该截面上某点处的正应力又与该点的坐标 y 成正比，因此可设 (a) (3 分) 式中 的为待定常数。将式（a）对 y 积分两次，得 (b) l = −cos ,m = −sin x = −y tan X = y cos Y = y sin m l Y l m X y s xy s x s xy s + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) x (−cos ) + xy (−sin ) = y cos y (−sin ) + xy (−cos ) = y sin l = cos,m = −sin x = y tan X = Y = 0 cos x −sin xy = 0 −sin yx + cos xy = 0
a,h2式中的f(x)，f(x)为x的待定函数，可由相容方程确定，将式（b）代入相容方程=0，得一9—3a2x22αgx—a4= 0:(12分)2V*0=0.上式对x的任何值均应满足，因此得α2=a3=0,-a4=0.印2dati(x),d*f2(a)=0(5分）得dx+dxta;h2a4=上式是y的一次方程，案内所有的y值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零，2(14分即d'f2(a)d*f,;(x)(oy)=*h=0.得6agx+2α7= 0=0,=0dxtdxt积分上二式，得x取任何值均应满足，因此得α6=α=0.（16分）fi(x)=a2x3+agx2+axx+as1(txy)xody =2a1y2-α1))dy=-pf(x)=agx3+ayx2+agx+ag将式（e）代入上式积分，得(Gay-ai) y p式中az一αg为待定的积分常数。将fi(x)，fz(x)代入式（b)。得应力函数为3PP0=xy3 +(azx3 +gx2+agx+as)y+(agx +ax2+agx+1Ph2a,h3=1计算得ai=(18分)2h3=21ag), (c)×(2h)3(8分)=2h2/3.横截面对轴的惯性矩。其中，=1×12(2)应力分量的表达式最后得应力分量为P8x=aixy,8y=6(azy+ag)x+2(ay+a7)xy,oy=0OxIxPaiy2-3α2x22agxα4(10分）Txy=(h2 -y22)21x(20分）(3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力：上、下部无荷载：自由端的剪力之和为P，得边界条件(0x）=0=0，自然满足：《养性力单》试物第真共6真
《弹性力学》试卷第 3 页 共 6 页 式中的 ， 为 x 的待定函数，可由相容方程确定。将式（b）代入相容方程 ， 得 （5 分） 上式是 y 的一次方程，梁内所有的 y 值都应是满足它，可见它的系数和自由项都必须为零， 即 ， 积分上二式，得 式中 为待定的积分常数。将 ， 代入式（b），得应力函数为 .(c) （8 分） (2)应力分量的表达式 （10 分） (3)考察应力边界条件：以确定各系数，自由端无水平力；上、下部无荷载；自由端的剪力 之和为 P，得边界条件 ,自然满足； ,得 ; （12 分） 上式对 x 的任何值均应满足，因此得 ， ，即 （14 分） ，得 X 取任何值均应满足，因此得 . （16 分） 将式（e）代入上式积分，得 计算得 , （18 分） 其中 ,横截面对 Z 轴的惯性矩。 最后得应力分量为 （20 分）
102.4如题下图所示的悬臀梁，长度为1，高度为h，1>》h，在上边界受均布荷载9，试检验应力雨=0得Ah+2D+Eh=0(b)d.0数の=Ay5+Bxy3+Cy3+Dx?+Exy能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分10(c)=0得Ah3+2DEh=q量.(10分)815=0得E-Ah2=0(d)Ty4(6分)1h/2在次要边界上X=0上，主失和主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替Ta12h/2h/z2(ox)x=0dy=0,满足条件/()ydy =0,得等++Ch3=0(e)7(h)/(g) dy= 0. 满足解（1）相容条件将0=Ay5+Bxy3+Cy3+Dx?+Exy代入相容方程，得120Ay+24By=0,若联立求解式（a），(b)(c)，(d)和（e)，得4,E-29Oq满足相容方程，有5h3.B=-h3.C=-,D=A=410h4h(8分）1B(a)A=将各系数代入应力分量表达式，得5(2分）（)(2)应力分量表达式Ox=220oy2=20Ay330Axy+ 6CyOx=(1-3+骨)Oy =2200x2 = 10Ay3 +2D +2EyOy =3qxTxy=21a20(10 分)=30Axy2-2Extxy=-dxdy(4分)(3)考察边界条件：主要边界y=士h/2上，应精确满足应力边界条件《养性力单》试物#4真共6真
《弹性力学》试卷第 4 页 共 6 页 2.4 如题下图所示的悬臂梁，长度为 l，高度为 h, l>>h,在上边界受均布荷载 q，试检验应力函 数 能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分 量。 （10 分） 解 （1）相容条件 将 代入相容方程，得 ，若 满足相容方程，有 （2 分） (2)应力分量表达式 （4 分） (3)考察边界条件;主要边界 上，应精确满足应力边界条件 （6 分） 在次要边界上 x=0 上，主矢和主矩为零，应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件代替 (e) 联立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得 （8 分） 将各系数代入应力分量表达式，得 （10 分）
同式（b）得2Asing-2Bcos@-C=q,(f)(g)同式（c）得2Acos@-2Bsin@-Cg+2D=0;同式（d）得（6分）(h)2Asin p2Bcos@C = g,式(e）()、(g)、(h)联立求解，得2.5模形体在两侧面上受有均布剪力9.如下图所示，试求其应力分量。（10分）q9,B=C-0,D=-(8分)4=cota2sina将以上各系数代入应力分量，得sin αcos2(10分）cotesindsin 2psinaIx2.6设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为，如下图所示，试求应力分量。【解】（1）应用应力函数Φ=p（Acos2e+Bsin2e+Ce+D)，进行求解。(20分）由应力函数Φ得应力分量O11a0=-2(Acos2p+Bsin2g-Ce-D),Opappaoa'(2分)= 2(.Acos2p+ Bsin 2+Cp+ D),apapa.)=2.4sn2g-2Bcos2g-Cdppd（2）考察边界条件：根据对称性，得(a)(6.) =0,【解】应用半逆解法求解。(b)(ep)a4=4,（1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与M，P,有(o.)%=0(c)关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即LMT"，应力只能以M/形势/o(00=-q(d)(4分）（2分）组合。2Acosp+2Bsng+Cp+2D=0(e)同式（a）得（2）Φ应比应力的长度量纲高二次幕，可假设Φ=(p)。《养性力单》诚靠真共6真
《弹性力学》试卷第 5 页 共 6 页 2.5 楔形体在两侧面上受有均布剪力 q,如下图所示，试求其应力分量。（10 分） 【解】（1）应用应力函数 ( cos2 sin 2 ) 2 = A + B +C + D ，进行求解。 由应力函数 得应力分量 A B C A B C D A B C D = − − = − = + + + = = − + − − + = ) 2 sin 2 2 cos 2 1 ( 2( cos 2 sin 2 ), 2( cos 2 sin 2 ), 1 1 2 2 2 2 2 （2 分） （2）考察边界条件：根据对称性，得 ( ) 0; 2 = （a） ( ) ; 2 = q (b) ( ) 0; 2 = − (c) ( ) = −q − 2 (d) （4 分） 同式（a）得 2Acos + 2Bsin + C + 2D = 0; (e) 同式（b）得 2Asin − 2Bcos −C = q; (f) 同式（c）得 2Acos − 2Bsin − C + 2D = 0; (g) 同式（d）得 − 2Asin − 2Bcos − C = −q; (h) （6 分） 式(e) 、(f) 、(g)、 (h)联立求解，得 cot 2 , 0, 2sin q B C D q A = = = = − （8 分） 将以上各系数代入应力分量，得 sin sin 2 cot , sin cos 2 cot , sin cos 2 q q q = = − = − + （10 分） 2.6 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为 M，如下图所示，试求应力分量。 （20 分） 【解】应用半逆解法求解。 （1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与 M , , 有 关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即 L -1 MT-2，应力只能以 2 M 形势 组合。 （2 分） （2） 应比应力的长度量纲高二次幂，可假设 = ()
2B=C(d）（14分（3）将β代入相容方程，得1(0+4)=0为了考虑原点0附近有集中力偶的作用，取出以0为中心，e为半径的一小部分脱(4分)depld离体，并列出其平衡条件删去因子一子六，得一个关于α)的常微分方程。今其解为中，代入上式。可)得到一个关于≥的特征方程EFy=o,",lo,).m.sinopdo-(fa.cosploel-0,（16分）2(2 +4)=0,(a）（6分)ZM=0,()p'dg+M=0其解为=21,-2,0,0，于是得到的四个解ae,becg,d：前两项又可以组合为正弦上式中前两式自然满足，而第三式成为余弦函数。由此得2B=_M(e)4(b) (8分)β = Acos2+ Bsn 2@+C@+ D将式(e)代入式(d)，得本题中结构对称于e=0的x轴，而M是反对称荷载，因此，应力应反对称于x轴，C--M(18分A为的奇函数，从而得A=D=0。将各系数代入应力分量的表达式，得（c）（10分）Φ=Bsin2g+C2Msin2gdp（4）由应力函数中得应力分量的表达式（20分）a,=0,-4Bsin 2eMcos2@+1P.=or.p=0,(2Bcos2p+c)(12分）（5）考察边界条件。由于原点0有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原点附近的条件。在p+0,=±的边界上，有(0,)m% =0()% =0前一式自然满足，而第二式成为《养性力单》诚婷6真共6真
《弹性力学》试卷第 6 页 共 6 页 （3）将 代入相容方程，得 4 0 1 2 2 4 4 4 = + d d d d （4 分） 删去因子 4 1 ，得一个关于 () 的常微分方程。令其解为 2 = e ，代入上式，可 得到一个关于 的特征方程， ( 4) 0, 2 2 + = （a）（6 分） 其解为 = 2i,−2i,0,0 ，于是得到 的四个解 ae be c d i i , , , 2 2 − ；前两项又可以组合为正弦、 余弦函数。由此得 = Acos 2 + Bsin 2 + C + D (b)(8 分) 本题中结构对称于 = 0 的 x 轴，而 M 是反对称荷载，因此，应力应反对称于 x 轴， 为 的奇函数，从而得 A=D=0。 = Bsin 2 + C （c）（10 分） （4）由应力函数 得应力分量的表达式 ( B c) B = + = = − 2 cos 2 1 0, 4 sin 2 , 1 2 2 （12 分） （5）考察边界条件。由于原点 O 有集中力偶作用，应分别考察大边界上的条件和原 点附近的条件。 在 2 0, = 的边界上，有 ( ) 0,( ) 0 2 0, 2 0, = = = = 前一式自然满足，而第二式成为 2B=C (d) （14 分） 为了考虑原点 O 附近有集中力偶的作用，取出以 O 为中心， 为半径的一小部分脱 离体，并列出其平衡条件 ( ) ( ) 0, ( ) 0 0, sin ( ) cos 0, 0, cos ( ) sin 0, 2 2 2 2 2 2 2 = + = = − = = − = = − − = = − = = M d M Fy d d F d d O x （16 分） 上式中前两式自然满足，而第三式成为 2 , M B = − (e) 将式(e)代入式(d)，得 , M C = − （18 分） 将各系数代入应力分量的表达式，得 2 2 cos 2 1 0, , 2 sin 2 + = − = = M M （20 分）