第二章流体静力学资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 第二章 流体静力学
本章主要内容本章核心问题：研究流体静止时的平衡规律，根据平衡条件，确定静止流体中压强分布规律和静止流体对各种固体壁面的作用力。：相对静静止包括两种情况：绝对静止，相对于地球没有运动：止，相对于容器或流体各质点之间彼此没有相对运动。①本章主要内容：2.1静止流体上的作用力2.2流体的平衡微分方程及其积分2.3流体静力学基本方程2.4流体静压强的测量2.5静止流体对平面壁的作用力2.6静止流体对曲面壁的作用力资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 本章主要内容 • 本章核心问题：研究流体静止时的平衡规律，根据平衡条件， 确定静止流体中压强分布规律和静止流体对各种固体壁面的作 用力。 • 静止包括两种情况：绝对静止，相对于地球没有运动；相对静 止，相对于容器或流体各质点之间彼此没有相对运动。 Ø 本章主要内容： 2.1 静止流体上的作用力 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 2.3 流体静力学基本方程 2.4 流体静压强的测量 2.5 静止流体对平面壁的作用力 2.6 静止流体对曲面壁的作用力
2.1静止流体上的作用力AFAFR作用在流体微团上的力可分为两种AV①质量力：与流体微团质量大小有关，并且AFm集中作用在微团质量中心上的力。包括：AA重力△G=Am·gAG直线运动惯性力AF=Am?aAFy离心惯性力F=△mro2，这些力的矢量和用4F.表示，则△Fm= Amam= Am (Xi+Yj+Zk)m·若微团极限缩为一点，即△V→0，则dFm= dmam= dm: (Xi+Yj+Zk)其中，为质量力加速度，也即各质量力加速度的矢量和。X、YZ为何意义？资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 作用在流体微团上的力可分为两种： Ø 质量力：与流体微团质量大小有关，并且 集中作用在微团质量中心上的力。包括： 重力ΔG= Δm · g 直线运动惯性力Δ F= Δm·a 离心惯性力ΔFR = Δm·rω2 • 这些力的矢量和用ΔFm表示，则 ΔFm = Δm·am = Δm· (Xi+Yj+Zk) • 若微团极限缩为一点，即ΔV →0，则 dFm = dm·am = dm· (Xi+Yj+Zk) 其中，am为质量力加速度，也即各质量力加速度的矢量和。X、Y、 Z为何意义？
2.1静止流体上的作用力由4F.=△m?a.=△m(Xi+Yj+Zk)可推得：(1) am= Xi+Yj+Zk此时，X、Y、Z可理解为质量力加速度在各轴的投影或加速度在x,y,z方向的分量。(2) (4Fm/ △m)=Xi+Yj+Zk4Fm/△m为单位质量的质量力，简称单位质量力。那么X、Y、Z可理解为单位质量力在各轴的投影或单位质量力在x,y,z方向的分量。资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 由ΔFm = Δm·am = Δm· (Xi+Yj+Zk)可推得： （1） am = Xi+Yj+Zk 此时，X、Y、Z可理解为质量力加速度在各轴的投影或加速度 在x,y,z方向的分量。 （2）( ΔFm/ Δm)= Xi+Yj+Zk ΔFm/ Δm为单位质量的质量力，简称单位质量力。那么X、Y、 Z可理解为单位质量力在各轴的投影或单位质量力在x,y,z方向 的分量
2.1静止流体上的作用力①表面力：大小与流体表面积有关并且分布作用在流体表面上的力，它是相邻流体或固体作用于流体表面上的力。表面力按其作用方向可分为两种：，一种是沿表面切向的摩擦力。由于静止流体不表现出粘性，所以在静止流体内部不存在切向摩擦力；“一种是沿受压表面内法线方向的压力，称为流体静压力。AFAFRAVAFm△AAGAF2资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 Ø 表面力：大小与流体表面积有关并且分布作用在流体表面上的 力，它是相邻流体或固体作用于流体表面上的力。 • 表面力按其作用方向可分为两种： • 一种是沿表面切向的摩擦力。由于静止流体不表现出粘性，所 以在静止流体内部不存在切向摩擦力； • 一种是沿受压表面内法线方向的压力，称为流体静压力
2.1静止流体上的作用力①液体静压强的数学表述：设作用于流体微团上的总压力为4P，即流体静压力为4P，则4A面积上的平均应力为4P/4A，称为受压面上的平均流体静压强。当4A一0时，流体微团成为一个流体质点，则平均流体静压强的极限称为流体某一点的流体静压强：dpDPp = limN/m2简称PadADAR O DA流体静压强是一个标量，没有方向性。静止流体中任意点的静压强值仅由该点的坐标位置决定，而与该点静压力的作用方向无关。可有如下证明。AFAFAVZAFmAAAGAFy资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 Ø 液体静压强的数学表述： • 设作用于流体微团上的总压力为ΔP，即流体静压力为ΔP，则ΔA面积 上的平均应力为ΔP/ ΔA，称为受压面上的平均流体静压强。 • 当ΔA→0时，流体微团成为一个流体质点，则平均流体静压强的极限 称为流体某一点的流体静压强： • 流体静压强是一个标量，没有方向性。静止流体中任意点的静压强 值仅由该点的坐标位置决定，而与该点静压力的作用方向无关。可 有如下证明。 N/m2简称Pa
2.1静止流体上的作用力流体静力学分析思路：（1）取研究对象（微元体）。取一部分（微元体）作为研究对象。建立坐标系。（2）对所选取的微元体进行受力分析。包括质量力和表面力。（3）建立平衡方程，导出关系式。（4）得出结论。资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 流体静力学分析思路： （1）取研究对象（微元体）。取一部分（微元体）作为研究对 象。建立坐标系。 （2）对所选取的微元体进行受力分析。包括质量力和表面力。 （3）建立平衡方程，导出关系式。 （4）得出结论
2.1静止流体上的作用力。如图，在静止流体中的点M(x,Vz)处取一微元四面体，其在x,V,z轴的边长分别为dx,dy,dz。斜面外法线方向的单位失量为n，各个面的面积分别为dA,dA,dA,(符号的下标表示该面的法线方向)。微元四面体斜面dA,的法线与x,y,z轴的方向余弦分别为cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)。A2作用在微元四面体上的力有：（1）表面力。设微元四面体各面上任意点的压强分别为pxPyP,Pn，则各面上的表面力为：Px=P,dA,=1/2-pxdydzPP,=P,dA,=1/2-p,dxdzP,=P,dA,=1/2p,dxdyNP,=pndAnP,在x,y,z轴方向的投影分别为P,cos(n,x),P,cos(n,y),Pncos(n,z)。P,cos(n,x)=PndA,cos(n,x)=PndA, =1/2-pndydz; (A,cosn(n,x)=A,=面积AO'C)同理: Pncos(n,y)= pndA,; Pncos(n,z)= PndA,;资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 • 如图，在静止流体中的点M(x,y,z)处取一微元四面体，其在x,y,z轴的边 长分别为dx,dy,dz。斜面外法线方向的单位矢量为n，各个面的面积分 别为dAx ,dAy ,dAz (符号的下标表示该面的法线方向)。微元四面体斜面 dAn的法线与x,y,z轴的方向余弦分别为cos(n,x), cos(n,y), cos(n,z)。 • 作用在微元四面体上的力有： （1）表面力。设微元四面体各面上任意点的 压强分别为px ,py ,pz ,pn，则各面上的表面力为： Px =pxdAx =1/2·pxdydz Py=pydAy=1/2·pydxdz Pz=pzdAz=1/2·pzdxdy Pn=pndAn Pn在x,y,z轴方向的投影分别为Pn cos(n,x),Pn cos(n,y),Pn cos(n,z)。 Pn cos(n,x)=pndAn cos(n,x)=pndAx =1/2·pndydz; (An cosn(n,x)=Ax =面积AO′ C) 同理：Pn cos(n,y)= pndAy ; Pn cos(n,z)= pndAz ;
2.1静止流体上的作用力（2）质量力。作用在微元四面体上的质量力在各坐标轴方向的分量为F,F,F。设流体密度为p，则2Fx= △m·X=p 1/6 ·dxdydz·X=(1/6) pdxdydzXFy=(1/6)pdxdydzX;Fz=(1/6)pdxdydzZ流体处于平衡状态，则>F=0，所以有：1P-P,cos(n,x)+F =0即: (1/2)p,dydz-(1/2)p,dydz+(1/6) pdxdydzX=0dx一0;dy→0;dz一→0;所以第三项是前两项的高阶无穷小，可以忽略不计。所以px=Pn。同理p,=Pm P,=Pn。当微元四面体的边长趋近于零时，PP，P，P,就是作用在M点各个方向的压强。上式表明：流体中某一点任意方向的静压强是相等的，是位置坐标的连续函数，即p=p(x,y,z)。资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.1 静止流体上的作用力 （2）质量力。作用在微元四面体上的质量力在各坐标轴方向的分量为 Fx ,Fy ,Fz。设流体密度为ρ，则 Fx= Δm ·X= ρ ·1/6 ·dxdydz ·X=(1/6) ρdxdydzX Fy= (1/6)ρdxdydzX; Fz=(1/6)ρdxdydzZ; 流体处于平衡状态，则∑F=0，所以有： Px -Pn cos(n,x)+Fx=0 即：(1/2)pxdydz- (1/2)pndydz+(1/6) ρdxdydzX=0 dx →0;dy →0;dz →0;所以第三项是前两项的高阶无穷小，可以忽略 不计。所以px=pn。同理py=pn , pz=pn。 • 当微元四面体的边长趋近于零时，px , py , pz , pn就是作用在M点各个 方向的压强。 • 上式表明：流体中某一点任意方向的静压强是相等的，是位置坐标 的连续函数，即p=p(x,y,z)
2.2流体的平衡微分方程及其积分2.2.1欧拉平衡微分方程·如图，平衡流体中取微元六面体abdcc'd'ba'，边长分别为dxdy，dz，形心点为M(x,y,z)，该点压强为p(x,y,z)，作用在六面体上的力有：Z（1）表面力M.流体压强是位置坐标的连续函数，沿dzx方向作用在ad面和a'd'面得压强可用dx泰勒级数展开并略去二阶以上无穷小量。0ac面压强为·α'c面压强为资源与环境工程学院
资源与环境工程学院 2.2 流体的平衡微分方程及其积分 • 2.2.1 欧拉平衡微分方程 • 如图，平衡流体中取微元六面体abdcc'd'b'a'，边长分别为dx， dy，dz，形心点为M(x,y,z)，该点压强为p(x,y,z)，作用在六面体 上的力有： （1）表面力 流体压强是位置坐标的连续函数，沿 x方向作用在ad面和a'd'面得压强可用 泰勒级数展开并略去二阶以上无穷小量。 • ac面压强为 • a' c'面压强为